[PDF] Fiche technique 7 - Equations différentielles

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PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 7 : équations différentielles. - 1 -

Résolution d"équations différentielles.

Principes généraux.

· Identifier pour commencer les noms de la fonction inconnue et de la variable.

· Toujours se placer sur un intervalle, et si plusieurs sont possibles, bien penser que l"étude se fait

séparément sur chacun d"entre eux.

· Toujours essayer (sauf dans certains cas bien spécifiques, précisés par exemple plus bas) de se placer

dans les hypothèses d"une des formes du théorème de Cauchy-Lipschitz.

· Dans le cas d"équations différentielles linéaires (ou de systèmes différentiels), se souvenir que :

- lorsqu"elles sont homogènes, les solutions de ces équations forment toujours un espace vectoriel et il y

a donc toujours au moins la solution nulle.

La dimension de cet espace n"est garantie a priori que si l"on se trouve dans les hypothèses de Cauchy-

Lipschitz.

- lorsque ces équations sont avec second membre et dans les hypothèses de Cauchy-Lipschitz, leurs

solutions forment un espace affine dont la dimension est alors donnée par ce même théorème.

Sinon, l"ensemble des solutions peut être vide.

· Connaître également les diverses formes du théorème de Cauchy-Lipschitz donnant l"existence et

l"unicité de solutions vérifiant des conditions initiales données.

· Pour " recoller des solutions », dans le cas d"équations linéaires, il faut toujours préciser ce que l"on

cherche et la plupart du temps, raisonner par analyse-synthèse. Equations différentielles linéaires scalaires du premier ordre. · Résoudre d"abord l"équation homogène sur un intervalle où le coefficient de "y ne s"annule pas,

· Résoudre ensuite l"équation complète à l"aide par exemple de la méthode de variation de la constante.

exemple : xyyx+=+1

1"..2 : résolution sur ( 1,-¥-[, ] 0,1-[ ou ]0,+¥).

L"équation homogène a pour solutions :

" x Î kI, xCxy k=)(, avec : kC Î . L"équation complète se résout à l"aide de la variation de la constante pour donner :

· xC

xxxy

1)arctan()(+=, sur ]0,+¥),

· xC

xx xxy k 99
-=11ln..21)(, sur ( 1, -¥-[ ou ] 0,1-[. Equations à coefficients constants pour la partie homogène et second membre du type )(..xPexa, où

P est un polynôme

PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 7 : équations différentielles. - 2 -

Soit : )(.."..xPeybyaxa=+,.

On peut trouver une solution particulière de l"équation complète sous la forme : .xQexa, avec : )deg()deg(PQ=, si a n"est pas racine de l"équation caractéristique : 0.=+bra, .xQxexa, avec : )deg()deg(PQ=, si a est racine de l"équation caractéristique : 0.=+bra. exemple : xexyy.2..3"=+. On cherche une solution particulière sous la forme : " x Î , xeBxAxy.2)..()(+=, et on trouve comme solution particulière de l"équation : " x Î , xexxy.2.31)() exemple : xexyy).1.2("+=-.

On cherche une solution sous la forme : "

x Î , xexBxAxy.)..()(+=, et on trouve : " x Î , xexxxy).()(2+=.

Remarque :

la technique précédente, toujours pour une équation à coefficients constants pour la partie homogène

permet donc en particulier de traiter les seconds membres du type polynôme ( 0 =a), et sh´polynôme, ch´polynôme, sin´polynôme, cos´polynôme (en utilisant les exponentielles

complexes, par exemple), à l"aide alors du principe de superposition décrit en dessous (voir l"exemple

proposé). exemple : 2.4.2"xyy=+.

On cherche une solution sous la forme : "

x Î , CxBxAxy++=..)(2, et on trouve : " x Î , 1.2.2)(2+-=xxxy.

Principe de superposition pour la recherche de solutions particulières de l"équation complète.

Si le second membre se présente sous la forme d"une somme, c"est-à-dire : )()().(").(21xcxcyxbyxa+=+, on peut chercher une solution pour les deux équations : )().(").(xcyxbyxa k=+, avec : 2,1=k, puis ajouter les deux solutions trouvées pour obtenir une solution de l"équation complète. exemple : )cos(..2"xxyy=+.

On résout les deux équations :

xiexyy.."=+, et : xiexyy.."-=+,

et on ajoute les solutions particulières trouvées pour chaque équation pour obtenir une solution

particulière de l"équation globale, par exemple : x Î , )sin())sin().(cos()(xxxxxy--=. exemple : )(.4"xshyy=+.

On résout les deux équations :

xeyy.2"=+, et : xeyy--=+.2" ,

et on ajoute les solutions particulières trouvées pour chaque équation pour obtenir une solution

particulière de l"équation globale (attention à la deuxième équation : 1 -=a), soit par exemple : x Î , xxexexy--=..2)( . PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 7 : équations différentielles. - 3 - Système différentiel linéaire d"ordre 1 à partie homogène constante. · On étudie toujours des systèmes de type : )(."tBXAX+=, avec : A Î Mn(), B Î C0(I,Mn,1()).

Résolution du système homogène.

On essaie de diagonaliser la matrice

A ou à défaut de la trigonaliser.

Dans les deux cas, on écrit alors

A sous la forme : 1..-=PDPA, ou : 1..-=PTPA.

Puis on pose une nouvelle fonction matricielle inconnue :

XPY.1-=,

et on constate que : X définie, continue et dérivable sur I) Û (Y définie, continue et dérivable sur I).

De plus dans ce cas, on a sur

I : "."1XPY-=,

et le système devient (il se transforme naturellement sous cette forme si on remplace les différentes

matrices) :

YDY."=, ou : YTY."=.

On résout alors ce système en

Y (au besoin " en remontant les équations » si A n"est que trigonalisable), puis on revient à

X par : YPX.=.

Cette méthode ne nécessite donc pas le calcul de 1-P. exemple : résoudre : 234
-=-=212211.3".5.3" xxxxxx.

On pose alors :

99

21xxX, et : ))

99
--=3153A.

La matrice

A est diagonalisable et : 1..-=PDPA, où : ))

99
=1151P, et : )) 99
-=2002D, puis on pose :

XPY.1-=.

Alors le système est équivalent au nouveau système :

YDY."=, qui se résout en :

t Î , )) 99
tt eCeCtY.2 2.2

1..)(, avec : (21,CC) Î 2.

On obtient alors les solutions du système initial avec :

YPX.=, ce qui conduit aux solutions :

t Î , )) 99
99
tt tteeCeeCtYPtX.2.2 2 .2.2 1 .5..)(.)(, avec : (21,CC) Î 2. exemple : résoudre : 234
+=-=212211.3"" xxxxxx.

On pose de la même façon :

99

21xxX, et : ))

99
-=3111A.

La matrice

A n"est que trigonalisable et : 1..-=PTPA, avec : )) 99
-=1101P, )) 99
-=2012T, et on pose ensuite :

XPY.1-=.

Le système est alors équivalent au nouveau système :

YTY."=.

Ce dernier système se résout en commençant par le bas, puis en résolvant la première équation, qui est

alors du premier ordre avec second membre, et on obtient : t Î , )) 99
ttteCeCteCtY.2 2.2 2.2

1....)(, avec : (21,CC) Î 2.

On revient enfin à

X par : YPX.=, pour obtenir finalement :

PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 7 : équations différentielles. - 4 - " t Î , )) 99
99
tt ttetetCeeCtX.2.2 2 .2.2

1).1(...)(, avec : (21,CC) Î 2.

Résolution du système avec second membre.

On peut raisonner directement en incluant dès le départ le second membre dans la méthode précédente.

On résout alors, avec la nouvelle fonction matricielle Y :

1tBPYDY-+=, ou : )(.."1tBPYTY-+=.

exemple : résoudre : 234
++=+-=txxxexxx t 212.2

211.3"".

La matrice

A n"est que trigonalisable, et : 1..-=PTPA, avec : )) 99
-=1101P, )) 99
-=2012T.

On calcule :

99
1101

1P, et le système de départ (complet) devient alors :

99
ttteeeYTY.2.2.".

Le système se résout là encore (sur

) en commençant par le bas, pour obtenir : t Î , 9 99
99
ttttttteeeteCeettetCeCtY.2.2 2.2 2 .2 2.2 1...

2...)(

, avec : (21,CC) Î 2. et finalement les solutions du système initial (en

X) par : " t Î , )(.)(tYPtX=.

Au final, les solutions du système de départ se présentent bien sous la forme : t Î , )(.)(.)()(22110tXCtXCtXtX++=, avec : (21,CC) Î 2. Equations différentielles linéaires scalaires homogènes du second ordre. · Il n"y a pas de technique générale pour ces équations différentielles. · Dans le cas d"équations différentielles homogènes

à coefficients constants, on peut passer par

l"équation caractéristique attachée à cette équation différentielle, ce qui correspond à la recherche de

solutions en exponentielles à l"aide de l"équation caractéristique associée. Plus précisément, si l"équation est : 0."."". =++ycybya, l"équation caractéristique est : 0..

2=++crbra.

exemple : 0.2".3""=+-yyy, L"équation caractéristique associée est : 02.3

2=+-rr,

et admet deux racines simples 1 et 2.

Les solutions sur tout intervalle

I de (qui forment un -espace vectoriel de dimension 2) sont alors les fonctions définies par : x Î , xxeCeCxy.2 2.1

1..)(+=, avec : (21,CC) Î 2.

exemple : 0".2""=+-yyy, l"équation caractéristique associée est : 01.2

2=+-rr,

et admet une racine double 1. les solutions sur tout intervalle I de (qui forment un -espace vectoriel de dimension 2) sont alors : PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 7 : équations différentielles. - 5 - " x Î , xxexCeCxy.1 2.1

1...)(+=, avec : (21,CC) Î 2.

exemple :

0.2".2""=+-yyy,

l"équation caractéristique associée est : 02.2

2=+-rr,

et admet deux racines complexes conjuguées : ba.1ii±=±.

Dans le cas de fonctions à valeurs complexes, il y a donc deux racines simples et on termine comme

dans le premier exemple précédent. Dans le cas de fonctions à valeurs réelles, les solutions sur tout intervalle

I de (qui forment toujours

un -espace vectoriel de dimension 2) sont alors les fonctions : x Î , ))sin(.)cos(..()(21xCxCexyx+=, avec : (21,CC) Î 2, ou dans le cas général : x Î , )).sin(.).cos(..()(21.xCxCexyxbba+=, avec : (21,CC) Î 2.

Méthode de Lagrange.

· Lorsque l"on connaît une solution u ne s"annulant pas sur l"intervalle d"étude I, on peut obtenir une

deuxième solution de l"équation, indépendante de la première, en posant : zuy.=, où z est une nouvelle fonction inconnue, supposée définie et deux fois dérivable sur I.

Après remplacement dans l"équation de départ, on aboutit à une équation différentielle du second

ordre en z mais sans terme en z, autrement dit à une équation différentielle du premier ordre en "z. exemple : 0").1.("").1.(2=++--yyxxyxx. En utilisant des séries entières (voir plus bas), on constate que la fonction définie par : x Î I, 1)(-=x xxy, est solution de l"équation sur tout intervalle

I de , évitant 0 et 1.

On pose alors : "

x Î I, )(.1)(xzx xxy-=, où z est une nouvelle fonction inconnue définie et deux fois dérivable sur I. De façon équivalent, on peut alors écrire : )(.1)(xyx xxz-=, et donc on a l"équivalence : y deux fois dérivable sur I) Û (z deux fois dérivable sur I).

On remplace ensuite

y par z dans l"équation initiale, grâce à : x Î I, )(".1)(.)1(1)("2xzxxxzxxy-+--=, x Î I, )(""1)(".)1(2)(.)1(2)(""23xzxxxzxxzxxy-+---=. L"équation se transforme alors, après simplifications, en :

0""".=+zzx.

Les solutions de cette dernière équation (en "z) sont alors les fonctions de la forme : x Î I, x

Cxz1)("=, avec : 1C Î ,

puis : " x Î I, 21)ln(.)(CxCxz+=, avec : (21,CC) Î 2, et finalement les solutions de l"équation initiale sont les fonctions de la forme : x Î I, 1 )ln(..

1.)(21-+-=x

xxC x xCxy, avec : (

21,CC) Î 2.

PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 7 : équations différentielles. - 6 -

Recherche d"une solution particulière d"une équation différentielle linéaire du deuxième

ordre avec second membre.

· On peut utiliser, toujours grâce à la linéarité, le principe de superposition décrit dans le paragraphe

précédent. Equation à coefficients constants pour la partie homogène et second membre du type )(. .xPexa, où

P est un polynôme.

Soit : )(.."."".

.xPeycybyaxa=++. On note (E) l"équation caractéristique associée :

0..2=++crbra.

Alors on peut trouver une solution particulière de l"équation complète sous la forme : )(..

.xQxexma, avec :

· )deg()deg(PQ

· 1,0

=m ou 2, suivant que a est racine de multiplicité 0 (donc pas racine), 1 (ou racine simple) ou

2 (ou racine double) de l"équation caractéristique (E).

exemple : )(.8".2""xchyyy=++.

On résout dans ce cas les deux équations :

xeyyy.4".2""=++, et : xeyyy-=++.4".2"" . L"équation caractéristique associée à cette équation est : 01.2

2=++rr, ou : 0)1(2=+r.

· La première équation correspond à un second membre en : )(. .xPexa, où : 1)( =xP,

1=a, qui n"est pas racine de l"équation caractéristique associée.

On cherche donc alors une solution sous la forme : )(.)( .1xQexyx=, avec : 0)deg()deg(==PQ.

On pose ainsi :

AxQ=)( , et on trouve : 1=A.

Ainsi, on peut proposer comme solution particulière de cette équation la fonction définie par :

" x Î , xexy=)( . · On résout ensuite la deuxième équation en cherchant une solution sous la forme : )(..

2xQxex-,

avec toujours : 0)deg()deg( ==PQ, puisque ici : 1-=a , est racine double de l"équation caractéristique.

On pose à nouveau :

AxQ=)( , et on trouve : 2=A.

Ainsi, on peut proposer comme solution particulière de cette équation la fonction définie par :

x Î , xexxy-=..2)(2.

Globalement on peut enfin proposer comme solution particulière de l"équation complète la fonction

définie par : x Î , xxexexy-+=..2)(2. que l"on peut pour terminer au besoin retransformer en ch et sh. Compléments (séries entières, changement de fonction ou d"inconnue).

Utilisation de séries entières :

· pour certains types d"équations différentielles linéaires (notamment celles dont les coefficients sont

des polynômes), on peut chercher des solutions sous forme de séries entières : 0.)( nn nxaxS, en supposant a priori leur rayon de convergence

R non nul.

PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 7 : équations différentielles. - 7 -

La fonction S est alors de classe C¥ sur ]RR+-, [, et on obtient ses dérivées successives en dérivant

la série terme à terme.

On remplace alors la fonction inconnue par la série entière, puis on transforme pour obtenir une série

entière nulle, et on arrive à une condition récurrente liant les différents coefficients de la série

entière. On termine en précisant le rayon de convergence de la série entière ainsi trouvée.

Remarque :

il est parfois nécessaire de mettre à part certaines valeurs de l"indice au moment d"obtenir la relation

de récurrence liant les coefficients. exemple : 0").1.("").1.(2=++--yyxxyxx.

On pose donc :

0.)( nn nxaxS, une série entière dont le rayon de convergence

R est supposé a priori non nul.

Sur ] RR+-, [, S est deux fois dérivable et se dérive terme à terme.

On a donc : "

x Î ]RR+-, [, 

11..)("

nn nxanxS, 

22.).1.()(""

nn nxannxS, et : S est solution de l"équation sur ]RR+-, [ si et seulement si : x Î ]RR+-, [, 0...).1.(.).1.().1.( 011

222=++---

nn n nn n nn n xaxanxxxannxx.

En développant puis en procédant à des translations d"indice dans certaines sommes, c"est encore

équivalent à :

x Î ]RR+-, [, 0]..)1(.)1[(0

1122=+---

axanan nn nn, donc encore équivalent à :

· 0

0=a, et :

1³n, 01=--nnaa,

soit à l"aide d"une récurrence immédiate :

· 0

0=a, et :

· " 1

³n, 1aan=,

ce qui conduit finalement à la série entière : 11.)( nnxaxS.

On termine alors en disant que :

- si :

01=a, la série entière a un rayon de convergence infini et c"est la série nulle,

- si :

01¹a, la série entière a un rayon de convergence égal à 1 et elle est solution de l"équation

différentielle sur ] 1,1 Dans ce dernier cas, on peut alors en plus, la sommer et obtenir : x Î ] 1,1+-[, 1".1.)(11-=-=x xa x xaxS, où :

11"aa=, est quelconque dans *.

Pour terminer, on peut remarquer que la fraction que l"on a obtenue comme solution sur ] 1,1 +-[, est en fait solution de l"équation sur tout intervalle de évitant la valeur 1 (vérification à la main, a posteriori) et donc cela fournit une première fonction de base sur tout intervalle

I où on peut

appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz.

Changement de fonction inconnue.

On utilise parfois un changement de fonction inconnue pour remplacer l"équation différentielle, qu"on

ne sait pas résoudre sous la forme proposée, par une autre plus classique. PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 7 : équations différentielles. - 8 -

Dans ce cas, on est obligé au départ et si on veut traiter les choses de façon théorique, de faire appel à

la version " non linéaire » du théorème de Cauchy-Lipschitz.

Vous n"avez pas à connaître de classes d"équations différentielles particulières, donc tout changement

de fonction inconnue, s"il est envisageable, doit vous être explicitement proposé. exemple : (E) 0."

22=--yxyy (équation dite " de Ricatti »).

On va chercher ici une solution

y ne s"annulant pas sur un intervalle I et poser : yz 1=. Sur

I, on a alors l"équivalence : (y définie, continue et dérivable) Û (z définie, continue et

dérivable).

On calcule alors : "

x Î I, 2))(()(")("xzxzxy-=,quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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