[PDF] année 2010-2011 MHT201 Structures - Université Bordeaux I

View - Download année 2010-2011 MHT201 Structures - Université Bordeaux I

Previous PDF

Next PDF

Universite Bordeaux I - annee 2010-2011

MHT201 Structures Algebriques

Correction du devoir maison 2

Exercice 1.SoitP(X)2Q[X]nQ.

1. SoitD(X) := pgcd(P(X);P0(X)).

a) Montrer que si degD1 alors il existe2Ctel queP() =D() = 0.

En deduire queest une racine multiple deP.

b) Montrer queD(X) = 1 si et seulement siP(X) n'a que des racines simples.

2. Montrer que siP(X) est irreductible surQ[X] alorsP(X) n'a pas de racines

complexes multiples.

3. Montrer que la reciproque de la question precedente est fausse.

Correction :

1. a) Par denitionDdivisePdonc :

9P1(X)2Q[X] telqueP(X) =D(X)P1(X)

Or degD1 donc degP1degP1, en particulier il existe2Ctel que P() = 0 etP1()6= 0. CommeCest un corps, on aD() = 0.

Par denition du pgcd,DdiviseP0, donc

9T(X)2Q[X] telqueP0(X) =D(X)T(X)

En particulierD()T() = 0 =P0(), i.e.est une racine multiple deP(X).

1. b) A la question precedente on a montre que siPn'a que des racines simples

alors degD= 0, i.e.D= 1. Inversement, siPa une racine multiplea2Calors (Xa)2diviseP:

P(X) = (Xa)2T(X)

d'ou P

0(X) = 2(Xa)T(X) + (Xa)2T0(X)

doncXadiviseP(X) etP0(X) doncXadiviseD(X), en particulier degD1.

2. SoitD(X) := pgcd(P(X);P0(X)), commeDdivisePet quePest irreductible,

on a soit degD= 0, soit degD= degP. Supposons que degD= degP. CommePest irreductible on a degP1 doncP06= 0. PuisqueDdiviseP0on a degDdegP0= degP1, ce qui est une contradiction avec degD= degP. Ainsi degD= 0 i.e.D= 1. D'apres 1.b)Pn'a que des racines simples.

3. La reciproque de la question 2. est :

siP2Q[X] n'a pas de racines multiples, alorsPest irreductible dansQ[X]qui est evidemment fausse carP(X) = X(X1) n'a que des racines simples, mais n'est evidemment pas irreductible. 1

Exercice 2.Soienta;b2C,a6= 0 etP(X) :=X4+ 4aX+b.

1. Montrer que siz2Cest une racine multiple deP(X) alorsz3=a.

2. Montrer queP(X) a une racine multiplesi et seulement sib3= 27a4.

3. Calculer l'ordre de multiplicite de la racinedeP(X).

Correction :

1. On aP0(X) = 4(X3+a). Soitz2C,zest une racine multiple dePsi et

seulement siP(z) = 0 =P0(z). En particulier sizest racine multiplez3=a.

2. Sizest racine multiple on doit avoir

z3=a z

4+ 4az+b= 0

Or az+ 4az=b, 3az=b) 27a3z3=b3,27a4=b3 Inversement, si 27a4=b3, soitz2Cune racine deX3+a. On a donc z327a3=b3d'ou (b3za)3=1 et b3za=1 oujouj2 Si on est dans un des deux derniers cas, quitte a remplacerzparjzouj2z (qui sont encore des racines deX3+a) on peut supposer que (b3za) =1 i.e. b=3az=4az+az=4azz4. Finalement on a trouvez2Ctel que z

3+a= 0 etz4+ 4az+b= 0, autrement ditzest racine multiple deP(X).

3. On aP00(X) = 12X2. Orz3=a6= 0 doncz6= 0 et en particulierP00(z)6= 0,

c'est-a-direzest racine double deP. Exercice 3.SoitEunC-espace vectoriel. SoientF;GetHtrois sous-espaces de E.

1. Montrer queF[Gest un sous-espace vectoriel deE()FGouGF.

2. Montrer que

GF=)F\(G+H) =G+ (F\H)

Correction :

1. SiFGalorsF[G=Gest bien un sous-espace deE. SiGFalors

F[G=Fest bien un sous-espace deE.

Inversement, siF*GetG*Fil existea2FnGetb2GnF. On a bien a2FG[Fetb2GG[Fpourtanta+b =2G[F. En eet si a+b2G[Falors soita+b=g2Gsoita+b=f2F. Par exemple si a+b=g2Galorsa=gb2GcarGest un espace vectoriel donc stable par combinaison lineaire, ce qui est en contradiction aveca2FnG. AinsiF[G n'est pas un sous-espace deEcara;b2F[Geta+b =2F[G. 2

2. On va montrer la double inclusion.

Soitt2F\(G+H), il existef2F,g2Geth2Htels que

t=f=g+h Commeg2GFon ah=fg2FcarFest un espace vectoriel donc stable par combinaison lineaire. Ainsih2F\Hett=g+h2G+ (F\H).

Soitt2G+ (F\H), il existeg2Getu2F\Htels que

t=g+u

Org2GFetu2F\HFdonct=g+u2F. Commeu2F\HH

on a bient=g+u2G+H. Finalementt2F\(G+H). Exercice 4.1. Factoriser le polyn^omeX6+1 en produit des facteurs irreductibles dansR[X], puis dansC[X].

2. Decomposer la fraction rationnelle

1X

6+ 1en elements simples a coecients

dansR, puis dansC. Correction :1) On aX6+ 1 = (X2)3+ 1 = (X2+ 1)(X4X2+ 1), puis X

4X2+ 1 = (X4+ 2X2+ 1)3X2

= (X2+ 1)2(p3X)2 = (X2+p3X+ 1)(X2p3X+ 1):

DoncX6+ 1 = (X2+ 1)(X2+p3X+ 1)(X2p3X+ 1).

Il est clair queX2+ 1 n'a pas de racine reelle. PourP1=X2+p3X+ 1, on a

1= (p3)

24 =1<0, doncP1n'a pas de racines reelles. Idem pour

P

2=X2p3X+ 1. On a donc obtenu une factorisation deX6+ 1 en facteurs

irreductibles dansR[X]. X

2+1 a deux racines complexesX={, les racines complexes deP1sontp3{2

et celles deP2sontp3{2 . D'ou X

6+ 1 = (X{)(X+{)(X+p3{2

)(X+p3 +{2 )(Xp3{2 )(Xp3 +{2

2) On a

1X

6+ 1=aX+bX

2+ 1+cX+dX

2+p3X+ 1+eX+fX

2p3X+ 1;

d'ou 3

1 = (aX+b)(X4X2+ 1) + (cX+d)(X2+ 1)(X2p3X+ 1)

+(eX+f)(X2+ 1)(X2+p3X+ 1) = (a+c+e)X5+ (b+d+fp3c+p3e)X4+ (a+ 2c+ 2ep3d+p3f)X3 +(b+ 2d+ 2fp3c+p3e)X2+ (a+c+ep3d+p3f)X+ (b+d+f):

On en deduit

8>>>>>><

>>>>>:a+c+e= 0 (1) b+d+f+p3(ec) = 0 (2) a+ 2c+ 2e+p3(fd) = 0 (3) b+ 2d+ 2f+p3(ec) = 0 (4) a+c+e+p3(fd) = 0 (5) b+d+f= 1 (6) (1) et (5) impliquent fd= 0 (7)

Combinant avec (3), on a

a+ 2c+ 2e= 0 (8) (8) et (1) impliquenta= 0 et c+e= 0 (9) (2) et (6) impliquent p3(ec) =1 (10)

On deduit de (9) et (10) quec=12

p3 , ete=12 p3 . En utilisant (4), on obtient b+ 2d+ 2f= 1 (11) (11) et (6) implique 3(d+f) = 2, et avec (7), on obtientd=f=13 , et doncb=13

Il vient

1X

6+ 1=13(X2+ 1)+12

p3 X+13 X

2+p3X+ 1+12

p3 X+13 X

2p3X+ 1:

On a 1X

2+ 1={2

1X+{{2

1X{; puis 12 p3 X+13 X

2+p3X+ 1=12

p3 X+13 (X+p3{2 )(X+p3+{2 )=14 p3 {12

X+p3{2

+14 p3 +{12

X+p3+{2

4 et 12 p3 X+13 X

2p3X+ 1=12

p3 X+13 (Xp3{2 )(Xp3+{2 )=14 p3 +{12 Xp3{2 +14 p3 {12

Xp3+{2

Donc 1X

6+ 1={6

X+{{6 X{+14 p3 {12

X+p3{2

+14 p3 +{12

X+p3+{2

+14 p3 +{12 Xp3{2 +14 p3 {12

Xp3+{2

Exercice 5.SoitP(X) :=Xn2011, ounest un entier1.

1. Trouver toutes les racines deP, et factoriserPdansC[X] (Indication :on

pourra commencer par chercher les racines du polyn^omeXn1).

2. Montrer que l'on a l'egalite suivante

1P(X)=nX

k=1a kXzk; ouak2C, etz1;:::;znsont les racines deP.

3. Montrer queak=zk2011n;pour toutk= 1;:::;n.

Correction :

1) Soit=np20112R. En posantX=Y, on a

X n2011 =nYn2011 = 2011(Yn1): On en deduit que l'ensemble des racines dePestf1;2;:::;ng, ou lesksont les racines du polyn^omesPn(Y) =Yn1. On sait que l'ensemble des racines dePn estfe2{kn ; k= 1;:::;ng, donc l'ensemble des racines dePestfe2{kn ; k= 1;:::;ng:

On posezk=e2{kn

; k= 1;:::;n. CommePest unitaire, on a

P(X) = (Xz1)(Xz2):::(Xzn):

2) D'apres un theoreme du cours, on a

1P(X)=1(Xz1):::(Xzn)=nX

k=1a kXzk(*) ouaksont des constantes.

3) Pour calculerai, on multiplie l'egalite (*) par (Xzi), puis evalue les deux

c^otes enX=zi, on obtient alors

1(ziz1):::(zizi1)(zizi+1):::(zizn)=ai:

5 Montrons que (ziz1):::(zizi1)(zizi+1):::(zizn) =P0(zi). On a

P(X) =nY

k=1(Xzk)

Appliquant la regle de Leibniz, on a

P

0(X) =Y

k6=1(Xzk) +Y k6=2(Xzk) ++Y k6=n(Xzk); donc P

0(X) = (Xzi)Qi(X) +Y

k6=i(Xzk);avecQi2C[X]:

Il vient alors

P

0(zi) =Y

k6=i(zizk) = (ziz1):::(zizi1)(zizi+1):::(zizn): CommeP(X) =Xn2011, on aP0(X) =nXn1, doncP0(zi) =nzn1 i. Rappelons queziest une racine deP, donczni2011 = 0, autrement-ditzni= 2011. Il s'ensuit P

0(zi) =nzn1

i=nzniz i=2011nz i; et donc a i=1P

0(zi)=zi2011n:

6quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

[PDF] Factorisations : Résumé de cours et méthodes 1 - Xm1 Math

[PDF] La factorisation Méthode Vérification - Mathadoc

[PDF] aide-mémoire ? la facturation 2016 - Santé inc

[PDF] Traitement fiscal des prestations de services réalisées ? l 'étranger

[PDF] importer des articles - RCA

[PDF] m Une facture ? trous

[PDF] Auto-entrepreneur Pratic - Fady GERGES Formateur Comptabilité

[PDF] Auto-on-Net : Modèle d 'une facture de vente d 'une voiture entre

[PDF] Etablir une facture - Ikea

[PDF] Etablir une facture - Ikea

[PDF] La facture proforma

[PDF] Les formalités douanières ? respecter en fonction des - Colissimo

[PDF] Facture Pro Forma - Chronopost

[PDF] facture proforma - La Poste

[PDF] La facture proforma