[PDF] loi binomiale 1.3 exercices exercice 1 :

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Loi Binomiale

Table des matières

1 dénombrement et coefficients binomiaux2

1.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .2

1.2 a retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .3

1.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .4

1.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .5

2 loi binomiale6

2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .7

2.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .8

2.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .10

2.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .14

2.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .16

2.6 évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .24

2.7 devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .24

2.7.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .24

1

1 dénombrement et coefficients binomiaux1.1 activité

1. Nombre de permutations denéléments(n?N?):?

???n!(factorieln) Combien y a t-il de façons :???de rangernobjets dansncases ?(un par case) de ranger cote à cotenobjets?(en ligne) de "permuter"nobjets? (a) donner le nombre et toutes les façons de permuter 3 objetsen s"aidant de l"arbre de dénombrement suivant(donner un calcul) 1 ?2?3 : (1,2,3) ?3?2 :... ?2 ?1?3 :... ?3?1 :... ?3 ?1?2 :... ?2?1 :... il y a(b) de même, nombre de permutations de4élé- ments = ... (c) nombre de permutations de5éléments = ... (d) nombre de permutations denéléments (n?N?)= ... ???Apn de choisir et rangerpobjets parmin? (a) utiliser l"arbre de dénombrement ci dessous pour trouver le nombre de façons de choisir et ranger2objets parmi4objets 1 ?2 : (1;2) ?3 : (1;3) ?4 : (1;4) ?2 ?1 : (2;1) ?3 : (2;3) ?4 : (2;4) ?3 ?1 : (3;1) ?2 : (3;2) ?4 : (3;4) ?4 ?1 : (4;1) ?2 : (4;2) ?3 : (4;3) il y a ...(b) nombre de façons de choisir et ranger3ob- jets parmi10objets :A310=... (c) nombre de façons de choisir et ranger4ob- jets parmi20objets :A420=... (e) vérifier que

Apn=n!(n-p)!

Combien y a t-il de façons de choisir sans rangerpobjets parmin?(groupes depobjets (a) notonsC210le nombre de combinaisons de2

éléments parmi4

" Pour trouver le nombre de combinaisons C

24, il suffit de connaître le nombre d"arran-

gement de2éléments parmi4et de diviser par le nombre de façons de ranger les deux

éléments soit2!»

on en déduit queC210=A24

2!=122= 6??

1 ?2 : (1;2) ?3 : (1;3) ?4 : (1;4) ?2 ?1 : (2;1) ?3 : (2;3) ?4 : (2;4) ?3 ?1 : (3;1) ?2 : (3;2) ?4 : (3;4) ?4 ?1 : (4;1) ?2 : (4;2) ?3 : (4;3) (b) Donner une relation entreC420, A420et4!puis donner la valeur deC420 (c) on noteCpnou encoreCpn=?np? le nombre de combinaisons depéléments parmin, exprimerCpn=?np? en fonction deApnetp! en déduire l"expression deCpn=?np? en fonction den!,(n-p)!etp! (d) calculerC310à la main et vérifier à la calculatrice

1.2 a retenir

propriété 1

Soientn?Netp?Ndeux entiers naturels avecp < n

Le nombre de combinaisons depéléments parminéléments est notéCpn=?np? avec?

Cpn=?np?

=n!p!(n-p)!où????n! =n×(n-1)×...×1(factorieln)et????0! = 1 exemples : en particulier on a :? ???C0n=Cn-1n= 1et????Cnn= 1 le nombre de groupes(non ordonnés)de3personnes parmi30est : C

330=?303?

=30!

3!(30-3)!= 4060

remarques : i. on remarque le triangle de Pascal nk012345... 01 111
2121
31331

414641

515101051

nk012345... 0C00

1C01C11

2C02C12C22

3C03C13C23C33

4C04C14C24C34C44

5C05C15C25C35C45C55

ii. on remarque qu"il semble que :????Ck+1n+1=Ckn+Ck+1n iii. on remarque qu"il semble que :? k=n? k=0C kn= 2n iv. on admettra que : quels que soient les réelsaetbet l"entier natureln, on a :? (a+b)n=k=n? k=0C knakbn-k(formule du binôme)

1.3 exercices

exercice 1 :

1. combien y a t-il de groupes possibles de deux personnes parmi16?

2. combien y a t-il de groupes de3chevaux parmi15?

3. combien de groupes de6billes parmi49?

4. combien de mots de5lettres avec :

(a) zéroSet "le reste" deE (b) unSet le reste deE (c)2Set le reste deE (d)3Set le reste deE (e)4Set le reste deE (f)5Set "le reste" deE

5. on lance5fois une pièce de monnaie avec pile = "succès"

combien y a t-il de façons d"obtenir exactement3succès parmi les10lancers?

6. on lance7fois un dé avec6= "succès"

combien y a t-il de façons d"obtenir exactement4succès parmi les7lancers?

1.4 corrigés exercices

corrigé exercice 1 :

1. combien y a t-il de groupes possibles de deux personnes parmi16?

2. combien y a t-il de groupes de3chevaux parmi15?

3. combien de groupes de6billes parmi49?

4. combien de mots de5lettres avec :

(a) zéroSet "le reste" deE (b) unSet le reste deE (c)2Set le reste deE (d)3Set le reste deE (e)4Set le reste deE (f)5Set "le reste" deE

5. on lance5fois une pièce de monnaie avec pile = "succès"

combien y a t-il de façons d"obtenir exactement3succès parmi les10lancers?

6. on lance7fois un dé avec6= "succès"

combien y a t-il de façons d"obtenir exactement4succès parmi les7lancers?

2 loi binomiale

2.1 activité

A.Exemple

Pour un dé bien équilibré à8faces, on s"intéresse aux événements : Succès : " on obtient un 8 » et à son contraire Echec : " on n"obtient pas un 8 » On lance le dé 3 fois de suite et de manières indépendantes On appelleXla variable aléatoire égale au nombre de fois que l"on a obtenu8parmi les3 lancers

On cherche la loi de probabilité deX( qui sera une loi dite "binomiale" de paramètres à préciser )

1. Pour un quelconque des3lancers, donnerp=p(8)etq=p(

8)

2. Compléter l"arbre pondéré ci dessous et indiquer les valeurs deXen bout de branche

ainsi que les probabilités associées 8 ...8 ...8X=...

8X=......

8...8X=......

8X=......

8 ...8...8X=...

8X=......

8...8X=......

8X=......

3. Donner les valeurs possibles pourX

4. Préciser combien de façons il y a d"obtenir deux8parmi3lancers notéC23ou?32?

et détailler le calcul dep(X= 2)

5. Donner la loi de probabilité deX(sous la forme d"un tableau )

6. On dit queXsuit une loi ... de paramètrep=...etn=...

B.Généralisation

dans le cas où : ?•on répètenfois une même expérience aléatoire

•les répétitions sont indépendantes

•deux issues contraires pour chaque expérience :?succès : de probabilitép

échec : de probabilité :q= 1-p

alors, la variable aléatoireXqui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres (n,p)avec :?les valeurs possibles deXsont{0,1,2,...,n} de probabilités respectives :? ???p(X=k) =Cknpk(1-p)n-k

C.Application

On joue4fois à "pile ou face" avec une pièce équilibrée et de manièresindépendantes

SoitXle nombre de fois où l"on fait "pile". Donner la loi de probabilité deX

2.2 corrigé activité

A.Exemple

1.p=p(8) =?

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