[PDF] Continuité - Limites Asymptotes à une courbe

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Continuité - Limites

Asymptotes à une courbe

Continuité - Théorème des valeurs intermédiaires Notion de continuité

Graphiquement, on peut reconnaître une

fonction continue sur un intervalle I par le fait que le tracé de la courbe représentative de ½ pour ˜ ? I peut se faire sans lever le crayon de la feuille Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, la fonction racine carrée, la fonction logarithme népérien, la fonction exponentielle sont continues sur tout intervalle sur lequel elles sont définies.

Convention

Il est convenu que, dans un tableau de variation de fonction, les flèches obliques indiquent que la fonction est continue et strictement monotone

Théorème des valeurs intermédiaires

Soit ½ une fonction définie et continue sur un intervalle I.

Soient " ? I et † ? I

Pour tout réel  compris entre ½%"& et ½%†&, il existe au

moins un réel ‡ compris entre " et † tel que ½%‡& ¼  * Ce que l"on peut aussi exprimer sous la forme : L"équation ½%˜& ¼  a au moins une solution ‡ comprise

entre " et †. Si de plus la fonction ½ est strictement monotone sur l"intervalle I, alors le réel ‡ est unique. La continuité de la fonction ½ est une hypothèse essentielle du théorème. Le théorème des valeurs intermédiaires pourra être

étendu à un intervalle non borné.

fonction continue fonction continue strictement croissante http://xmaths.free.fr/ TES - Fiche de cours : Continuité - Limites 2 / 4

Opérations sur les limites Limite d"une somme

Si ½ a pour limite

Si ... pour limite

Alors ½ µ ...

a pour limite pas de résultat général

Limite d"un produit

Si ½ a pour limite

  ≠ , +∞ ou Ä∞ ,

Si ... a pour limite

Alors ½

x ... a pour limite suivant les signes +∞ ou Ä∞ suivant les signes pas de résultat général

Limite d"un inverse

Si ... a pour limite

par valeurs inférieures par valeurs supérieures +∞ ou Ä∞

Alors 1

a pour limite 1 0

Limite d"un quotient

Si ½ a pour limite

ou ou ou

Si ... a pour limite

ou par valeurs sup. ou par valeurs inf. par valeurs sup. ou par valeurs inf. ou

Alors ½

a pour limite ou suivant les signes pas de résultat général +∞ ou suivant les signes ou

Ä∞ suivant

les signes pas de résultat général http://xmaths.free.fr/ TES - Fiche de cours : Continuité - Limites 3 / 4

Les formes indéterminées On dit qu"il y a forme indéterminée lorsqu"on ne peut pas donner de résultat

général à partir des tableaux précédents. Les formes indéterminées sont de différents types et on peut dans beaucoup de cas trouver la limite en effectuant les transformations suivantes. +∞ Ä ∞ : Factorisation du terme "dominant". (terme de plus haut degré pour un polynôme) ∞ : Factorisation des termes "dominants" puis simplification. 0

0 : Factorisation d"un terme tendant vers 0, puis simplification. 0

x ∞ : peut en général se ramener à l"une des formes ∞ ou 0 0 Lorsque des racines carrées interviennent et que les méthodes ci-dessus ne donnent pas de résultat, on pourra multiplier par la quantité "conjuguée". (Les notations +∞ Ä ∞ ; ∞ ... sont des abréviations à ne pas utiliser dans un devoir rédigé)

Limites et inégalités I est un intervalle dépendant de l"endroit où la limite est cherchée :

<" 7 +∞: pour une limite en +∞, <˜ , µ Š: pour une limite en ˜ , etc...

Limites par comparaison

Si, pour tout ˜ ? I, ½%˜& Á ...%˜& et si ‹Ž ...%˜& ¼ µ∞ alors ‹Ž ½%˜& ¼ µ∞.

Si, pour tout ˜ ? I, ½%˜& À ...%˜& et si ‹Ž ...%˜& ¼ Ä∞ alors ‹Ž ½%˜& ¼ Ä∞.

Théorème des gendarmes

Si pour tout ˜ ? I ...%˜& À ½%˜& À Š%˜& et si ‹Ž ...%˜& ¼ ‹Ž Š%˜& ¼  ,

alors ‹Ž ½%˜& ¼ Â*

Limite d"une composée de fonctions ", † et  désignent soit des réels, soit µ∞, soit Ä∞.

Si

‹Ž •%˜& ¼ † et

X→

‹Ž ½%X& ¼  , alors

http://xmaths.free.fr/ TES - Fiche de cours : Continuité - Limites 4 / 4 Limites obtenues par la dérivée Si ½ est une fonction dérivable en ˜ , alors : 0 ,) ou encore

Limites usuelles La limite d"une fonction polynôme en +∞ ou en Ä∞ est la limite de son terme de

plus haut degré. La limite d"une fonction rationnelle en +∞ ou en Ä∞ est la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. On trouvera dans les fiches "logarithme népérien" et "exponentielle" les limites

correspondant à ces fonctions. Quand ˜ tend vers +∞ , la fonction exponentielle l"emporte sur toutes les fonctions

puissances et les fonctions puissances l"emportent sur la fonction logarithme népérien Asymptotes à une courbe (C) étant la courbe représentative de la fonction ½

Asymptote parallèle à (O™) (verticale)

(C) a pour asymptote la droite d"équation ˜ ¼ " si :

‹Ž ½%˜& ¼ +∞ ou

Asymptote parallèle à (O˜) (horizontale) (C) a pour asymptote la droite d"équation ™ ¼ † si :

µ∞‹Ž ½%˜& ¼ † ou ½%˜& ¼ † Asymptote oblique , asymptote courbe

(C) a pour asymptote la droite d"équation ™ ¼ "˜ µ † si : µ∞‹Ž ½%˜& ) %"˜ µ †& ¼ , ou C) a pour asymptote la courbe représentative de ... si : µ∞‹Ž ½%˜& Ä ...%˜& ¼ , ou http://xmaths.free.fr/ TES - Fiche de cours : Dérivée 1 / 2

Dérivée

Nombre dérivé - Fonction dérivée - Tangente ½ est dérivable en ˜ , lorsque 0

Š est un nombre réel.

Cette limite est le nombre dérivé en ˜

On a alors

0 Si une fonction ½ est dérivable en tout point ˜ , d"un intervalle I, on dit que ½ est

dérivable sur I, et l"application qui à tout ˜ de I associe le nombre dérivé de ½ au

La courbe représentative de ½ a pour

tangente en M (˜,)) la droite T de

Opérations sur les dérivées Soient • et - deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

• • µ - est dérivable sur I et on a

- est dérivable sur I et on a

• Si

" ? IR

• est dérivable sur I et on a

• Si • ne s"annule pas sur I , alors 1

est dérivable et (())1

• Si - ne s"annule pas sur I, alors •

est dérivable et Si • est une fonction dérivable sur un intervalle I, si ½ est une fonction dérivable sur un intervalle J, et si pour tout ˜ ? I, •%˜& ? J, alors ½%•& est dérivable sur I et on a Application aux variations d"une fonction Soit ½ une fonction dérivable sur un intervalle I,

• Si

nulle sur I, alors

½ est

constante sur I.

• Si

(strictement) positive sur I, alors

½ est

(strictement) croissante sur I.

• Si

(strictement) négative sur I, alors

½ est

(strictement) décroissante sur I. http://xmaths.free.fr/ TES - Fiche de cours : Dérivée 2 / 2

Dérivées usuelles

Fonction

Dérivée

½%˜& ¼ 1

1 2

Si • est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, alors • est dérivable sur I et on a :

Si • est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, alors Si • est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors

‰• est dérivable sur I et on a :

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Primitives

Définition On appelle

primitive d"une fonction ½ sur un intervalle I, toute fonction F définie et dérivable sur I, dont la dérivée est ½* Si F est une primitive de ½ sur I, alors l"ensemble des primitives de ½ sur I est

l"ensemble des fonctions G de la forme G ¼ F µ , avec  ? IR. (c"est-à-dire que deux primitives d"une même fonction sont égales à une constante près) Soit ½ une fonction ayant des primitives sur un intervalle I, soit ˜

, ? I et ™ , ? IR. Il existe une et une seule primitive F de ½ telle que F%˜

Primitives des fonctions usuelles

Fonction

Primitives

Intervalle

½%˜& ¼ , F%˜& ¼   ? IR IR ½%˜& ¼ " F%˜& ¼ "˜ µ   ? IR IR ½%˜& ¼ ˜ F%˜& ¼ 1

2 . µ   ? IR IR . F%˜& ¼ 1 3 / µ   ? IR IR

½%˜& ¼ 1

˜. F%˜& ¼ Ä 1

µ   ? IR <, 7 +∞: ou <Ä∞ 7 ,:

½%˜& ¼ 1

˜ F%˜& ¼ 2

˜ µ   ? IR <, 7 +∞:

1 1

  ? IR

7 +∞: ou <Ä∞

7 ,:

½%˜& ¼ 1

<, 7 +∞:

˜ F%˜& ¼ ‰

˜ µ   ? IR IR

http://xmaths.free.fr/ TES - Fiche de cours : Primitives 2 / 2 Propriétés Si F est une primitive de ½ sur I et si G est une primitive de ... sur I, alors F

G est une primitive de ½

... sur I. Si est une primitive de ½ sur I et si " est un réel, alors "F est une primitive de "½ sur I.

ATTENTION :

Un produit de primitives n"est pas une primitive du produit. Un quotient de primitives n"est pas une primitive du quotient.

Sur un intervalle bien choisi :

• Une fonction de la forme

fonctions de la forme 1 avec  ? IR.

• Une fonction de la forme

de la forme 2 avec  ? IR. a pour primitives les fonctions de la forme avec  ? IR.

‰ • a pour primitives les fonctions

de la forme avec  ? IR.

• Une fonction de la forme

a pour primitives les fonctions de la forme avec  ? IR. http://xmaths.free.fr/ TES - Fiche de cours : Logarithme népérien 1 / 2

Logarithme Népérien

Définition - Propriétés La fonction qui à ˜ associe 1 a des primitives sur l"intervalle <, 7 +∞:. Parmi ces primitives, celle qui s"annule en 1 est appelée logarithme népérien

On la note

définie, continue et dérivable sur <, 7 +∞: , et on a ; ‰ l"unique réel tel que alors Si • est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, alors la

Toute fonction de la forme

sur tout intervalle dans (())1 " ¼ 1 Si " - x ". x ?

Pour tout ˜ ? IR :

http://xmaths.free.fr/ TES - Fiche de cours : Logarithme népérien 2 / 2 est symétrique de la courbe de la fonction exponentielle par rapport à la droite d"équation ™ ¼ ˜

Limites - Variations

0

¼ 1

¼ 0

et pour

Tableau de variations

Courbe représentative

On dit que le nombre réel ‰

tel que est la base du logarithme népérien. On a

‰ ≈ 2,72

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Fonction exponentielle

Définition - Propriétés Pour tout réel ˜, on appelle exponentielle de ˜ et on note ‰˜‘%˜& ou ‰

˜ l"unique

réel de <,

7 +∞: dont le logarithme népérien est ˜.

On appelle fonction exponentielle

la fonction

‰˜‘ : IR → <, 7 +∞:

˜ ? IR ?

™ ? <, 7 +∞:

Pour tout réel ˜ , on a :

Pour tout réel strictement positif ˜ , on a :

La fonction exponentielle est

définie, continue et dérivable sur IR et

‰, ¼ 1 ‰

Pour tout réel ˜, on a

‰˜ > 0

La fonction exponentielle est strictement croissante sur IR : si alors

˜ > 0 ? ‰

˜ > 1 et ˜ < 0 ? 0 < ‰

˜ < 1

Si • est une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction composée ‰˜‘ est dérivable sur I et on a : x ‰˜‘ ou encore x ‰

Toute fonction de la forme

x ‰

• a pour primitive ‰

Relation fonctionnelle " et † étant deux réels, on a : ‰"µ† " x ‰† 7

‰Ä† ¼ 1

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La courbe a pour asymptote

horizontale l"axe (O˜& quand

par rapport à la droite d"équation ™ ¼ ˜ Limites - Variations ‹Ž˜→

-∞ ‰˜ ¼ 0

‰˜ ¼ 0

0 ‰˜ Ä 1

¼ 1

et pour

¼ 0

Tableau de variations

Courbe représentative

http://xmaths.free.fr/ TES - Fiche de cours : Intégrales 1 / 2 (C (C (C) O unité d"aire "½%Ã& dÃ

Intégrales

Définition - Interprétation graphique Soit ½ une fonction continue et positive sur un intervalle :" ; †< et (C) sa courbe dans un repère orthogonal (O; " ½%Ã& dà est le réel mesurant l"aire , en unités d"aire, de la partie du plan limitée par la courbe (C), l"axe O˜ et les droites d"équations ˜ ¼ " et ˜ ¼ † c"est-à-dire l"ensemble des points M(˜ ; ™) tels que

0 À ™ À ½%˜&.

L"unité d"aire est le produit de l"unité sur l"axe (O˜) et de l"unité sur l"axe (O™).

Soient ½ et ... deux fonctions continues

sur un intervalle :" ; †< (" < †) telles que, pour tout ˜ ? :" ; †< 6 ...%˜& À ½%˜&*

L"aire de la partie du plan limitée par les

courbes de ½ et de ... et les droites d"équations ˜ ¼ " et ˜ ¼ † c"est-à-dire l"ensemble des points M(˜ ; ™) vérifiant ...%˜) À ™ À ½%˜& est donnée en unités d"aires par ⌡"†( ½%˜& Ä ...%˜& ) d˜ "½%Ã& dà ¼ F%†& Ä F%"& où F est une primitive de ½ sur :" 7 †<.

On note aussi ⌠

"½%Ã& dà ¼ ? ?F%Ã&? d˜ http://xmaths.free.fr/ TES - Fiche de cours : Intégrales 2 / 2

Propriétés ½ et ... sont des fonctions ayant des primitives sur les intervalles considérés. ⌠

⌡"" ½%Ã& dà ¼ 0 ⌡"† ½%Ã& dà ¼ Ä ⌠

†" ½%Ã& dÃ

⌡"† ½%Ã& dà µ ⌠ "‡ ½%Ã& dà (Relation de Chasles) ⌡"†(½ µ ...)(Ã) dà ¼ ⌠ "† ½%Ã& dà µ ⌠ "† ...%Ã& dÃ

Si  ? IR

)(Ã) dà ¼  ⌠ "† ½%Ã& dà Si et si pour tout ˜ de :" 7 †< on a

½%˜& Á 0

, alors ⌡"† ½%˜& d˜ Á 0 Si et si pour tout ˜ de :" 7 †< on a , alors ⌡"† ½%˜& d˜ À ⌠ "† ...%˜& d˜

Valeur moyenne

On appelle

valeur moyenne de ½ sur :" 7 †

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