[PDF] [PDF] Maths TSI 1re année

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K. Commault • É. Mercier • S. Passerat • E. Tournesac MATHS TSI 1 re

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Exercices guidés

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Tous les corrigés détaillésCONFORME

AU PROGRAMME

Avant-proposCet ouvrage vous propose, en un seul volume, toutes les clés nécessaires pour réussir votre

année de Mathématiques en première année de TSI :

Cours complet

Rigoureusement conforme aux nouveaux programmes, il contient tous les outils pour acquérir les connaissances et les savoir-faire indispensables.

Fiches de synthèse

Pour une révision ef�cace avant les khôlles ou les épreuves, l'essentiel du cours est présenté

de manière synthétique sous forme de �ches de révision. Vrai faux Première étape vers l'entraînement, des vrais faux sont proposés pour permettre de tester rapidement la compréhension du cours.

Exercices guidés

Ces exercices, de dif�culté croissante, fournissent de nombreux conseils visant à vous aider à

démarrer dans la résolution de l'exercice. Ils sont assortis d'un corrigé détaillé.

Exercices d'approfondissement corrigés.

Pour se mettre en situation d'épreuves, de nombreux exercices vous sont proposés. Chacun à

un niveau de dif�culté clairement identi�é : •, • • ou •••.

Tous ces exercices sont intégralement corrigés.1

Table des matières

Chapitre 1.Pratique calculatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51. Nombres et fonctions5- 2. Résoudre des équations11- 3. Résoudre des inéquations20

- 4. Dérivée, primitives d'une fonction22- 5. Déterminer une limite26- 6. Raisonner par récurrence29-Synthèse et méthodes 33-Exercices 35-Corrigés 38

Chapitre 2.Nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

1. EnsembleCdes nombres complexes43- 2. EnsembleUdes nombres complexes de module

149- 3. Arguments d'un nombre complexe non nul51- 4. Exponentielle complexe54-

5. Équation du second degré dans

C54- 6. Racinesnièmes57-Synthèse et méthodes 60-

Exercices 62-Corrigés 65

Chapitre 3.Étude globale d'une fonction d'une variable réelle à valeurs réelles. . . . . . . .73

1. Généralités sur les fonctions d'une variable réelle à valeurs dansR73- 2. Dérivation81-

3.Étuded'unefonction84-4.Fonctionsusuelles85-Synthèseetméthodes 98-Exercices 100

-Corrigés 103

Chapitre 4.Géométrie élémentaire du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

1. Repérage dans le plan111- 2. Produit scalaire118- 3. Déterminant dans une base orthonor-

mée directe

120- 4. Droites123- 5. Cercles128-Synthèse et méthodes 130-Exercices 132

-Corrigés 136

Chapitre 5.Géométrie élémentaire de l'espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145

1. Repérage dans l'espace145- 2. Produit scalaire149- 3. Produit vectoriel dans l'espace

-Synthèse et méthodes 164-Exercices 166-Corrigés 170

Chapitre 6.Équations différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

1. Équations différentielles linéaires du premier ordre179- 2. Équations différentielles linéaires

du second ordre à coef�cients constants188- 3. Résolutions approchées d'équations différen-

tiellesaveclaméthoded'Euler195-Synthèseetméthodes 198-Exercices 200-Corrigés 203

Chapitre 7.Dénombrement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211

1. Cardinal d'un ensemble �ni211- 2. Dénombrement214-Synthèse et méthodes 216-

Exercices 217-Corrigés 220

Chapitre 8.Systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225

1. Introduction aux matrices225- 2. Systèmes linéaires228- 3. Résolution d'un système

linéaire232- 4. Éléments d'algèbre deRn241-Synthèse et méthodes 247-Exercices 249-

Corrigés 252

2

Table des matières

Chapitre 9.Réels - Suites numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2591. Nombres réels259- 2. Généralités sur les suites réelles266- 3. Limite d'une suite réelle272

- 4. Théorèmes d'existence d'une limite277- 5. Comparaison de suites280-Synthèse et méthodes 284-Exercices 286-Corrigés 289

Chapitre 10.Limites et continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297

1. Limite �nie ou in�nie en un point ou en�1297- 2. Théorèmes d'existence d'une limite304

- 3. Comparaison de fonctions305- 4. Continuité310-Synthèse et méthodes 320-Exer- cices 322-Corrigés 325

Chapitre 11.Dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331

1. Nombre dérivé, fonction dérivée331- 2. Opérations sur les fonctions dérivables334- 3. Pro-

priétésdesfonctionsdérivables

336-4.FonctionsdeclasseCk341-Synthèseetméthodes 343

-Exercices 345-Corrigés 349

Chapitre 12.Intégration sur un segment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .359

1. Intégrale d'une fonction continue sur un segment359- 2. Calcul intégral365- 3. Formule

de Taylor avec reste intégral368-Synthèse et méthodes 371-Exercices 373-Corrigés 378

Chapitre 13.Développements limités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .389

1. Introduction389- 2. Généralités390- 3. Propriétés des développements limités393-

4. Application des développements limités398-Synthèse et méthodes 403-Exercices 405-

Corrigés 408

Chapitre 14.Polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415

1. Polynômes à une indéterminée415- 2. Arithmétique dansK[X]422- 3. Dérivation dans

K[X]426- 4. Racines d'un polynôme429- 5. Décomposition en facteurs irréductibles434 - 6. Relations coef�cients-racines438-Synthèse et méthodes 440-Exercices 442-Corri- gés 445

Chapitre 15.Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .451

1. Généralités sur les matrices451- 2. Opérations sur les matrices452- 3. Matrices carrées456

6. Application linéaire canoniquement associée à une matrice

462-Synthèseetméthodes 466

-Exercices 468-Corrigés 471

Chapitre 16.Espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .477

1. Espaces et sous-espaces vectoriels477- 2. Sous-espaces vectoriels481- 3. Familles �nies de

vecteurs487-Synthèse et méthodes 493-Exercices 495-Corrigés 498

Chapitre 17.Espaces vectoriels de dimension �nie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .505

1. Espace vectoriel de dimension �nie505- 2. Sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de

dimension �nie510- 3. Rang d'une famille �nie de vecteurs512-Synthèse et méthodes 514

-Exercices 515-Corrigés 5183

Table des matières

Chapitre 18.Applications linéaires et représentations matricielles. . . . . . . . . . . . . . . . .5271. Généralités527- 2. Endormorphismes remarquables d'un espace vectoriel531- 3. Applica-

tions linéaires en dimension �nie535- 4. Représentation matricielle d'une application linéaire

en dimension �nie540-Synthèse et méthodes 549-Exercices 551-Corrigés 555

Chapitre 19.Probabilités sur un univers �ni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .565

1. Cadre théorique des probabilités565- 2. Conditionnement et indépendance572-Synthèse

et méthodes 578-Exercices 580-Corrigés 584

Chapitre 20.Variables aléatoires réelles sur un univers �ni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .591

aléatoire

598-4.Loisusuelles601-Synthèseetméthodes 608-Exercices 610-Corrigés 614

4

COURS1

Chapitre

Pratique calculatoireObjectif

L'objectif de ce chapitre est de renforcer les techniques de calcul sur des outils indispen-

sables en mathématiques ainsi que dans les autres disciplines scienti�ques. Les dé�nitions

précises et rigoureuses sont différées aux autres chapitres.

1. Nombres et fonctions

1.1. Droite réelleDé�nition 1.1.

• On appelledroite réelletoute droite munie de deux points distincts : -Oest appelé "origine» et est associée au nombre 0; -Iest associé au nombre 1. • Lesnombres réelssont les abscisses des points de cette droite. • On noteRl'ensemble des nombres réels. • UnintervalledeRdésigne l'ensemble des réels compris entre deuxbornes. Un intervalle est ditfermés'il contient ses bornes �nies,ouverts'il ne les contient pas,semi-ouvertsinon.Exemples 0 1 ��3 1

�1OI•�3 et�appartiennentà l'ensemble des nombres réels. On note :�32Ret�2R.

•]�3;�[est l'intervalle ouvert contenant tous les réelsxtels que�3 que les crochets sont tournés vers l'extérieur de l'intervalle pour signi�er qu'il ne contient pas ses bornes.

Maths TSI - 1

reannéeNotationQuelques sous-ensembles deRseront fréquemment utilisés et ont des notations propres :

•R+=[0;+1[désigne l'ensemble des réels positifs (ou nuls); •R�=]�1;0]désigne l'ensemble des réels négatifs (ou nuls); •NetZdésignent les ensembles des entiers naturels et relatifs respectivement.Remarques 1.

De façon générale, la présence de�signi�e qu'on prive l'ensemble de 0. Ainsi,R�

désigne l'ensemble des réels non nuls. 2. Pour deux ensemblesAetB, l'ensemble des éléments qui sont dansAmais pas dans Best notéAnB(on lit "Aprivé deB»). On a ainsi :R�=Rnf0g. 3. Attention à ne pas confondre crochets et accolades. Les crochets servent uniquement pour les intervalles, les accolades sont utilisées pour décrire des ensembles : •f1;2;3;4;5;6gest l'ensemble des résultats possibles lorsqu'on lance un dé; •R+=fx2R=|{z} tels quex�0g.Vocabulaire

Soitxun nombre réel.

•�x est l'opposédex. Sixcorrespond au pointMsur la droite réelle,�xcorrespond au point symétrique deMpar rapport àO. • Sixest non nul,1x est l' inversedex.

Attention :�xdésigne l'opposé dexet donc�xest peut être positif (sixest négatif).Notation (xnpourn2N)

• On posex0=1 et, pourn>0,xn=x�x�����x|{z} nfacteurs. • Six6 =0 alorsx�ndésigne l'inverse dexn. Par exemple,x�3=1x 3. •Règles de calcul :soitxetydes réels non nuls,netmdes entiers relatifs. On a : (x y)n=xnynxnxm=xn+mxnx m=xn�m

1.2. Travailler avec des inégalitésPropriété 1.1.

Soitaetbdeux réels, avecaChapitre 1 - Pratique calculatoire COURS�On peut multiplier ou diviser l'inégalité par�selon le signe de�: -si�est positif, on ne change pas le sens de l'inégalité : b� .Remarques

1.()se lit "est équivalent à» ou "si, et seulement si».

2. La propriété précédente peut s'écrire avec des inégalités larges.Exemple

En France, le taux maximal autorisé pour un conducteur est de 0,5 g d'alcool par litre de sang. Sachant que le taux d'élimination varie entre 0,10 et 0,15 g

L par heure, un individu

ayant un taux de 1,1g L peut-il conduire après 8h sans consommer d'alcool? SoitTle taux d'élimination de cette personne. On a : Le taux résiduel d'alcool par litre de sang est dans[�0,1;0,3](et donc dans[0;0,3]car c'est une quantité positive), la personne peut donc conduire.

Notez cependant que pour la plupart des individus, le taux résiduel n'est pas nul...Conseils méthodologiques (Comment appliquer une fonction à une inégalité)

Tout dépend du sens de variation de la fonction : • appliquer une fonction croissante conserve le sens de l'inégalité; • appliquer une fonction décroissante change le sens de l'inégalité; il n'y a pas de règle pour une fonction qui n'est pas monotone (c'est-à-dire qui alterne croissance et décroissance).Remarques

1. Soientaetbdeux réels aveca Non, prenez par exemple�3<2 mais(�3)2>22. Cette erreur classique est due au fait quex7!x2n'est pas monotone surR. 2. Les fonctionsexpetlnsont strictement croissantes surRetR� +respectivement, on peut donc les appliquer sans changer le sens d'une inégalité.Exemple

Pourx2[5;10], encadrons e12�3x. On a :

Maths TSI - 1

reannéeConseils méthodologiques (Prouver qu'une propriété est fausse avec un contre-exemple)Dans la remarque précédente, pour montrer que l'implicationa on a pris des valeurs pouraetbpour lesquellesaOn a exhibé uncontre-exemple.

Pourprouverqu'unepropriétéestfausseonexhiberasystématiquementuncontre-exemple.Remarque (Attention:unexemplenepermetpasdeprouverqu'unepropriétéestvraie!)

Prenons un exemple non numérique. Soit la propositionP: "Dans la Seconde 1, tous les élèves sont des garçons». Prendre comme exemple un garçon de la classe ne prouve pas

quePest vraie. Par contre, exhiber une �lle de la Seconde 1 suf�t pour af�rmer quePest

fausse.

1.3. Valeur absolueDé�nition 1.2.

Soitx2RetMle point d'abscissexsur une droite réelle. On appellevaleur absoluedexla distanceOM. On la notejxj.Exemples

1. Il est souvent utile de faire une �gure pour illustrer :0

1+1 �1OIB

-2,6j�2,6j=OB=2,62.j�5j=5 ;j12j=12 ;j�j=�;j��5j=5��.Remarques

• Puisque la valeur absolue est une distance c'est une quantité positive ou nulle. •Six2R+alorsjxj=x; six2R�alorsjxj=�x, ce qui semble paradoxal car l'idée "naturelle» de la valeur absolue est qu'elle élimine les signes�.Propriété 1.2. Soientaetbdeux réels,MetNleurs points correspondants sur la droite réelle. On dit que la longueurMNest ladistanceentrelesnombresaetbet on la notedist(a,b).

On a : dist

a,b)=jb�aj.Conseils méthodologiques Puisqu'une valeur absolue peut être interprétée comme une distance, il est souvent utile de faire une �gure pour résoudre les exercices proposés. 8

Chapitre 1 - Pratique calculatoire

COURSExemples

1. Résoudrejx�3j=7 revient à trouver tous les réelsxdont la distance à 3 est 7 :0 1 �1O

3-7+7-410On a donc comme ensemble de solutions :f�4;10g.

2. Pour résoudrej5+xj>2, on commence par remarquer quej5+xj=jx+5j=jx�(�5)j.

On cherche donc tous les réels

xdont la distance à�5 est strictement supérieure à 2 :0 1 �1O-5 -2+2-7 -3 9

7,9-4,1�1

Les solutions sont situées à gauche (strictement) de�7 et à droite (strictement) de

3. On a donc comme ensemble de solutions :]�1;�7[[]�3;+1[.Remarque

Étant donnés deux ensemblesAetB,A[B(lire "AunionB») est l'ensemble qui contient

les éléments deAainsi que les éléments deB:A[B=fx=x2Aoux2Bg.Propriété 1.3. Inégalité triangulaire

Soienta,betcdes réels. On a :jb�aj�jb�cj+jc�aj.Remarque

Si on interprète l'inégalité triangulaire en termes de distance, elle af�rme que le plus court

chemin entreaetbne passe pas parc, sauf quandc2[a,b](qui est le cas d'égalité).

1.4. Fonctions de référence : af�nes, polynômiales du second degré, inverseRésultat 1.4. Fonctions af�nes

• Ce sont les fonctions de la formef(x)=ax+bavecaetbdes réels. •aest lecoef�cient directeur(ou pente),best l'ordonnée à l'origine. • Leurs courbes représentatives sont des droites. • Le signe deadétermine les variations : -sia>0, la fonction est croissante; -sia<0, la fonction est décroissante; -sia=0, la fonction est constante. 9

Maths TSI - 1

reannéeOIJ xy y=2x�1

y=�0,3x�1Le point(0;b)est sur la droitey=ax+bFigure 1.1.Courbes représentatives de fonctions af�nes.Résultat 1.5. Fonctions polynomiales du second degré

• Ce sont les fonctions de la formef(x)=ax2+bx+caveca,betcdes réels,a6=0. • Leurs courbes sont desparaboles. • Le signe deadétermine l'orientation de la parabole : -sia>0, la parabole est orientée vers le haut; -sia<0, la parabole est orientée vers le bas. Les solutions éventuelles def(x)=0 sont appelées lesracinesdef. Pour les trouver on dispose d'un algorithme : -étape 1: calculer�=b2�4ac, lediscriminantdef. -étape 2: trois cas sont possibles selon le signe de�: �si�<0, alors il n'y a pas de racines réelles; �si�=0, alors il y a une unique racine,r=�b2a �si�>0 alors il y a deux racines distinctes r

1=�b�p�

2 a etr2=�b+p� 2 a

.�>0�>0�=0�<0xyFigure 1.2.Trois paraboles orientées vers le haut, une vers le bas.Résultat 1.6. Fonction inverse

• Elle est dé�nie surR�parf(x)=1x • Sa courbe représentative est unehyperbole. • Elle est décroissante surR� �et surR�+(mais pas surR�).... 10

Chapitre 1 - Pratique calculatoire

COURSx

yO IJ (1;1)

Figure 1.3.L'hyperboley=1x

2. Résoudre des équations

2.1. GénéralitésExemple

Considérons l'équation(E):3x+2=x+4.Pourx=0,(E)devient 2=4 qui est une égalité Fausse. Par contre, pourx=1 on obtient

5=5 qui est Vraie, on dit que 1 est unesolutionde(E).

Pour résoudre(E), il faut trouvertoutesses solutions.Propriété 1.7.

Soit(E)une équation. Lorsqu'on fait une opération arithmétique élémentaire (ajouter un

une nouvelle équation équivalente à(E).Exemples

1. 3x+2=x+4()3x+2�2�x=x+4�2�x()2x=2()2x2

=22 ()x=1. On en conclut que 1 est l'unique solution de(E), autrement dit : l'ensemble des solutions de(E)estf1g. 2.

Que penser du raisonnement suivant :x+5x=0()x+5x

�x=0�x()x+5=0? Dans la première équation, il est absurde de considérerx=0 : c'est unevaleur inter- dite . Par contre, dans la dernière,x=0 est autorisé; ces deux équations ne sont donc pasvraimentéquivalentes. Lorsqu'on résout une équation, il faut commencer par déterminer l'ensemble des valeurs autorisées pour la variable. Ensuite, la résolution qu'il est valable surR�:

8x2R�,x+5x

=0()x+5x �x=0�x()x+5=0()x=�5.11

Maths TSI - 1

reannéeRemarques

1. Le symbole8se lit "pour tout».

2. Les valeurs interdites proviennent notamment des situations suivantes :

• on ne peut pas diviser par un nombre nul; • on ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre strictement négatif;

• on ne peut pas calculer le logarithme népérien d'un nombre négatif ou nul.Conseils méthodologiques (Résolution graphique d'une équation)

Soit une équation du typef(x)=g(x).L'observation des courbes représentatives defetgest un outil intéressant car les abscisses

des points d'intersection sont les solutions def(x)=g(x).Figure 1.4.Sur cet exemple, trois solutions apparaissent :x1,x2etx3.

Néanmoins, il faut comprendre les limites d'une résolution graphique. D'une part on obtient des valeurs approchées des solutions (cela étant, si la lecture semble

indiquer quex1vaut�3, on peut tester�3 dans l'équation pour voir si c'est une solution).

D'autre part, la lecture est faite sur une partie de la courbe. Il est possible que d'autres points d'intersection (donc d'autres solutions) existent en dehors de lafenêtreobservée.

Reprenons l'exemple précédent :Figure 1.5.Sur une fenêtre plus grande, une nouvelle solution apparaît.

12

Chapitre 1 - Pratique calculatoire

COURS2.2. Équations polynomiales

2.2.1. GénéralitésDé�nition 1.3.

• Un polynôme est une fonction de la forme

P(x)=a0+a1x+a2x2+���+anxn

aveca02R,...,an�12Retan2R�. • L'entier naturelnest appelédegrédu polynômeP. Pouri2f0;1;...;ng,aiest appelécoef�cientde degréi. On dit également queanest lecoef�cient dominant.Exemples

1.f(x)=3�3x+x2�x4est un polynôme de degré 4. Ses coef�cients sont :

a

0=3 ;a1=�3 ;a2=1 ;a3=0 eta4=�1.

2. Les fonctions af�nes (non nulles) sont des polynômes de degrés 1 ou 0.

Par exemple :g(x)=3x�5 est de degré 1;h(x)=�8 est de degré 0.Remarques 1. La dé�nition qui a été donnée exclut le cas particulier du polynôme nul (car on demande qu'au moins un coef�cient soit non-nul). Une dé�nition plus complète sera vue lors du chapitre dédié aux polynômes. 2. quenest supérieur ou égal à 3, ce qui n'est pas nécessairement le cas. Une meilleure notation existe :

P(x)=n

X k=0a kxk. On lit : "somme desakxkpourkvariant de 0 àn».Dé�nition 1.4. On dit qu'une équation est polynomiale lorsqu'elle se ramène, par opérations, à une

équation du typeP(x)=0 avecPun polynôme.

• On dit alors que le degré de l'équation est le degré deP. • Les solutions éventuelles deP(x)=0 sont appelées lesracinesdeP.Exemple

Soit(E):x�x3=3x2+1.

On a(E)()x�x3�3x2�1=0 donc(E)est polynomiale de degré 3.13

Maths TSI - 1

reannée

2.2.2. Équations de degré 1Conseils méthodologiques

On cherche à résoudre(E1):ax+b=0 aveca2R�etb2R. • Par opérations on a :(E)()x=�ba •On peut interpréter graphiquement cette résolution : la fonctionf(x)=ax+best de degré 1 (a6=0). Sa courbe représentative est une droite qui n'est pas horizontale, elle a donc un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses.Exemple

Résoudre(E):x+27

=3x�1. On a :(E)()x+2=7(3x�1)()x�21x=�9()x=�9�21.Remarque L'ordre dans lequel les opérations sont effectuées est arbitraire et si on en choisit un autre

on obtiendra le même résultat. Il est par contre possible que le résultatsembledifférent : il

est important de simpli�er les expressions, notamment les racines carrées et les fractions.Conseils méthodologiques (Simpli�er une fraction, une racine carrée)

•Fractions

Commençons par une erreur classique :3+23

=3+2 3=2.

C'est évidemment faux :

3+23 =53 6 =2. Simpli�er une fraction c'est appliquer la règle :

A�BA�C=A�B

A�C=BC

Il est donc nécessaire de faire apparaître la factorisation parAau numérateur ainsi qu'au dénominateur avant de simpli�er. •Racines carrées Simpli�er une racine carrée c'est appliquer la règle :pA�B=pA�pB. LorsqueAest un carré :A=C2(avecC¾0), on a alorspA=pC 2=C.

Par exemple,p84=p4�21=p4�p21=2p21.

Si l'on ne connaît pas le signe deC, on a toujourspC

2=jCj.

Par exemple :p(�3)

2=p9=3=j�3j.

14

Chapitre 1 - Pratique calculatoire

COURS2.2.3. Équations de degré 2

Exemples

1. Résoudre 2x2=3x+1.

On a : 2x2=3x+1()2x2�3x�1=0. Posonsa=2,b=�3 etc=�1. On calcule le discriminant�=b2�4ac=17>0 donc l'équation a deux solutions : x

1=3+p17

4 etx1=3�p17 4

2. Résoudre 4x2�3x=0.

On a : 4x2�3x=0()x(4x�3)=0()x=0 ou 4x�3=0()x=0 oux=34 .Remarque Dans le dernier exemple on a utilisé une propriété fondamentale deR: un produit est nul si, et seulement si, un (au moins) des facteurs est nul. On est ainsi passé d'une équation de

degré 2 à deux équations de degré 1.Conseils méthodologiques (Résoudre une équation de degré 2)

On cherche à résoudre(E2):ax2+bx+c=0 aveca2R�,b2Retc2R. On peut toujours résoudre cette équation en utilisant le discriminant�mais parfois on peut factoriserax2+bx+cen un produit de deux polynômes de degré 1 et alors la résolution est immédiate. Graphiquement, la parabole d'équationy=ax2+bx+caura 2, 1 ou aucun point d'intersection avec l'axe des abscisses.Remarque (Erreur classique) Pour résoudrex2=4, l'erreur classique est d'écrire :x2=4,px

2=p4,x=2.

2 est bien solution de l'équation mais ce n'est pas la seule :�2 est aussi solution.

Une résolution correcte :x2=4,x2�22=0,(x�2)(x+2)=0,x2f2;�2g.

2.2.4. Équations de degrén¾3Exemples

1. Résoudrex(x�2)�x3+2x2=0. On a :

2. Résoudrex4�x2�1=0.

On poseX=x2et l'équation devientX2�X�1=0. Cette équation est de degré 2, son discriminant vaut�=5>0, elle a donc deux15

Maths TSI - 1

reannéesolutions :X1=1+p5 2 etX2=1�p5 2 •X1>0 doncX1=(pX

1)2et alors :

x

2=X1,x2�(pX

1)2=0,(x�pX

1)(x+pX

1)=0,x2�pX

1;�pX

1�;

•X2<0 donc l'équationx2=X2n'a pas de solutions réelles. Finalement l'ensemble des solutions dex4�x2�1=0 est( vt1+p5 2 ;�vt1+p5quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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