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Exercices corrig´es

Laurent Charles

5 Fibr´es et champs de vecteursExercice 5.1(Diff´erentielles).1) Rappeler pourquoi la diff´erentielle d"une fonction est une section du

fibr´e cotangent.

2) Soient une application?:M→R?, un ouvertUdeR?qui contient

l"image de?etg?C∞(U). Montrer que d(g◦?) =?? i=1(∂ig◦?)d?i o`u?1,...,??sont les fonctions coordonn´ees de?et∂1g,...,∂?gsont les d´eriv´ees partielles deg. En application, calculer la diff´erentielle de la fonction f(x) = cos(?1(x)?2(x)) +?1(x)?3(x)

o`u?1,?2,?3?C∞(M).Corrig´e 5.1(Diff´erentielles).2) La diff´erentielle ena?M´etant l"application lin´eaire tangente ena,

l"on a par la r`egle de composition que d a(g◦?) =d?(a)g◦Ta?.

Les?isont les fonctions coordonn´ees de?donc

(Ta?(X)) = (Ta?1(X),...,Ta?n(X)) = (da?1(X),...,da?n(X)) Enfin d ?(a)g(x1,...,xn) = (∂1g)(?(a))x1+...+ (∂ng)(?(a))xn. D"o`u d a(g◦?)(X) = (∂1g)(?(a))da?1(X) +...+ (∂ng)(?(a))da?n(X).1

Exercice 5.2(Changement de coordonn´ees dans le plan).1) Rappeler comment on associe `a un syst`eme de coordonn´ees (U,x1,

...,x n) d"une vari´et´eMun rep`ere (dx1,...,dxn) du cotangent deMau dessus deUet un rep`ere (∂x1,...,∂xn) du tangent deMau dessus deU.

2) On notexetyles coordonn´ees lin´eaires deR2etx?=x+y,y?=y.

Calculerdx?etdy?en fonction dedxetdy, puis∂x?et∂y?en fonction de∂x et∂y. Qu"observez-vous?

3) SoitU=R2\{(x,0)/x?0}etr,θ?C∞(U) les coordonn´ees polaires

surU`a valeurs dansR+×]-π,π[. Calculer les champs de vecteurs x∂ x+y∂y(Euler), x∂y-y∂x(oscilateur harmonique)

en fonction de∂ret∂θ.Corrig´e 5.2(Changement de coordonn´ees dans le plan).1) Les diff´erentielles (dx1,...,dxn) forment en chaque pointpune base

deTpM?. Les champs de vecteurs∂xisont d´efinies de sorte que en tout point pl"on ait ?dpxi,∂xj|p?=δij.

2) On v´erifie quex?ety?forment un syst`eme de coordonn´ees. Tout

champXdu plan est alors combinaison lin´eaire de∂∂x ?et∂∂y ?`a coefficient des fonctionsC∞. Pour calculer ces fonctions on utilise la dualit´e entre (dx?,dy?) et (∂∂x ?,∂∂y ?) de sorte que

X=dx?(X)∂∂x

?+dy?(X)∂∂y Commedx?=dx+dyetdy?=dy, on obtient avecX=∂∂x etX=∂∂y que ∂∂x =∂∂x ?et∂∂y =∂∂x ?+∂∂y

On remarque quey=y?n"entraine pas∂∂y

=∂∂y

3) On applique la mˆeme m´ethode que pr´ec´edemment.x=rcosθet

y=rsinθentrainent que dx= cos(θ)dr-rsin(θ)dθ, dy= sin(θ)dr+rcos(θ)dθ Donc ∂∂r = cos(θ)∂∂x + sin(θ)∂∂y =-rsin(θ)∂∂x +rcos(θ)∂∂y 2

D"o`u l"on tire que

∂∂x = cos(θ)∂∂r -1r sin(θ)∂∂θ ,∂∂y = sin(θ)∂∂r +1r cos(θ)∂∂θ puis∂∂x =xr ∂∂r -yr

2∂∂θ

,∂∂y =yr ∂∂r +xr

2∂∂θ

Remarquez que l"on peut aussi faire ces calculs en partant der2=x2+y2 et tan(θ) =y/x, la deuxi`eme ´egalit´e ´etant valable l`a o`uxne s"annule pas.

En diff´erentiant, on obtient que

2rdr= 2xdx+ 2ydy

et 1cos

2(θ)dθ=1y

dx-yx 2dx donc dr=xr dx+yr dy, dθ=xdy-ydxr 2 Le r´esultat est valable sur toutUmˆeme si une partie des calcul ne valent que en dehors de l"axeOy. En effet il suffit de prolonger par continuit´e pour obtenir les ´egalit´es l`a o`uxs"annule. On retrouve les formules pr´ec´edentes exprimant ∂∂x et∂∂y dans le rep`ere ∂∂r ) en utilisant que

X=dr(X)∂∂r

+dθ(X)∂∂θ pourX=∂∂r et∂∂θ Un simple calcul montre enfin que le champ d"Euler vaut en coordonn´ees polaires x∂∂x +y∂∂y =r∂∂r et l"oscillateur harmonique x ∂∂y -y∂∂x .Exercice 5.3(Champs de vecteur deRn).On dit d"un champX=?n i=1fi∂xideRnqu"il est constant (resp. lin´eaire) si lesfisont constantes (resp. lin´eaires).3 a)Soient deux champs deRndonn´es parX=?fi∂xietY=?gi∂xi.

Montrer que le crochet vaut

[X,Y] =n? i=1(LXgi- LYfi)∂xi b)Montrer que l"ensemble des champs constants deRnforment un sous- alg`ebre de Lie. c)Montrer que l"ensemblegl(n) des matrices de taillen×n`a coefficients r´eels est une alg`ebre de Lie, o`u le produit est donn´e par le commutateur. Montrer que les matrices antisym´etriques forment une sous-alg`ebre de Lie o(n) degl(n). d)Montrer que les champs de vecteurs lin´eaires deRnforment une sous- alg`ebre de Lie isomorphe `agl(n). e)Montrer que le produit vectoriel×munitR3d"une structure d"alg`ebre de Lie. Montrer que cet alg`ebre de Lie est isomorphe `ao(3). En d´eduire que pour tout vecteursuetvdeR3, [Lv,Lu] =Lv×u

o`uLvest le champ de vecteurs deR3d´efini parLv(x) = (x,x×v)Corrig´e 5.3(Rotations infinit´esimales).b)D"apr`es lea), le crochet de deux champs constants est le champ nul,

qui est bien un champ constant. d)Pour toute matriceM, on noteXMle champXM=?n i,j=1xiMj i∂xj.

Calculons le crochet deXMetXN. L"on a

n k,?=1L

XM(xkN?k)∂x?=n?

i,j,k,?=1x iMj iL∂xj(xk)N?k∂x? n? i,j,?=1x iMj iN?j∂x? n? i,?=1x i(MN)?i∂x? =XMN

Donc d"apr`es la questiona),

[XM,XN] =XMN-NM4 ce qui montre que l"aplication degl(n) dans Γ(Rn,TRn) qui envoieMsur X Mest un morphisme d"alg`ebre de Lie. Cette application est de plus injec- tive et son image est l"ensemble des champs lin´eaires. e)Le produit vectoriel est bilin´eaire, antisym´etrique. L"identit´e de Jacobi d´ecoule de la formule du double produit u×(v×w) =?u,w?v- ?u,v?w. Pour tout vecteuru= (x,y,z), l"on noteMula matrice M u=( (0-z y z0-x -y x0) Un simple calcul montre que [Mu,Mv] =Mu×v. L"on en d´eduit que l"appli- cation qui envoieusurMuest un isomorphisme d"alg`ebre de Lie entreR3 eto(3). Pour montrer le dernier point, on remarque queMuv=u×v. L"on

en d´eduitXMu=Lu.Exercice 5.4(Champs de vecteurs sur la sph`ere).On consid`ere la sph`ere comme la compactification du planj:R2→S2

o`u le plongementjest l"inverse d"une projection st´er´eographique. Montrer que tout champ de vecteurs constant du plan se prolonge `a la sph`ere. Mˆeme question avec le champ d"Euler. On rappelle que si (xn,yn) et (xs,ys) sont les coordonn´ees obtenues par projection st´er´eographique par rapport aux pˆoles nord et sud respective- ment, on a au dessus deS2\ {N,S} x n=xsx

2s+y2s, y

n=ysx

2s+y2sCorrig´e 5.4(Champs de vecteurs sur la sph`ere).Dans un espace vectorielE, l"espace tangent en tout point s"identifie

naturellement `aE. Ainsi le fibr´e tangent deEest naturellement isomorphe au fibr´e trivialE×E. On appelle champ constant deEune sectionXde

E×Ede la forme

X(x) = (x,u)

avecu?E. La notion de champ constant d"une vari´et´e quelconque n"a pas de sens, car il n"y a pas d"identification naturelle entre les diff´erents espaces tangents. On notexetyles coordonn´ees lin´eaires deR2et∂x,∂yles deux champs de vecteurs associ´es. Un champ de vecteurs constant deR2est alors un5 champ de la formea∂x+b∂yavecaetbdeux r´eels. On identifieR2`a la sph`ere priv´ee du pˆole nord par projection st´er´eographique. Le champ constanta∂x+b∂ydevient alors le champX=a∂xn+b∂yn. On se demande s"il est possible de d´efinirXau pole nord de sorte queXsoit lisse. Pour cela on exprimeXsurS2\ {N,S}dans le rep`ere∂xs,∂ys.

On a au dessus deS2\ {N,S}

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