[PDF] Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange

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Faculté des sciences et ingénierie (Toulouse III) Année universitaire

Département de mathématiques 2019-2020

L2 Maths, UE d"Analyse numérique

Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de LagrangeExercice 1.(Identification) On considèrex,y?R4donnés par :x= [-2,0,1,2]ety= [4,0,0,4]. Parmi les poly- nômes suivants, lequel est le polynôme d"interpolationPaux pointsx,y(justifiez votre réponse)?

1.P1(X) =X4-23

X3-3X2+83

X

2.P2(X) =43

X2-43

3.P3(X) =13

X3+X2-43

X. Correction :On ne demande pas ici de calculer le polynôme mais de l"identifier. On va

donc utiliser la caractérisation équivalente (liée à l"unicité) du polynôme d"interpolation

de Lagrange associé aux pointsx,y:

Ppol d"interp. de Lagrange associé àx,y

??(deg(P)63, P(-2) = 4, P(0) = 0, P(1) = 0, P(2) = 4)(1)

Il n"y a plus qu"à trouver le polynôme qui satisfait toutes les propriétés de (1) (l"existence

et l"unicité du théorème du cours garantit qu"il existe et est unique). Le polynômeP1 est de degré 4, il est donc éliminé. Le polynômeP2a un terme constant non nul : il ne s"annule pas en0, il est donc éliminé. Reste le polynômeP3, on vérifie qu"il convient, c"est donc lui.

Exercice 2.(Existence et unicité)

1. Mon trezqu"il existe une infinité de p olynômesde degré 2 don tle graphe pass epar les points(0,0)et(1,0). Correction :Cherchons les polynômes de degré 2p(x) =ax2+bx+ctels que p(0) = 0etp(1) = 0. Ce qui est équivalent au système linéaire ?c= 0 a+b+c= 0 En le résolvant, on obtientp(x) =ax(x-1)sans condition sura, ce qui correspond bien à une infinité de polynômes de degré 2. 1

2.Mon trezqu"il n"existe p asde p olynômede degré 2 passan tpar les p oints(0,1),

(1,4),(2,15)et(3,40). Correction :Comme dans la question précédante, on cherchep(x) =ax2+bx+c tels quep(0) = 1,p(1) = 4,p(2) = 15etp(3) = 40. Ce qui est équivalent au système linéaire ???c= 1 a+b+c= 4

4a+ 2b+c= 15

9a+ 3b+c= 40

En le résolvant, on trouve qu"il n"y a pas de solution, ce qui conclut la question.

Exercice 3.(Construction... Malin ou bourrin?)

Remarque : C"est un bon exercice ici, maintenant que vous avez du recul d"essayer les différentes façons de calculer un polynôme d"interpolation. Calculer les polynômes d"interpolation de Lagrange aux points suivants : a.x= [-1,2,3]ety= [4,4,8] Correction :On calcule la base de Lagrange associée àx: L

0(X) =112

(X-2)(X-3), L1(X) =-13 (X+1)(X-3), L2(X) =14 (X+1)(X-2) et alorsPa(X) = 4L0(X) + 4L1(X) + 8L2(X). IMPORTANT : Il n"est pas demandé/nécessaire/souhaitable de développer les po- lynômes de la base de Lagrange ni même de développerPa, vous allez ajouter des erreurs et le résultat final sera faux. b.x= [-2,-1,0,1]ety= [0,-2,-4,0] Correction :Ici on voit que le polynôme a 2 racines :-2et1. Cela signifie qu"il peut être factorisé par(X+ 2)(X-1), c"est à dire qu"il existe un polynôme Qtel quePb(X) =Q(X)(X+ 2)(X-1). Comme on sait quedeg(Pb)63, alors nécessairementQest de degré inférieur ou égal à1:Q(X) =aX+b. On cherche maintenantaetben utilisant les autres valeurs : P b(-1) =-2, Pb(0) =-4 ce qui équivaut à ?-2(-a+b) =-2 -2b=-4 ce qui donneb= 2, a= 1soitPb(X) = (X+ 2)2(X-1). Bien sûr, on vérifie a posteriori quePbconvient bien. c.x= [-1,0,1,2]ety= [6,2,0,0] 2 Correction :Ici on procède de la même manière que précédemment en remar- quant que1et2sont racines dePc. On obtient par le même raisonnement que précédemment P c(X) =-(X-2)(X-1). REMARQUE : On peut évidemment calculerPbetPcen calculant les polynômes de degré 3 de la base de Lagrange, mais il n"est pas nécessaire de calculer TOUSquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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