Mécanique des solides
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Mécanique
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Physique
exercices incontournablesTP16-0423-Book1 19/04/2017 11:32 Page ii
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MPMP*PTPT*
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Physique
exercices incontournables 3 eÉDITION
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Table des matières
Partie 1
M´ecanique
1. Référentiels non galiléens 3
2. Mécanique du solide 17
Partie 2
´Electronique
3. ALI-Oscillateurs 29
4. Signaux périodiques 44
5. Électronique numérique 49
Partie 3
Optique ondulatoire
6. Interférences 59
Partie 4
Électromagnétisme
7. Électrostatique 93
8. Magnétostatique 120
9. Équationsde Maxwell- Énergieduchampélectromagnétique 131
10. Propagation 143
Partie 5
Thermodynamique
11. Systèmes ouverts en régime stationnaire 191
12. Transferts thermiques 207
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Table des matières
13. Statique des fluides 235
14. Fluide en écoulement 241
15. Thermodynamique industrielle 252
Partie 6
Physique quantique
16. Approche ondulatoire de la mécanique quantique 285
Partie 7
Thermodynamique statistique
17. Facteur de Boltzmann 319
Index 327
Les énoncés dans lesquels apparaît un astérisque annoncent des exercices plus difficiles.TP16-0423-Book1 21/04/2017 12:6 Page 1
Partie 1
M´ecanique
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1. Référentiels non galiléens 3
1.1 : Bille dans un tube (MP) 3
1.2 : Sismographe (MP) 6
1.3 : Circonférence en rotation et anneau (MP) 9
1.4 : Dynamique en référentiel tournant (MP) 12
2. Mécanique du solide 17
2.1 : Déplacement d"un solide sur un plan horizontal (MP) 17
2.2 : Détermination d"un coefficient de frottement (MP) 23
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1Référentielsnon galiléens
Exercice 1.1 : Bille dans un tube (MP)
On considère un solideMde massemsusceptible de glisser sans frottement à l"intérieur d"un tube parallélépipédique d"extrémitéO. Les grandeursr 0 =OM 0 etv 0 caractérisent la position et la vitesse deMà l"instant initialt=0dansle repère lié au tube. Le tube de longueur 2?est dans le plan horizontal et tourne autour de l"axeOzvertical à la vitesse angulaireωconstante.1.Déterminer l"équation différentielle enrdu mouvement deM.
2.Calculer le tempsτque mettraMpour sortir du tube avec?=0,1 m;r
00,01 m;v
0 =0 m.s -1 etω=2rad.s -13.Un ressort enfilé dans le tube est fixé à son extrémité enOet à son autre
extrémité au solideM. La longueur à vide du ressort est 2r 0 . Discuter la nature du mouvement deMsuivant la valeur deω.Analyse du problème
Cet exercice traite du mouvement relatif d"un point matériel. Il faut bien définirle référentiel absolu (considéré comme galiléen) et le référentiel relatif (considéré
comme non galiléen). Le bilan des forces se fait en travaillant d"abord dans le ré- férentiel galiléen. Il faut rajouter ensuite les forces d"inertie d"entraînement et de Coriolis pour appliquer le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel non galiléen. 1. ?u r ?u ?u z q Oxy M q © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 3TP16-0423-Book1 21/04/2017 12:6 Page 4
Partie 1
Mécanique
Système :Bille de massem.
Référentiels :?
0O;?i,?j,?k,t?galiléen et?=?
O;?u r ,?u ,?k,t? non galiléen.Le vecteur rotation instantané de
?par rapport à? 0 vaut :?ω 0 =ω?k.Le mouvement relatif dans?s"écrit :
-→OM=r?u r ;?v(M) =r?u r et ?a(M) =¨r?u rLe vecteur unitaire?u
r est fixe dans?. La dérivée par rapport au temps der?u r dans ?donne bienr?u rBilan des forces :
Le mouvement se fait sans frottement, la réaction du support est donc or- thogonale au petit déplacement de la bille par rapport au tube. La réaction du support a donc une composante nulle sur ?u r .La réaction du support est donc ?R=R 1 ?u +R 2 ?kLe poids de la massemest :
?P=m?gLa force d"inertie d"entraînement est :
?f ie (M)=mω 2 -→OMLa force d"inertie de Coriolis :
?f ic (M)=-2m?ω 0 ??v(M) =-2mωr?u Principe fondamental de la dynamique (PFD) dans le référentiel non galiléen : m?a(M) =?R+?P+?f ie +?f icLa projection dans la base
?u r ,?u ,?k?donne : ??????m¨r=mω 2 r 0=R 1 -2mωr 0=R 2 -mg L"équation différentielle du mouvement s"obtient à partir de la première projection du PFD :¨r-ω
2 r=0 4TP16-0423-Book1 21/04/2017 12:6 Page 5
Chapitre 1
Référentiels non galiléens
2.L"équation caractéristique s"écrit :x
2 2 =0.On en déduit alors x=±ω La solution de l"équation différentielle s"écrit donc : r=Aexp(ωt)+Bexp(-ωt) La dérivée derpar rapport au temps est :r=Aωexp(ωt)-Bωexp(-ωt).Àt=0,r(0)=r
0 etr(0)=v 0 On a deux équations pour déterminer les constantes d"intégrationAetB: ????A+B=r 0 (éq. 1)Aω-Bω=v
0 (éq. 2) On fait les combinaisons linéaires suivantes :(1)ω+(2)et(1)ω-(2).On a alors :
????2Aω=r 0ω+v
02Bω=r
0ω-v
0 .D"où : ???????A=r 0ω+v
0 2ω B=r 0ω-v
0 2ωLa bille quitte le tube pourr=?.Soit :
1 2? r 0 +v 0 exp (ωt)+12? r 0 -v 0 exp (-ωt)=? On pose :X=exp(ωt).En multipliant parexp(ωt),on est ramené à uneéquation du second degré :
1 2? r 0 +v 0 X 2 +1 2? r 0 -v 0 =?X La résolution numérique donne :X=19,95ett=1,5s.3.L"équation différentielle s"écrit :
m¨r=mω 2 r-k(r-2r 0Elle se met sous la forme :
¨r-?
2 -k m? r=2kr 0 m k m, le système diverge. k m, on a l"équation d"un oscillateur harmonique. Ces deux résultats sont prévisibles physiquement. Si la constante de raideur est très petite, alors la force d"inertie d"entraînement l"emporte devant la force exercée par le ressort. Comme ?f ie est centrifuge, on prévoit bien un système qui diverge. © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 5TP16-0423-Book1 21/04/2017 12:6 Page 6
Partie 1
Mécanique
Exercice 1.2 : Sismographe (MP)
La partie sensible du sismographe est une masse munie d"un index et d"une tige. Cet ensemble de massemassujetti à se déplacer verticalement est suspendu à un ressort. Le ressort est fixé enAsur un bâti. La partie sensible (masse + index + tige) est par ailleurs reliée à un amortisseur qui exerce une force de frottement fluide-λ?Voù?Vest le vecteur vitesse de la masse dans le référentiel lié au bâti. Le référentiel terrestre d"origineGest galiléen. Un tremblement de terre est modélisé par une vibration verticale harmonique de translation :S(t)=S 0 cos(ωt)oùS(t) repère le déplacement vertical du sol par rapport au référentiel galiléen du lieu. On définitH(t)=h(t)-h eq la grandeur qui repère le déplacement de la massempar rapport au repos dans le référentiel lié au bâti. S(t) h(t) G O y X xA partie sensible de masse m1.Établir l"équation différentielle enH(t) du mouvement de la masse. Quel est
le sens physique de la pulsation propreω 0 et du facteur de qualitéQ?2.On représente graphiquement????H
S ????en fonction deω(rad.s -1 6TP16-0423-Book1 21/04/2017 12:6 Page 7
Chapitre 1
Référentiels non galiléens
L"étude du spectre de Fourier des vibrations sismiques montre que leurs périodes gie transportée par des ondes longitudinales, assez loin de l"épicentre, est dans le domaine de période allant de 1 s à 10 s. On souhaite une réponse uniforme de l"appareil dans la gamme de fréquence correspondante. Comment doit-on choisir 0 etQ? Quel est l"inconvénient majeur? Comment doit-on choisir la masse?Analyse du problème
Cet exercice traite du mouvement relatif d"un point matériel. Il faut bien définirle référentiel absolu (considéré comme galiléen) et le référentiel relatif (considéré
comme non galiléen). Le bilan des forces se fait en travaillant d"abord dans le ré- férentiel galiléen. Il faut rajouter ensuite les forces d"inertie d"entraînement et de Coriolis pour appliquer le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel non galiléen. 1. O yY x A eq D M S(t) h(t) G O yY X xA DM reposau de terretremblementSystème :Point matérielMde massem.
Référentiels :Le référentiel terrestre? 0 =?G;?u x ,?u y ,?u z ,t?est galiléen.Le référentiel lié au bâti
?=?O;?u x ,?u y ,?u z ,t?est non galiléen.?est en translation par rapport à 0 ,donc?ω 0 =?0.Bilan des forces :
Force exercée par le ressort :
?F=k((D-h)-? 0 )?u y © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 7TP16-0423-Book1 21/04/2017 12:6 Page 8
Partie 1
Mécanique
Poids :
?P=m?gForce d"inertie d"entraînement :
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