[PDF] Algèbre M1 Cours 4 [3ex] Extensions séparables

K+RKla division euclidienne deU

K,RK?K[X]et degRK Par unicité de la division euclidienne dansK[X], on obtient Q k=QKetRk=RK.

Application

1V|Udansk[X]??V|UdansK[X].

2Le pgcddeUetVne dépend pas du corps : si

P alors il existeλ?K

×tel quePK=λPk.

Dérivée d"un polynôme

DéfinitionDérivation.SoitP=

n? i=0aiXi?k[X]. Ondéfinit P ?(X) = n? i=0iaiXi-1?k[X].

L"applicationD:?k[X]-→k[X]

P?-→P

estk-linéaire et vérifie(PQ)?=PQ?+P?Qpour tousP,Q?k[X]. Preuve.Par bilinéarité, il suffit de vérifier la formule avec P=X metQ=Xn. Or on a (X m)?Xn+Xm(Xn)?=nXm+n-1+mXm+n-1 et(XmXn)?= (n+m)Xm+n-1

Dérivée d"un polynôme

LemmeKerD.SoitP?k[X]tel queP?=0 alors

Sicark=0 alorsP=λ?ketKerD=k1.

Sicark=palors il existeQ?k[X]tel queP=Q(Xp)et

KerD=k[X

p].

Preuve.SiP=

n? i=0aiXi?KerDalors on aiai=0 pour touti. cark=0. Sii?N?alorsi?=0 dansk(puisqueQ?→k) et donca i=0 pour touti?=0 etPest constant. cark=p. Sip?ialorsi?=0 dansket doncai=0 pour tout iqui n"est pas un multiple dep. On en déduit que P=?a piXpiet doncP=Q(Xp)avecQ=?apiXi.

Enfin, on a(X

mp)?=mpXmp-1=0.

Dérivée d"un polynôme

n

1,...,nr?N.

1Montrer que(Pn)?=nP?Pn-1.

2Calculer(P1···Pr)?

3Calculer(P1n1···Prnr)?.

4Déterminer les applicationsk-linéairesD1:k[X]→k[X]telles

queD

1(PQ) =D1(P)Q+PD1(Q)pour tousP,Q?k[X].

5Montrer qu"une telle applicationsD1vérifie la formule de

Leibniz

D

1r(PQ) =

r? i=0 ?r i? D

1i(P)D1r-i(Q)

Dérivation et multiplicité

PropositionSoientkun corps,P?k[X]non constant. Dans la suite,Ωdésigne une extension algébriquement close dek;Kun corps de décomposition dePsurketLune extension dek. On a les équivalences suivantes (i) pgcd(P,P?) =1; (ii) pour touteL,PetP?sont sans racine commune; (iii)PetP?n"ont pas de racine commune dansK; (iv)PetP?n"ont pas de racine commune dansΩ; (v) pour touteL,Pn"a que des racines simples dansL; (vi)Pn"a que des racines simples dansK; (vii)Pn"a que des racines simples dansΩ; (viii) il existeLtelle quePse factorise en un produit de polynôme de degré 1deux à deux distinctsdansL[X]; (ix)Pse factorise en un produit de polynôme de degré 1deux à deux distinctsdansK[X]; (x)Pse factorise en un produit de polynôme de degré 1deux à deux distinctsdansΩ[X].

Un lemme préliminaire

LemmeSoientP?k[X]eta?k. Alorsaest une racine multiple dePsi et seulement siP(a) =P ?(a) =0 si et seulement si (X-a)|Pet(X-a)|P Preuve du lemme.Sinest la multiplicité deadansP, on a

P= (X-a)

nQavecQ(a)?=0. Ainsi P ?=n(X-a)n-1Q+ (X-a)nQ?. Sin?2, on obtient

P(a) =P

?(a) =0. Sin=1 alorsP?(a) =Q(a)?=0.

ATTENTION!

(X-a)n|P=?P(a) =P?(a) =···=P(n-1)(a) =0. Mais la réciproque est fausse. Par exemple, dansF

2[X], aveca=0

etP=X

2. On aP(n)(0) =0 pour toutn?N.

ExerciceDémontrer la réciproque en caractéristique nulle.

Démonstration de la proposition

Par le lemme, on a(ii)?(v),(iii)?(vi)et(iv)?(vii). On a(ii)?(iv). Le lemme de prolongement donne(iv)?(iii). (i)?(ii).SoientU,V?k[X]tels que 1=UP+VP ?. Sia?L est une racine commune alorsP(a) =P ?(a) =0 et 1=0. NON. (iii)?(i).SoitQun diviseur commun dePetP ?. CommeP est scindé,Ql"est aussi. Ainsi si degQ?1 alorsQa une racinea etX-a|Q|Pet(X-a)|Q|P ?. FinalementP(a) =P?(a) =0. On a(x)?(viii). De plus,(vi)?(ix)et(vii)?(x)résultent du fait quePest scindé dansK[X]et dansΩ[X]. (viii)?(vi).On aP= n? i=1(X-ai)?L[X]avecai?=ajsii?=j.

On poseK

?=k(a1,...,an)?L, c"est un corps de décomposition et on aP= n? i=1(X-ai)?K?[X]avecai?=ajsii?=j. On conclut par le théorème d"isomorphisme entre corps de décomposition.

Polynôme séparable

DéfinitionPolynôme séparable.SoitP?k[X]un polynôme irréductible. On dit quePestséparablesiPvérifie les conditions équivalentes de la proposition précédente. De plus, siPest irréductible, elles sont aussi équivalentes à (xi)P ??=0 (xii)il existe une extensionLdektel quePait une racine simple.

Preuve.On a(x)?(xii).

(xii)?(xi).Siaest une racine dePdansL, on aP ?(a)?=0 et doncP ??=0. (xi)?(i).CommePest irréductible, on a pgcd(P,P ?)? {1,P} et pgcd(P,P ?) =Psi et seulement siP|P?si et seulement si P ?=0 car degP?Polynôme séparable et

En effet, siP=?a

P=R(X)

Élément et extension séparable

Définition

Extension algébrique.SoitKune extension dek.

On dit queKest une

Remarque

Corps parfait

Les propositions suivantes sont équivalentes

Preuve.On a toujours(ii)?(iii)et(iii)?(iv).

Supposonscark=p. On a vu quek=k

P= (X-α)