[PDF] Synthèse de filtres Programme Matlab : Il s'agit

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1

Cours de

Traitement du signal

-Synthèse de filtres - 1

ère

partie : Filtres Analogiques

Benoît Decoux

benoit.decoux@wanadoo.fr 2

Cours de "Synthèse de filtres", 1

ère

partie Plan

Introduction générale

Généralités et rappels sur le filtrage

I) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrage

I.1.1) Cellules du 1

er et du 2 e ordre

I.1.2) Réalisation électronique

I.1.3) Association des cellules élémentaires

I.2) Filtres de Butterworth

I.3) Filtres de Tchebyscheff

I.4) Filtres de Cauer

I.5) Filtres de Bessel

I.6) Comparaison des performances

I.7) Résumé des différentes étapes de synthèse

I.8) Exemple complet

3

Introduction

Définitions

e(t) : entrée s(t) : sortie h(t) : réponse impulsionnelle (àδ(t))

E(p) =TL[e(t)] S(p)=TL[s(t)]

Représentations

)p(E)p(S)p(H= )f(E)f(S)f(Hou)j(E)j(S)j(H=ω

NM,dt)t(edbdt)t(sda

M 0mmm mN 0nnn n

τττ-==d)(e)t(h)t)(h*e()t(s

Domaine temporelDomaine fréquentiel (complexe)

p=jω )t(h TL

Equation différentielle

Réponse impulsionnelle

Réponse à une entrée quelconqueFonction de transfert de Laplace

Fonction de transfert

harmonique TF TFTL

Signaux quelconques

Signaux sinusoïdaux

Introduction générale (1/4)

4

Objectif

Se rapprocher des filtres idéaux (le plus simplement possible) passe-bas passe-haut passe-bande coupe-bande Autre type de filtre courant : passe-tout (déphaseur pur) 1 f c f 1 f 2 f 1 f 2 f c 111

Introduction

Introduction générale (2/4)

)j(Hω 0 f c f 1 f 2 f 1 f 2 f c 000 )j(Hlog20ω 1 )j(Hω 0 )j(Hlog20ω f f f f 5

Caractérisation des filtres "physiques"

- type : passe-bas, passe-haut, passe-bande : coupe-bande, passe-tout - fréquence(s) de coupure - pente des variations (liée à l"ordre du filtre) - retard de phase - retard de groupe

Si la phase est linéaire, t

g est constant ↔le signal ne subit pas de déformation.

Introduction

Introduction générale (3/4)

)(t d)(d gt 6

Stabilité

Condition par rapport aux pôles

Un système est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert de Laplace sont situés dans le demi-plan situé

à gauche de l"axe imaginaire du plan de la variable p : plan p

Explication

Pôle réel p

0

Pôles complexes conjugués p

1,2 =α±jβ: Condition par rapport à la réponse impulsionnelle Soit h(t) la réponse impulsionnelle d"un système. Ce système est stable si : t dt)t(h tpL 0 0

Ae)t(hppA)p(H=?→←-=

)tsin(.eA)t(h)pp)(pp(A)p(H tL 21
risque d"instabilité

Introduction

Introduction générale (4/4)

ReIm zone de stabilité 7

Cellule passe-bas du 1

er ordre

Gain en dB :

Fonction de transfert harmonique :

Cellule passe-haut du 1

er ordre c j11 )j(H )j(Hlog20)(H dB

Cellules élémentaires de filtrage : 1

er ordre

I) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrage

I.1.1) Cellules du 1

er et du 2 e ordre cc j1j )j(H pente=20dB/décade pente=-20dB/décade pente=-20dB/décade 8

Cellule passe-bas du 2

e ordre

Exemple d"un filtre passe-bas du 2

e ordre :

ξcoefficient d"amortissement

( , Q facteur de qualité)

Gain en dB :

Le casξ=0,7 est intéressant, puisque on a une réduction de gain assez limitée (-3dB), et une pente -40dB/déc.

2 cc jj211 )j(H )j(Hlog20)(H dB

Cellules élémentaires de filtrage : 2

e ordre (1/3)

Q21=ξ

I) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrage

I.1.1) Cellules du 1

er et du 2 e ordre

ξ=0,1

ξ=0,7

pente=-40dB/décade

ξ=2

ξ=0,1

ξ=0,7

pente=-40dB/décade

ξ=2

9

Cellule passe-bande du 2

e ordre

Exemple d"un filtre passe-bas du 2

e ordre : bande passante : avec fréquence centrale

Gain en dB :

2 cc2 c jj21j )j(H )j(Hlog20)(H dB

Cellules élémentaires de filtrage : 2

e ordre (2/3)

I) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrage

I.1.1) Cellules du 1

er et du 2 e ordre Qff 0 21
cc0 fff×=

ξ=0,7

pente=-20dB/décade

ξ=2

ξ=0,1

10

Cellules du 1

er et du 2 e ordre 1 er ordre

Passe-bas : Passe-haut :

2 er ordre

Passe-bas : Passe-haut :

Passe-bande : Coupe-bande :

Déphaseur :

Cellules élémentaires de filtrage : 2

e ordre (3/3)

I) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrage

I.1.1) Cellules du 1

er et du 2 e ordre 2 cc2 c jj21j1 2 cc2 cc jj21jj21 2 002 0 jj21j 2 000 jj21j2 c j11 cc j1j 2 cc jj211 11

Différentes formes des fonctions de transfert

harmonique (régime sinusoïdal) en variable de Laplace en variable de Laplace réduite (forme normalisée ↔indépendante de ω c

Exemple : cellule passe-bas du 2e ordre

utile pour étude en fréquence : gain en dB et phase (cellules élémentaires) utile pour étude temporelle avec signaux (causals) quelconques, étude des pôles (étude stabilité, factorisation) idem variable de Laplace, avec écriture simplifiée (=variable de Laplace réduite)

I) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrage

I.1.1) Cellules du 1

er et du 2 e ordre

Différentes formes des fonctions de transfert

)j(Hω)s(H)p(H pj= s/p c 2 cc jj211 )j(H 2 ss211)s(H+ξ+= 2 cc pp211 )p(H 12

Intérêt de la forme normalisée

Toute l"étude peut porter sur la forme normalisée ; indépendamment de ω c

Au final, il faut "dénormaliser" la fonction de transfert, c"est à dire remplacer s par jω/ω

c , pour pouvoir réaliser le filtre satisfaisant aux paramètre du filtrage..

I) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrage

I.1.1) Cellules du 1

er et du 2 e ordre

Différentes formes des fonctions de transfert

2 cc jj211 )j(H 2 ss211)s(H+ξ+= c jsω s11)s(H+= c j11 )j(H 13

Passage du cas passe-bas aux autres cas

Le passage d"un type à l"autre s"effectue facilement par changement de variable.

Passe-bas →passe-haut

Passe-bas →passe-bande

avec

B : bande passante

f c1 , f c2 : fréquences de coupure

Passe-bas →coupe-bandef

0 : fréquence centrale du filtre s1s→ 0cc fffB 12 1 s1sBs

I) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrage

I.1.1) Cellules du 1

er et du 2 e ordre

Transformation du type de filtrage

14

Réalisation par circuits passifs

1 er ordre passe-bas passe-haut 2 e ordre passe-bas passe-bande passe-haut

Méthode de calcul

Chacun de ces montages peut être vu comme un pont diviseur de tension avec 2 impédances complexes Z 1 et Z 2 Dans le cas du 2e ordre, l"une des 2 impédances est elle-même constituée de 2 impédances complexes en série ou parallèle. Réalisation des cellules élémentaires par circuits passifs

I) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrage

I.1.2) Réalisation électronique

Z 1 Z 2 15

Réalisation par circuits actifs : cellule du 1

er ordre

La cellule du 1

er ordre suivante permet de réaliser des filtres passe-bas et passe-haut :

Passe-bas : Z

1 :Z 2

Passe-haut : Z

1 :Z 2

Exemple : passe-bas avec R=1kΩet C=10nF

ω+-=ωCjR11.RR)j(H

212
|H(jω)|

ω(éch. log)

-R 2 /R 1 1/R 2 C

I) Synthèse de filtres analogiques

I.1) Cellules élémentaires de filtrage

I.1.2) Réalisation électronique

Cellule élémentaire active du 1

er ordre 16 Réalisation par circuits actifs : cellules du 2e ordre

Les structures de Sallen-Key et de Rauch permettent de réaliser des filtres passe-bas, passe-haut et passe-bande

du 2quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

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