[PDF] Polynésie. Septembre 2015. Enseignement de spécialité. Corrigé

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Polynésie. Septembre 2015. Enseignement de spécialité. Corrigé

EXERCICE 1

Partie A

1)|1-i|=?

12+ (-1)2=⎷2puis

1-i=⎷

2?1⎷2-1⎷2i?

=⎷2? cos? -π4? +isin? -π4?? =⎷2e-iπ4.

1-i=⎷

2e-iπ4.

2)Soitθun réel.

e iθ(1-i) =eiθ×⎷

2e-iπ4=⎷2ei(θ-π4).

D"autre part,

e iθ(1-i) = (cosθ+isinθ)(1-i) =cosθ+isinθ-icosθ+sinθ = (cosθ+sinθ) +i(-cosθ+sinθ).

3)Ainsi,eiθ(1-i) =⎷

2e-iπ4=⎷2cos?

θ-π4?

+i⎷2sin?

θ-π4?

et aussieiθ(1-i) = (cosθ+sinθ)+i(-cosθ+sinθ). Par identification des parties réelles, on obtient : pour tout réelθ, cosθ+sinθ=⎷ 2cos?

θ-π4?

Partie B

0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

-0,11 2 3 4 5 6

00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

0 1 2 3 4 5 6

Cf Cg Ch

1)Il semble que

a)limx→+∞f(x) =0et limx→+∞g(x) =0; b)Cgest au-dessus deCfsur[0,+∞[; c)l"écart entreCfetCgest maximal quandxest environ égal à1,5.

2)Soitxun réel de[0,+∞[. On a cosx?1. En multipliant les deux membres de cette inégalité par le réel positife-x,

on obtiente-xcosx?e-xou encoref(x)?g(x). Ainsi, pour tout réelxde[0,+∞[,f(x)?g(x)et doncCgest au-dessus deCfsur[0,+∞[.

3)limx→+∞g(x) =limx→+∞e-x=limX→-∞eX=0. Donc la droite d"équationy=0est asymptote à la courbeCgen+∞.

Pour tout réel positifx,-1?cosx?1. En multipliant les trois membres de cet encadrement par le réel positife-x,

on obtient-e-x?e-xcosx?e-x. Ainsi, http ://www.maths-france.fr 1 c?Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. pour tout réel positifx,-e-x?f(x)?e-x.

De plus, lim

x→+∞-e-x=limx→+∞e-x=0. D"après le théorème des gendarmes, limx→+∞f(x) =0. La droite d"équationy=0

est aussi asymptote à la courbeCfen+∞.

4) a)La fonctionhest dérivable sur[0,+∞[en tant que produit de fonctions dérivables sur[0,+∞[et pourx?0,

h ?(x) = -??-e-x?cosx+e-x(-sinx)?+?-e-x?= (cosx+sinx-1)e-x 2cos? x-π4? -1? e-x(d"après la partie A).

Pour tout réel positifx,h?(x) =e-x?⎷

2cos? x-π4? -1? b)Soitx??

0,π2?

. Alors,-π4?x-π4?π4. On en déduit que cos? x-π4? ?1⎷2. 1 -11-1

1⎷2π

4 4?

Par suite,⎷2cos?

x-π4? ?1puis⎷2cos? x-π4? -1?0.

Soitx??π

2,2π?

. Alors,π4?x-π4?2π-π4. On en déduit que cos? x-π4? ?1⎷2. 1 -11-1

1⎷2π

4

2π-π

4?

Par suite,⎷2cos?

x-π4? ?1puis⎷2cos? x-π4? -1?0.

c)Pour tout réelxde[0,2π],e-x> 0. Donc, pour tout réelxde[0,2π],h?(x)est du signe de⎷

2cos? x-π4? -1. De"après la question précédente, la fonctionh?est positive sur?

0,π

2? et négative sur?π2,2π? h(0) =e0-e0cos(0) =1-1=0.h?π 2? =e-π

2-e-π2cos?π2?

=e-π

2=0,21arrondi au centième. Enfin,

h(2π) =e2π-e2πcos(2π) =e2π-e2π=0.

On en déduit le tableau de variations def.

x0π22π f?(x)+0- e-π2 h 0 0 http ://www.maths-france.fr 2c?Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.

5)Les fonctionsfetgsont continues sur[0,2π]. D"autre part, pour tout réelxde[0,2π],f(x)?g(x)d"après la

question 2). Donc, A=? 2π 0 (g(x) -f(x))dx=? 2π 0 h(x)dx= [H(x)]2π0 1

2e-2π(-2+cos(2π) -sin(2π)) -12e0(-2+cos(0) -sin(0)) = -12e-2π+12

1-e-2π

2.

A=1-e-2π

2.

0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

-0,11 2 3 4 5 6

00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

0 1 2 3 4 5 6

Cf C g Ch

0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

-0,11 2 3 4 5 6

00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

0 1 2 3 4 5 6

Cf C g Ch http ://www.maths-france.fr 3 c?Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. EXERCICE 2Partie A1)La probabilité demandée estP(T?60). La calculatrice fournit

P(X?60) =1-P(X?60) =0,006arrondi à10-3.

2)L"énoncé fournitμ?=50etP(T??43) =0,1. Or

T ??43?T?-50?-7?T?-50

σ??-7σ?.

La calculatrice fournit

P(T??43) =0,1?P?T?-50

σ??-7σ??

=0,1?-7σ?= -1,2815...?σ?=5,46arrondi à10-2.

Partie B

1)Représentons la situation par un arbre de probabilités.

M M D D D D 0,1 0,9 0,82 0,18 0,27 0,73 D"après la formule des probabilités totales,quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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