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Première ES/Fonctions de référence

1.Rappels: lecture graphique et de tableaux de variations :

Exercice 4493

Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos sur internet. Le responsable du site a constaté que la durée de charge- ment des vidéos évoluait en fonction d"internautes connectés simultanément. On cherche à estimer la durée de chargement en fonction du nombre de personnes connectées simultanément. Deux fonc- tions sont proposées pour modéliser cette situation. Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d"une fonctionfqui modélise la situation précédente. On notexle nombre, exprimé en millier, d"internautes con- nectés simultanément etf(x)la durée de chargement ex- primée en seconde.01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. Par lecture graphique, estimer la durée de chargement, en seconde, pour8000personnes connectées. 2. a. Déterminer graphiquement un antécédent de15par f. b.

Donner une interprétation de ce résultat.

Exercice 4494

La représentation graphique de la fonctionfest donnée dans le repère(O;I;J)ci-dessous: -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5 6 7I -4-3-2-12 345
J O Cf 1.

Justifier chacune de vos observations:

a.

Quelle est l"image du nombre2parf.

b.

Quels sont les antécédents parfdu nombre2.

2.

Dresser le tableau de variations de la fonctionf.

3. a. Quelles sont les coordonnées du point le plus haut de la courbeCf. b. En déduire la valeur maximale prise par la fonctionf. 4. Donner la valeur minimale prise par la fonctionfet la valeur dexpour laquelle elle est atteint.

Exercice 4495

On considère la fonctionfdont la représentation est donnée ci-dessous dans le repère(O;I;J): -6-5-4-3-2-123I -2 -1 2 3 J O Cf 1. Donner l"ensemble de définition de la fonctionf. 2.

Donner les images, par la fonctionf, de0et1.

3. Donner les antécédents des nombres0et1par la fonc- tionf. 4.

Dresser le tableau de variations de la fonctionf.

Exercice réservé 4504

On considère une fonctionfdéfinie surRdont le tableau de Première ES - Fonctions de référence - http://new.localhost variations a été donné ci-dessous:x

Variation

def1 -2 0 1+1 5 37
-13 Dire si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses en justifiant la réponse. a.

3est un antécédent du nombre2

b. f(1)>f(1) c. f(1)est un nombre positif d.

Pourx2]0;1[, on a:f(x)⩾0

e.

Le minimum de la fonctionfest -1.

Exercice 4505

On considère la fonctionfadmettant le tableau de signe ci-dessous:x135+1f(x)+00 + Répondre aux affirmations suivantes par "vrai", "faux" ou "on ne peut pas savoir" : 1. f(2)=6. 2. L"équationf(x)=0admet exactement deux solutions. 3.

La fonctionfest une fonction affine.

4. L"inéquationf(x)<0a pour ensemble de solutions] 3;5[. 5. Le pointA(0;5)appartient à la courbe représentative de la fonctionf. 6.

Sif(1)=4, alors le minimum de la fonctionfsurR

est4.

2.Rappels: fonctions affines :

Exercice 4496

Le graphique ci-dessous donne la représentation de deux droites dans un repère(O;I;J)orthonormé: x0x y 0y -6 -5 -4 -3 -2 -101 2 3 4 5 6 -2-11 2345
(d1) (d2) 1.

On considère les deux pointsA(2;3)etB(4;0)ap-

partenant à la droite(d1): a. Montrer que le coefficient directeur de la droite(d1) a pour valeur1 2 b. Déterminer l"équation réduire de la droite(d1). 2. Déterminer l"équation réduite de la droite(d2).

Exercice réservé 4497

Dans un repère(O;I;J)orthogonal, on représente les cinq droites ci-dessous. x -6 -5 -4 -3 -2 -1

01 2 3 4 5 6

y -1 1 23456
(d1) (d2) (d3) Déterminer les équations réduites des droites(d1),(d2),(d3).

3.Rappels: fonctions du second degré :

Exercice 4501

1. Dresser le tableau de variations des fonctions suivantes: a.f(x) =x2+x2 b.g(x) =2x2+ 4x3 c.h(x) =4x2+x+ 2 d.j(x) = 2x2+ 2x+ 2 2. Pour chaque fonction de la question précédente, donner, sans préciser leurs valeurs, le nombre d"antécédent de0.

Exercice 7252

On considère la fonctionfdéfinie surRpar la relation: f(x) =x2+ 6x+ 2 1. Justifier que la fonctionfadmet pour forme canonique: f(x) =(x+ 3)27 2. Etablir la décroissance de la fonctionfsur l"intervalle]1;3]. Première ES - Fonctions de référence - http://new.localhost La fonction carré est décroissante surRce qui peut

se traduire des deux manières suivantes:Deux nombres négatifs et leurs carrés sont comparés

dans l"ordre inverse.

On a l"implication:ab2

La fonction carré est croissante surR+ce qui peut se traduire des deux manières suivantes: Deux nombres positifs et leurs carrés sont comparés dans le même ordre.

On a l"implication:a>b>0 =)a2>b2

Exercice réservé 7253

On considère la fonctionfdéfinie surRpar la relation: f(x) =2x2+ 6x+ 1 1. Montrer que la fonctionfadmet pour forme canonique: f(x) =2( x3 2 2+11 2 2. Etablir la décroissance de la fonctionfsur l"intervalle[3 2 ;+1[

Exercice 7466

On considère la fonctionfdéfinie surRpar la relation: f(x) =x2+x2 1. Pour tout nombre réelaetb, établir l"égalité: f(a)f(b) =(ab)(b+a+ 1) 2.

Etablir que la fonctionfest croissante sur[0;+1[.

Exercice 4502

1.

On considère la fonctionfdéfinie par:

f(x) =ax2+ 3x+ 2oùa2R

Sachant que sa courbe représentative passe par le pointde coordonnéesA(2;12), déterminer l"expression

complète de la fonctionf.2.Soitgla fonction dont l"image d"un nombre réelxest définie par: g(x) = 3x2+bx+ 1oùb2R Sachant que le sommet de la parabole représentative de la fonctionga pour abscisse1, déterminer l"expression complète de la fonctiong.

Exercice réservé 4499

La courbeCfest une parabole représentant une fonctionf du second degré.-2 -12I -4-22 J O CfA SB

La courbeCfpasse par les pointsA(1;2),B(0;1)et

admet pour sommet le pointSdont l"abscisse est1 4 La fonctionfétant définie par un polynôme du second degré, on en déduit l"existence de trois réelsa,betctels que: f(x) =ax2+bx+c 1. A l"aide des coordonnées du pointB, déterminer la valeur du nombrec. 2. En utilisant les caractéristiques du sommetSde la parabole, justifier que la fonctionfadmet l"écriture: f(x) = 2bx2+bx1 3. A l"aide des coordonnées du pointA, déterminer l"expression complète de la fonctionf.

4.Rappels: fonctions inverses :

Exercice 7333

On considère la fonctionfdéfinie surRnf1gpar la relation: f(x) =3x+ 4 x1 1.

Etablir l"identité:f(x)=3+7

x1 2. Etablir que la fonctionfest décroissante sur l"intervalle]1 ; +1[.

Exercice 7465

On considère la fonctionfdéfinie sur]2;+1[par la rela- tion:f(x)=3x+8 x+2 1.

Etablir l"identité:f(x)=3+2

x+2 2. Etablir que la fonctionfest décroissante sur]2;+1[.

Exercice réservé 7416

On considère la fonction définie surRpar la relation: f(x) =x2+ 2 x 2+ 1 1. Pour tout nombre réelaetb, établir l"identité: f(a)f(b) =(ba)(a+b) a2+ 1)(b2+ 1) 2. En déduire que la fonctionfest croissante sur]1;0] (R).

5.Rappels: usage de la calculatrice :

Première ES - Fonctions de référence - http://new.localhost

Exercice 4517

On considère la fonction homographiquefdéfinie par: f(x) =x24x+ 2 On considère le plan muni du repère(O;I;J)orthonormé représenté ci-dessous:-4 -3 -2 -1 2 3 4I -3-2-12 3 J O 1.

Justifier que la fonctionfest définie surRn{

1 2 2.

A l"aide de la calculatrice:

a.

Dresser le tableau de variations de la fonctionf.

b. Compléter le tableau de valeurs, au dixième près: x 4 3 2 1,5 1 0,8 f(x) x 0,3 0 0,5 1 2 3 4 f(x) 3. Effectuer le tracé de la courbeCfreprésentative de la fonctionfdans le repère ci-dessus.

Exercice 4518

Répondre aux questions suivantes à l"aide de la calculatrice:

1.Soitfla fonction définie par:

f(x) =x34x2+x+ 2 Dresser le tableau de variations de la fonctionfsur l"intervalle[1;4].quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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