[PDF] Méthode des éléments finis : flexion des poutres `a plan moyen

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°exion des poutres µa plan moyen

Yves Debard

Institut Universitaire de Technologie du Mans

24 mars 2006 { 29 mars 2011

Table des matiµeres

1 Rappels et hypothµeses

1 1

1.2 Hypothµeses

1 droite 2 1.4 4

1.5 Modµele de Bernoulli

5

2 Modµele de Bernoulli

6 6

2.1.1 Introduction

6 2.1.2 8

2.1.3 Fonctions d'interpolation

11

2.1.4 Utilisation des fonctions d'interpolation

12

2.2 Exemples

15

2.2.1 Poutre soumise µa une force nodale

15 18 21

2.2.4 Poutre avec une rotule interne

22
25

2.3 Programmes Maple

28

2.3.1 ber

mat 28

2.3.2 ber

rot rig 28

2.3.3 ber

rig rot 29

2.3.4 ber

rot rot 29

2.3.5 ber

int 29

2.3.6 ber

int par 30

2.3.7 ber

interpolation 30

2.3.8 ber

int mat 30

2.3.9 ber

ex1 31

2.3.10 ber

ex2 32

3 Modµele de Timoshenko

35
35

3.1.1 Introduction

35
3.1.2 36

3.1.3 Fonctions d'interpolation

37

3.1.4 Utilisation des fonctions d'interpolation

39
41

3.2 Exercices

46
3

3.2.1 In°uence de l'e®ort tranchant

46
47
49

3.3 Programmes Maple

53

3.3.1 tim

mat 53

3.3.2 tim

int 55

3.3.3 tim

int par 55

3.3.4 tim

int rem 56

3.3.5 tim

interpolation 57

3.3.6 tim

int mat 57

3.3.7 tim

rig def tan 58

3.3.8 tim

rig def sec 60
64

Chapitre 1

Rappels et hypothµeses

Une poutre droite (¯gure

1.1 G

1G2est la¯bre moyennede la poutre.

Aest lasection droitede la poutre.

Figure 1.1{

Poutre droite

1.2 Hypothµeses

Nous adopterons les conventions et les hypothµeses suivantes :

L'axezforme avecxetyun triµedre direct.

~{,~|et~ksont les vecteurs unitaires des axes. Les axesyetzsont les axes centraux principaux de la section droite : Z A y dA=Z A z dA=Z A y z dA= 0(1.2.1)

2Flexion des poutres µa plan moyen

Au cours de la mise en charge (¯gure

1.2 1. les sections droites restent planes. 2. chaque section droite subit : une translation suivanty:v(x). une rotation autour de l'axeGz:µz(x).

Figure 1.2{

1.2 u(x;y) =¡y µz(x) v(x;y) =v(x)(1.3.1) xx=@u @x =¡y@µz @x ; °xy=@u @y +@v @x =¡µz+@v @x (1.3.2) les contraintes (¯gure 1.3 xx=E "xx=¡Ey@µz @x ; ¾xy=Gky°xy=Gkyµ@v @x (1.3.3)

Rappels et hypothµeses3

Figure 1.3{

Contraintes dans la section droite d'abscissex

N=Z A xxdA=¡E@µz @x Z A y dA= 0(e®ort normal) (1.3.4a) T y=Z A xydA=GAkyµ@v @x (e®ort tranchant) (1.3.4b) Mf z~k=Z A (y~|)^(¾xxdA~{)d'oµu (1.3.4c) Mf z=Z A

¡y ¾xxdA=E@µz

@x Z A y2dA=EIz@µz @x oµu :

Aest l'aire de la section droite.

I z=Z A y2dAest le moment quadratique de la section par rapport µaGz. G=E T 2y A k y=Z A

¾2xydA(1.3.5)

6 13 24
25
27
29
31
37
38
xx=¡y I zMfz(1.3.6) max=j¾xxjmax=jMfzj W el.z(1.3.7) oµuWel.z=Iz

4Flexion des poutres µa plan moyen

1.4 1.4 ) compris entre les sections droites d'abscissesxetx+dx

¡Ty+Ty+@Ty

@x dx+pydx=µ Z A dx=½AÄv dx(1.4.1a)

¡Mfz+Mfz+@Mfz

@x dx+dx Ty+mzdx=µ Z A dx=½Izĵzdx(1.4.1b) oµu :

Äu=@2u

@t

2=¡yĵz;Äv=@2v

@t

2;ĵz=@2µz

@t

2(1.4.2)

Figure 1.4{

E®orts sur le tron»con de poutre compris entrexetx+dx @T y @x +py=½AÄv(1.4.3a) @Mf z @x +Ty+mz=½Izĵz(1.4.3b) @x GAk yµ@v @x +py=½AÄv(1.4.4a) @x EI z@µz @x +GAkyµ@v @x +mz=½Izĵz(1.4.4b)

Rappels et hypothµeses5

1.5 Modµele de Bernoulli

Le modµele ci-dessus est dit modµele de Timoshenko 1 . Si la poutre est longue, on admet l'hypothµese de Navier 2 -Bernoulli 3 1.5 z=@v @x (1.5.1)

Figure 1.5{

Modµele de Bernoulli

Dans ce cas, la relation de comportement (

1.3.4d

Mf z=EIz@2v @x

2(1.5.2)

EI z@4v @x

4=py(1.5.3)

1.

Stephen P. Timoshenko (1878-1972).

2.

Louis Navier (1785-1836).

3.

Jacques Bernoulli (1654-1705).

Chapitre 2

Modµele de Bernoulli

2.1.1 Introduction

pyetmz.

Figure 2.1{

1.4.3 dT y dx +py= 0;dMfz dx +Ty+mz= 0(2.1.1) T y(x) =Tyi¡Z x 0 p y(s)ds(2.1.2) Mf z(x) =Mfzi¡Z x 0 T y(s)ds¡Z x 0 m z(s)ds(2.1.3) 8 >:¡Tyi+Tyj+Z L 0 p y(x)dx= 0

¡Mfzi+Mfzj+LTyj+Z

L 0 xp y(x)dx+Z L 0 m z(x)dx= 0(2.1.4)

Modµele de Bernoulli7

Mf z=EIzdµz dx (2.1.5) dv dx =µz(2.1.6) suivanty(°µeche) : z(x) =µzi+Z x 0Mf z(s) EI zds ; v(x) =vi+Z x 0 z(s)ds(2.1.7) Remarque: la °µeche peut ^etre obtenue µa l'aide de la formule de Bresse 1 v(x) =vi+µzix+Z x 0Mf z(s) EI z(x¡s)ds(2.1.8)

Des conditions aux limites :

v(L) =vj; µz(L) =µzj; Ty(L) =Tyj; Mfz(L) =Mfzj(2.1.9) ffnodg= [k]fug ¡ ffg(2.1.10a) oµu : ffnodg=8 >:¡Ty(0)

¡Mfz(0)

T y(L) Mf z(L)9 >;=8 >:¡Tyi

¡Mfzi

T yj Mf zj9 >;;fug=8 >:v i zi v j zj9 >;(2.1.10b)

Figure 2.2{

ffnodgest levecteur des forces nodales. 2.2 1.

Jacques Bresse (1822-1883).

8Flexion des poutres µa plan moyen

2.1.2 2.3 ), de longueurL, de moment quadratiqueIzet de module de p y(x) =pyi+ (pyj¡pyi)x L ; mz(x) =mzi+ (mzj¡mzi)x L (2.1.11)

Figure 2.3{

Element rigide-rigide

8>< :¡Tyi+Tyj+L 2 (pyi+pyj) = 0

¡Mfzi+Mfzj+LTyj+L2

6 (pyi+ 2pyj) +L 2 (mzi+mzj) = 0 ber mat 8 >:¡Tyi

¡Mfzi

T yj Mf zj9 >;=EIz L 32
6

6412 6L¡12 6L

4L2¡6L2L2

12¡6L

sym.4L23 7 758
>:v i zi v j zj9 L 60
2 6

6421 9

3L2L 9 21

¡2L¡3L3

7

75½

pyi p yj¾ ¡1 12 2 6

64¡6¡6

L¡L

6 6quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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