[PDF] EXERCICES DE M´ECANIQUE ANALYTIQUE (L2-L3)

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EXERCICES DE

M

ECANIQUE ANALYTIQUE

(L2-L3) et leurs solutions

Christian Carimalo

Exercices n

1- Cinematique -

I -Representer les hodographes des mouvements dont les equations horaires, relativement a un repere cartesienOxyz, sont donnees ci-dessous : (a) !OM=!r(t) =!r0,!r0etant un vecteur constant; (b) !r(t) =!r0+!v0(tt0),!v0etant un vecteur constant; (c) !r(t) =!r0+!v0(tt0) +!g(tt0)22 ,!getant l'acceleration de la pesanteur; (d) !r(t) =asin(!t+1)!ex+bsin(!t+2)!ey, oua,b,!,1et2sont des constantes, et !exet!eyles vecteurs unitaires respectifs des axesOxetOy. II -On considere un mouvement plan (dans le planxOy) dont la trajectoire est donnee sous forme implicite par l'equationf(x;y) = 0. Montrer que si le vecteur!J=!r^!vreste constant, le vecteur vitesse est donne par la relation v=!J^!gradf! r!gradf ou !gradf=@f@x !ex+@f@y !ey. Etudier le cas ou f(x;y) =x2a 2+y2b 21.
III -Un avion a eectue un trajet fermeABCAsuivant les c^otes!AB,!BCet!CAd'un triangleABC. La vitesse (scalaire) de l'avion par rapport a l'air ambiant est constante et egale av0. Cependant, la duree de vol est modiee du fait d'un vent souant a la vitesse constante!V

0, et les distancesAB,BCetCAsont en fait couvertes par l'avion dans des

durees respectivement noteest1,t2ett3. Trouverv0et!V 0. IV -Un chien poursuit un lievre en adaptant toujours de facon continue la direction de sa course vers cette \cible mobile". Trouver la trajectoire du chien en supposant que le lievre

court a la vitesse constante!V=V!eyet que la vitesse scalaire du chien est elle aussiChristian Carimalo3Exercices de Mecanique Analytique

constante et egale ac > V, sachant qu'a la datet= 0, alors que le lievre passe au point (b;0), le chien, qui se trouvait en(0;0), commence sa course-poursuite avec la vitesse initiale c!ex. V -Trouver l'equation parametrique de la courbe tracee par un point solidaire d'une roue de rayonaqui roule sans glisser le long de l'axeOx. Trouver sa vitesse et son acceleration en supposant que la roue avance a vitesse constanteVle long de l'axe!Ox. VI -Un pointMdecrit une trajectoire selon les equations horaires x=acos! t ; y=asin!t ; z=b!t oua,bet!sont des constantes positives. 1 )Quelle est la trajectoire deM? 2 )Determiner les composantes cylindriques du vecteur unitaire!Ttangent a la trajectoire. 3 )Determiner les composantes cylindriques du vecteur unitaire!Ndenissant la normale principale de la trajectoire. 4

)Montrer que le rayon de courbure de la trajectoire est constant.Christian Carimalo4Exercices de Mecanique Analytique

Solutions n

1I -Rappel : L'hodographe est la trajectoire du point ctifPdeni par!OP=!V(t).

a) !V=!0:PetOsont confondus. b) !V=!v0:Pest xe. c) !V=!v0+!g(tt0):Pdecrit la droite parallele a l'axe deszqui passe par le pointP0 tel que!OP

0=!v0.

d) !V=!h acos(!t+1)!ex+bcos(!t+2)!eyi . Si1=2, on a !V=!cos(!t+1)h a!ex+b!eyi etPdecrit un mouvement sinusodal autour deO, sur la droite passant parOet parallele au vecteura!ex+b!ey. Si16=2, on pose =!t+1+22 ,=122 , de sorte que !t+1= +,!t+2= , d'ou !V=!h acos(+)!ex+bcos( )!eyi Posonsx= cos( +),X=a!x,y= cos( ),Y=b!y. Pour trouver l'equation de la trajectoire deP, il faut eliminert, ou . On a cos =x+y2cos;sin =yx2sind0oux2+y22xycos2= sin22 C'est l'equation d'une ellipse. Sa forme cartesienne s'obtient en eectuant une rotation : X

0=Xcos+Ysin; Y0=Xsin+Ycos;ou

X=X0cosY0sin; Y=X0sin+Y0cos

tout en prenanttan2=2cos2ab 1b 21a
2 1 pour eliminer de l'equation le terme en X

0Y0et nalement obtenir

X 02A

2+Y02B

2= 1;avecA2=!2a2sin22(1cos2sin2); B2=!2b2sin22(1 + cos2sin2)Christian Carimalo5Exercices de Mecanique Analytique

II -Le vecteur vitesse est selon la tangente a la trajectoire, tandis que!graffest selon sa normale. Les deux vecteurs sont donc orthogonaux et J^!gradf=!gradf^(!r^!v) = (!gradf!v)!r+(!r!gradf)!v;d0ou v=!J^!gradf! r!gradf

Cas de l'ellipse.

Le vecteur

!Jetant constant, on ad!Jdt =!r^d!vdt =~0. La trajectoire n'etant pas rectiligne, le vecteur vitesse ne peut ^etre constant et l'on en conclut que l'acceleration est parallele a!r(mouvement a force centrale). En coordonnees polaires(r;): !J=r!er^ _r!er+r_!e =r2_!ez=C!ez;soitr2_=C ouCest une constante. Posonsx=rcos=acos,y=rsin=bsin. On a donc tan=ab tan. En derivant, on obtient ddt =ab cos 2cos 2ddt =Cab cos 2r

2cos2=Cab

cos 2x 2=Cab ;d0ou =Cab t+0 ou0est une constante que l'on peut prendre egale a 0 en ajustant les conditions initiales.

PosantK=Cab

, on obtient ainsi les equations horaires : x=acosKt; y= sinKt tan=ba tan(Kt); r=px

2+y2=ra

2+b22 +a2b22 cos(2Kt)

Remarques1

)L'acceleration est! = x!ex+y!ey=K2!r: on a aaire au champ de force central attractif !F=K2m !r. 2 )On se rappelle qu'une ellipse est une projection orthogonale d'un cercle sur un plan faisant un certain angleavec le plan dudit cercle. Supposonsa > bet denissonscos=b=a, Y=y=cos. On a alorsx2+Y2=a2. Vu dans les trois dimensions, un pointMde l'ellipse est la projection dans le planxOyd'un pointNde coordonnees(x;Y)situe dans un plan

contenant contenant les axesOxetOzet dont la normale fait l'angleavecOz. Dans ceChristian Carimalo6Exercices de Mecanique Analytique

plan, ce pointNest anime d'un mouvement circulaire uniforme sur le cercle de centreOet de rayona. III - !AB=!V

1t1;!BC=!V

2t2;!CA=!V

3t3, avec!V

1=!V

0+!v01,!V

2=!V

0+!v02,

!V 3=!V

0+!v03,j!v01j=j!v02j=j!v03j=v0. CommeX

i! V iti=!0, il vient X iv

02iti=V20(t1+t2+t3) +V21t1+V22t2+V23t3;soit

v

02=V20+V21t1+V22t2+V23t3t

1+t2+t3=V20+V21t1+V22t2+V23t3t

1+t2+t3

De

V21V222

=!V 0(!V 1!V

2)etV21V232

=!V 0(!V 1!V

3)on tireV0xetV0y(en

explicitant les produits scalaires) puis, apres quelques arrangements, V 20=1D 2 (V23V22)!V

1+(V21V23)!V

2+(V22V21)!V

3 2 ;ou D 2=(!V 1!V

2)^(!V

1!V 3)2 =!V 1^!V 2+!V 2^!V 3+!V 3^!V 12 Remarque: il est normal queV0ne dependent pas des dureest1,t2ett3!

Pour obtenir levecteur!V

0, on peut avoir recours a la representation graphique suivante. A

partir d'un pointO, on trace les directions des vecteurs!AB,!BCet!CA, et l'on porte sur la premiere le pointMtel que!OM=!V

1, sur la seconde le pointNtel que!ON=!V

2, et sur

la troisieme le pointPtel que!OP=!V

3. Puisquej!v01j=j!v02j=j!v03j=v0, les trois

points sont equidistants d'un pointC, et ce point est aussi le centre du cercle circonscrit au triangleMNP, point de concours des mediatrices de ce triangle. On a alors!V

0=!OC.

IV -En notantl'angle que fait avec l'axe desxla tangente a la trajectoire, on a tan=dydx =y0=V tybx;et ds

2= (dx)2+ (dy)2= (dx)2(1 +y02) =c2(dt)2;soit

dtdx =1c p1 +y02=y00(bx)=Vety00p1 +y02=Vc 1bx

Pour integrer, on posey0= sinhu,=V=c. D'ouy00=u0coshu=u0p1 +y02etu0=bx, soitu=ln(bx) +constante. La constante est determinee par la condition

initiale :y0(0) = 0, d'ou l'on deduitu(0) = 0. La constante est donc nulle etChristian Carimalo7Exercices de Mecanique Analytique

u=ln(bbx)

On en tirey0:

y

0=eueu2

=12 1xb 12 1xb puisy: y=b12+b2 11 + 1xb 1+11 1xb 1 apres avoir ajuste la constante d'integration a la condition initialey(0) = 0.

V - CyclodeOHy

x MCM

Cbθ!

OM(t)=!OH+!HC+!CM(t);x=OH+!ex!CM(t). Or,OH=a, doncx= a+dcos;y=a+!ey!CM(t)=a+dsin, avecd=CM. Or,cos=sin, sin=cos, d'ou x=adsin; y=adcos

SiOH=V t, en posant!=V=a, on a

x=a!tdsin!t; y=adcos!t v x=a!d!cos!t; vy=!dsin!t;(vxa!)2+v2y=!2d2(cercle) x=d!2sin!t; y=!2dcos!t

VI - Helice

1 )Commex2+y2=a2, la projection de la trajectoire dans le planxOyest un cercle. La trajectoire s'inscrit donc sur un cylindre d'axez0zet de rayona: c'est une helice. En coordonnees cylindriques,=a,'=!t,z=b'. Le pas de l'helice est constant et egal a z= 2b.Christian Carimalo8Exercices de Mecanique Analytique 2 )vx=!asin!t,vy=!acos!t,vz=!b,v=j!vj=!pa

2+b2;!T=!v=v=h

a(sin'!ex+cos'!ey) +b!ezi =pa

2+b2, soit

T=a!e'+b!ezpa

2+b2; T= 0; T'=apa

2+b2; Tz=bpa

2+b2 3 )et4)ds=vdt=pa

2+b2d';!N=Rd!Tds

=Raa

2+b2(!e), d'ou, en considerant

les normes des vecteurs :

N=!e;R=a2+b2a

Christian Carimalo9Exercices de Mecanique Analytique

Exercices n

2- Dynamique -

I -Un projectile, assimilable a un point matetrielMde massem, est lance depuis un point Odu sol terrestre avec une vitesse initiale!v0contenue dans un plan verticalzOxet faisant l'angleavec l'axe horizontal!Ox(l'axe!Ozest selon la verticale ascendante). Dans son mouvement, il subit un freinage d^u a l'air ambiant. Cet eet est represente par la force de freinage!f=k!v, opposee a la vitesse instantanee!vdu projectile (k >0). On etudie le mouvement du projectile dans le referentiel terrestre local, considere comme galileen pendant la duree de l'experience. 1 )Ecrire les equations dierentielles du mouvement du projectile. 2 )En deduire, par integration, les composantes de son vecteur vitesse. Quelles en sont les limites lorsquetm=k? 3 ) a)Trouver ensuite les equations horairesx(t)etz(t)decrivant le mouvement du pro- jectile. b)Donner l'allure de la trajectoire deM. 4 )On supposek=m1. Trouver les expressions correspondantes dex(t)et dez(t), a des termes d'ordre(k=m)2pres. II -L'equation dierentielle permettant de predire l'evolution temporelle d'un oscillateur harmonique non amorti a une dimension s'ecrit m d2xdt

2=k x, oud2xdt

2=!20x

0=pk=metant sa pulsation propre.

1 )A l'aide d'un exemple simple, rappeler comment est etablie cette equation. 2 ) a)Etablir l'integrale premiere de l'energie, noteeE. b)En deduire l'expression dedxdt en fonction dex,k,metE. 3 )Montrer alors que la relation entretetxpeut ^etre exprimee au moyen de la formule t=t0rm 2EZ x x 0dur

1k2Eu2Christian Carimalo10Exercices de Mecanique Analytique

out0etx0sont des constantes devant ^etre ajustees aux conditions initiales. 4 )Calculer l'integrale precedente en eectuant le changement de variableu=r2Ek sin et en deduirex(t)en supposant que pourt= 0on adxdt = 0etx=x0. ExprimerEen fonction dex0. III -Une fusee est lancee verticalement a partir du sol terrestre avec une vitesse initiale nulle. La propulsion de la fusee est assuree par l'ejection de gaz vers l'arriere de la fusee, avec, relativement a cette derniere, une vitesse !w=w!ezsupposee constante. Ces gaz proviennent de la combustion de carburant dans le moteur de la fusee. De ce fait, la masse de l'ensemble de la fusee proprement dite et du combustible propulsif diminue au cours du lancement. Au depart, sa valeur estm0. A la datetelle est devenuem(t). Le debit de gaz propulsifs est suppose constant. On a donc dmdt == constante

On note

!vla vitesse instantanee de la fusee relativement au referentiel terrestre assimilable a un referentiel galileen pendant la duree du lancement. Le champ de gravitation terrestre est suppose constant et de moduleg= 10m/s2. On negligera les forces de frottement de l'atmosphere. 1 )En faisant le bilan de quantite de mouvement entre les datestett+dt, alors que la masse de gaz ejectee estdm, montrer que la quantite de mouvement!pde la fusee aura varie de d !p=m!g dt+dm!v+!w 2 a)En prenantmcomme variable au lieu det, montrer que l'altitudezde la fusee doit verier l'equation d 2zdm 2=g 2+wm b)Integrer cette equation et deduirez(m)puisz(t), compte-tenu des conditions initiales. c)A quelle condition la fusee peut-elle decoller? 3 )On donne ci-apres les caracteristiques de la fusee Saturne V : masse initialem02800 tonnes; le premier etage propulseur contient 2000 tonnes d'ergol, melange de kerosene et d'oxygene liquide, dont la combustion delivre une poussee de 33450 kN, la poussee etant denie comme le produit du debit de gaz ejectes par la vitesse (relative) d'ejection, soit jw dm=dtj; la combustion du premier etage dure150s, apres quoi le premier etage est separe du reste de la fusee.Christian Carimalo11Exercices de Mecanique Analytique A l'aide de ces donnees, evaluer numeriquement : la vitesse d'ejection des gaz du premier etage de la fusee; la vitesse de la fusee et son altitude au moment de la separation du premier etage. IV -On envisage le mouvement d'un pendule simple dans un laboratoire terrestre. On admet que le referentiel du laboratoire peut ^etre considere comme galileen pendant la duree de l'observation. On noteOl'extremite xe du pendule,Oxla verticale localedescendante passant parOetOyun axe horizontal. On ne considere que les mouvements s'eectuant dans le planyOx. L'extremite mobile du pendule en laquelle est attachee une masse ponctuellem est noteeM. La longueur du l rigide, inextensible et sans masse joignantOaMvaut`, et l'on notel'angle entre ce l et la verticaleOxa un instant donne. A la datet= 0, alors que=0< , on l^ache la massemsans vitesse initiale. On neglige tout frottement. 1

)Exprimer les composantes radiales et orthoradiales de la vitesse!vet de l'acceleration!adeM, en fonction deet de ses derivees temporelles, et de`.

2 )Appliquer la relation fondamentale de la Dynamique a la massemdans le referentiel du laboratoire et en deduire l'equation d'evolution de l'angle.quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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