[PDF] Les tests statistiques dits ”non paramétrique”

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Les tests statistiques

Tout une histoire de paramètres et de

distributions n = 1000 observations

Hauteur du Sapin de Douglas

(Pseudotsuga menzii ) (m)

Fréquence

n = 10 observations

Plane (Acer platanoides) (mm)

Fréquence

Peut- des paramètres de moyenne (m) et de variance (2)?

N(m, )

m m + 68%

Retour sur les conditions à respecter pour les

Dans le cas de comparaisons de moyennes issues

de plusieurs échantillons (test tde Student par exemple), les variances entre échantillons doivent

être identiques

Homoscedasticité

moyenne ȝ

Normalité

être indépendantes : tirage aléatoire avec remise ou sans remise dans une population de grande taille

Indépendance

Une mécanique basée sur les rangs des

observations Contrairement aux test statistiques paramétriques qui se basent sur les valeurs des observations et la notion de barycentre (moyenne des observations), les tests non paramétrique se basent sur les rangs des observations et somme des rangs)

Plane (Acer platanoides) (mm)

Fréquence

Valeurs des observations :

(32 ; 40 ; 40 ; 41; 42 ; 42 ; 42 ; 43 ; 43 ; 44)

Moyenne des observations = 40.9

Rangs des observations :

(1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10)

Somme des rangs = 55

Il existe une grande diversité de tests non

paramétriques qui sont généralement des

équivalents de tests paramétriques

Pour des variables mesurées de manière

quantitative (données continues ou ordinales) Tester les valeurs douteuses dans un échantillon : test de Dixon test de Wilcoxon

Normale : test de Kolmogorov-Smirnov

1 échantillon

Comparer la distribution de deux échantillons non appariés : test de Wilcoxon-Mann-Whitney

Comparer la distribution de deux échantillons

appariés : test de Wilcoxon apparié

2échantillons

Comparer la distribution de plusieurs échantillons non appariés : test de Kruskal-Wallis Comparer la distribution de plusieurs échantillons appariés : test de Friedman + de 2 échantillons

Pour des variables mesurées de manière

qualitative (données de catégories) binomiale : test binomial1 échantillon Comparer la distribution de deux échantillons non appariés : test du Chi2

Comparer la distribution de deux échantillons

appariés : test de McNemar

2échantillons

Comparer la distribution de plusieurs échantillons non appariés : test du Chi2 Comparer la distribution de plusieurs échantillons appariés : test de Cochran + de 2 échantillons

Les tests non paramétriques que nous allons

aborder dans ce cours Comparer deux échantillons non appariés : test de

Wilcoxon-Mann-Whitney

test t de

Studenten paramétrique

Comparer deux échantillons appariés : test de

Wilcoxon apparié

test t de

Student appariéen paramétrique

Données

quantitatives : 2

échantillons

Comparer plusieurs échantillons non appariés : test de Kruskal-Wallis varianceen paramétrique

Données

quantitatives : + de 2

échantillons

Test de Wilcoxon-Mann-Whitney

Comparer la distribution de deux échantillons non appariés pour une variable quantitative : test de

Wilcoxon-Mann-Whitney (Wilcoxon rank-sum test)

Frank Wilcoxon

(1892-1965) 1945
1947

Test de Wilcoxon-Mann-Whitney

même population ou bien de deux populations différentes vis-à-vis de la variable étudiée H0 : les deux échantillons appartiennent à la même population H1 : les deux échantillons sont issus de deux populations différentes

NB : H0 et H1 qui

et non pas sur un paramètre bien spécifique de moyenne par exemple test de comparaison de moyennes de Student) -on déceler une différence entre les paramètresde moyennes estimées m1et m2à partir de deux échantillons non appariés et si oui, alors les moyennes réelles ȝ1 et ȝ2

Test de Wilcoxon-Mann-Whitney

µ1µ2

La moyenne mestimée

nous informe sur la moyenne ȝréelle m1m2

Population 1Population 2

La moyenne ȝréelle

nous informe sur la population

Echantillon 1Echantillon 2

-Mann-Whitney fonctionne ainsi :

Somme des rangs

Somme des rangs

Classement

des observations après rassemblement des

échantillons 1 et 2

Test de Wilcoxon-Mann-Whitney

En non paramétrique, la philosophie du test est différente :

Echantillon 1Echantillon 2

Population 1Population 2

Test de Wilcoxon-Mann-Whitney

Rappel: dans le cadre paramétrique du test de comparaison de moyenne de conclure que les deux échantillons sont rigoureusement identiques et issus homoscedasticité Pourquoi: car deux échantillons ayant la même moyenne peuvent avoir des variances totalement différentes et donc provenir de deux populations distinctes

Diamètre du Sapin pectiné

(Abies alba) (cm)

Diamètre du Sapin pectiné

(Abies alba) (cm)

Test de Wilcoxon-Mann-Whitney

Le test non paramétrique de Wilcoxon-Mann-Whitney ne fait aucune hypothèse

Ce type de test est fortement

recommandé quand les échantillons sont de petites tailles car la variance est de plus en plus variable, même pour des échantillons issus de la même population N(m, )

Par conséquent, le risque de ne pas

variances en paramétrique augmente

On dispose de deux échantillons

(mâles et femelles) de Souris des

Cactus (Peromyscus eremicus), dont

on a mesuré le poids (g) chez

Test de Wilcoxon-Mann-Whitney

Q : la population de souris femelles (F) est-elle

significativement différente de celle des souris mâles (M) de par leur poids (cf. dimorphisme sexuel)? Si oui, avez vous une hypothèse a priori sur le sens de la différence?

Echantillon femelle (n = 6) :

24 ; 30 ; 30 ; 30 ; 38 ; 40

Echantillon mâle (n = 4) :

20 ; 24 ; 26 ; 28Q : quelles sont les hypothèses H0 et H1 que

vous allez formuler pour cet exemple?

Test de Wilcoxon-Mann-Whitney

remplies, quel type de test utiliseriez vous? Q : sommes-nous réellement dans ce cas de figure? H1 : mâles et femelles ont des poids différents

Réalité #2 sous

hypothèse Normale

Réalité #3 sous

hypothèse Normale

Poids (g)Poids (g)Poids (g)

Réalité #1 sous

hypothèse Normale

H0 : mâles et femelles ont le même poids

Test de Wilcoxon-Mann-Whitney

Pour plus de robustesse, on utilise le test non paramétrique de Wilcoxon sur échantillons non appariés encore appelé test de Mann- Whitneysuivant la manière dont on calcul les rangs pour chaque

échantillon

pourrait éventuellement utiliser un test paramétrique du type test tde Student R : étant donné la taille de nos échantillons mâle et femelle, leurs variances

Poids (g)

Suivant le test de Fisher :

H0 : 2(F) = 2(M)

H1 : 2(F) 2(M)

Var(F) = 35.2

Var(M) = 11.7

Fobs= 35.2/11.7 = 3.0 < Fcrit(0.05, 5, 3) = 9.0

On ne rejette pas H0

Poids20242628303840

M1111 F1311

M+F1211311

Poids20242628303840

M1111 F1311

M+F1211311

Rang12

3 456
7 8 910

Poids20242628303840

M1111 F1311

M+F1211311

Rang12

3 456
7 8 910
Rang moyen

12.5457910

Poids20242628303840

M1111 F1311

M+F1211311

Rang12

3 456
7 8 910
Rang moyen

12.5457910

Rang(M)12.545

Rang(F)2.521910

Test de Wilcoxon-Mann-Whitney

T(M) = 1 + 2.5 + 4 + 5 = 12.5

T(F) = 2.5 + 21 + 9 + 10 = 42.5

Méthode de calcul des rangs T(M) et T(F) selon Wilcoxon :

M20242628Tot

F243030303840

M20242628Tot

F243030303840

1+ 1 + 1 + 1 + 15

M20242628Tot

F243030303840

1+ 1 + 1 + 1 + 15

1+ 1 + 1 + 1 + 15

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