[PDF] Convolution et régularisation

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Convolution et régularisation

Joël MERKER

Professeur des universités

Département de Mathématiques d"Orsay

Bâtiment 425, Faculté des Sciences, F-91405 Orsay Cedex www.math.u-psud.fr/merker/index.html joel.merker@math.u-psud.fr

1.Rappels sur les espacesLp(Rd)

Dans tout ce chapitre, nous travaillerons en dimension finied>1surRdavec des fonctionsf:Rd!Cà valeurs complexes. Bien entendu, la mesure de référence est la mesure de Lebesgue : dx=dx1dxd: Inégalité de Minkowski:Pour tout exposantp2[1;+1[et toute paire de fonctions mesurablesf;gsurRdtelles quef(x)petg(x)psoient intégrables,i.e.appartiennent à L

1(Rd), on a :

(1) Z R df(x) +g(x)pdx 1 p 6 Z R df(x)pdx 1 p Z R dg(x)pdx 1 p

Il en découle que la quantité :

jjfjjLp:= Z R df(x)pdx 1 p constitue unenormesur l"espace : L p:=n fonctions mesurablesf:Rd!Ctelles queZ R djf(x)jpdx <+1o ces fonctions mesurables étant considérées à un ensemble de mesure nulle près, comme

l"exige la théorie de l"intégration. D"après un théorème dit "de Riesz», pour cespsatis-

faisant16p<+1où+1est exclu, l"espaceLpest complet, à savoir toute suite de Cauchy dansLppossède une certaine limite qui appartient encore àLp. De plus, d"après

un autre théorème également dit "de Fischer-Riesz», étant donné n"importe quelle suite

de fonctions(fk)k>1appartenant toutes àLp(Rd)qui convergent en normeLpvers une certaine fonctionf2Lp(Rd), à savoir :

0 =limk!+1jjffkjjLp;

il existe au moins une sous-suitefkn n>1telle que : lim n!+1fkn(x) =f(x)pour presque toutx2Rd: Lorsquep= +1, l"espaceLpdevient l"espaceL1des fonctions mesurablesf:Rd!C dont le sup essentiel : fL1def= supessjfjdef=infn

M >0tel que0 =mesurefx2Rd:jf(x)j> Mgo

1

2JoëlMERKER, Cours de L3 MFA, Université Paris-Sud Orsay, 2013-2014

quantité dont on démontre qu"elle constitue alors une norme, est fini :fL1<+1:

Définition 1.1.

Deux nombres réelspetp0appartenant à l"intervalle ouvert]1;+1[sont dit conjuguéssi l"on a :1 p +1 p 0= 1; par extension, on dira que1et+1sont conjugués eux aussi.

Cauchy-Schwarz :

(2) Z R df(x)g(x)dx6 Z R djf(x)j2dx 1 2 Z R djg(x)j2dx 1 2 valable pour tout couple de fonctionsfetgdansL2(Rd). et toute paire de fonctions mesurablesf2Lp(Rd)etg2Lp0(Rd), le produitf(x)g(x) appartient àL1(Rd), et sa normeL1est contrôlée par le produit simple et nu des normes L petLp0defet deg: jjf gjjL16jjfjjLpjjgjjLp0; à savoir en d"autres termes plus explicites mais complètement équivalents : (3) Z R df(x)g(x)dx6 Z R djf(x)jpdx 1 p Z R djg(x)jp0dx 1 p 0

2.Translations dansLp(Rd)

Définition 2.1.

Soita2Rdun vecteur constant et soitf2Lp(Rd). On appelle translatée de fpara, et on noteaf, la fonction définie pour toutx2Rdpar :af(x) :=f(xa):

Théorème 2.2.

Si deux fonctions mesurablesfetgvérifientf(x) =g(x)pour presque toutx2Rd, et sia2Rdest un vecteur constant, alorsaf(x) =ag(x)pour presque tout x2Rdaussi. On peut donc définir, pour toutp2[1;+1], l"application quotientasur l"espaceLp(Rd)par la formule ci-dessusaf(x) :=f(xa). De plus,aest une isométrie linéaire deLp(Rd)dans lui-même pour toutp2[1;+1]:afLp=jjfjjLp: Enfin, pour toutp2[1;+1[, à l"exclusion dep= +1, et pour toute fonctionf2Lp(Rd), on a : (4)0 =lima!0affLp:

Démonstration.

On a tout simplement :

x2Rd:af(x)6=ag(x)=x2Rd:f(xa)6=g(xa) =a+x2Rd:f(x)6=g(x); donc grâce à l"invariance par translation de la mesure de Lebesgue, si le second ensemble est de mesure nulle, le premier l"est aussi. C"est pourquoi l"on peut définirasurLp(Rd). Translations dansLp(Rd)(d"après Mohammed El Amrani)3 Ensuite, si16p<+1, l"invariance par translation de la mesure de Lebesgue est encore utilisée pour vérifier la conservation de la normeLp(posery:=xa, d"où dy

1dyd=dx1dxd) :

jjafjjLpp=Z R djf(xa)jpdx=Z R djf(y)jpdy=jjfjjLpp: Le casp= +1se traite séparément en notant que :

8u2R;x2Rd:jaf(x)j> u=a+x2Rd:jf(x)j> u:

L"invariance de la mesure de Lebesgue par translation (à nouveau elle!) entraîne alors la conservation de la normeL1à traversa: fL1def= supessjfj=infM >0tel quemesurefx2Rd:jf(x)j> Mg= 0 = supessjafj=jjafjjL1: Soit maintenantp2[1;+1[, à l"exclusion dep= +1. Pour démontrer la continuité de la normeLppar rapport aux (petites) translations, à savoir pour établir (4) ci-dessus, nous commencerons par supposer quef2C0c(Rd)est continue à support compact, avant de vérifier qu"il suffit d"utiliser la densité deC0c(Rd)dansLp(Rd)pour conclure. La densité : souvenons-nous en! Si doncfest continue à support compact, elle est uniformément continue surRdtout entier (prière de s"assurer rigoureusement que les connaissances acquises en L2 rendent cette affirmation évidente), donc pour tout" >0, il existe=(")>0tel que : jaj6=)

8x2Rd;f(xa)f(x)6"

Par suite, dès que l"on supposejaj6, on peut estimer la puissancep-ème de la norme L pde la différence entreafetfcomme suit, en restreignant "bêtement» l"intégration à l"ensemble où nifniafne s"annulent : affLp p=Z R df(xa)f(x)pdx Z (a+ff6=0g)[ff6=0g f(xa)f(x)pdx 6 mesure(a+ff6= 0g) +mesure(ff6= 0g)"p

62mesure

ff6= 0g {z constante<+1" p: Or la mesure (de Lebesgue) de la fermeture de l"ensemble desx2Rden lesquelsf(x)6= 0 est évidemment finie, puisque cet ensemble est, disons, contenu dans une certaine boule fermée

B(0;R)de rayonR1assez grand. Comme tout terme :

constante"p tend vers zéro lorsque"!0, ceci montre, comme voulu et comme désiré, que :

0 =lima!0affLp;

pour toute fonctionf2C0c(Rd).

4JoëlMERKER, Cours de L3 MFA, Université Paris-Sud Orsay, 2013-2014

rappelé et admis ci-dessus, il existe une suite(fn)n>1de fonctionsfn2C0c(Rd)telles que :fnfLp!0lorsquen!+1:

Or on peut estimer la normeLpde la différence entreafetfen y insérant les quatre termesafn+afnfn+fnqui s"additionnent à0, et en appliquant ensuite l"inégalité triangulaire (Minkowski!) à trois membres, ce qui donne :affLp6afafnLp+afnfnLp+jjfnfjjLp = 2jjfnfjjLp+afnfnLp: Si maintenant" >0est un nombre réel arbitrairement petit, il existe un entierN"tel que : jjfN"fjjLp6" 4 Mais puisque cette fonctionfN"est continue à support compact, la première partie de la démonstration assure qu"il existe un"suffisamment petit pour que : jaj6"=)afN"fN"Lp6" 2 Enfin, si l"on posen:=N"dans le jeu d"inégalités triangulaires effectué à l"instant, on obtient qu"avec le même": jaj6"=)affLp62" 4 2

ce qui achève notre première démonstration basée sur un argument de densité — Dieu sait

qu"il y en aura d"autres!

Exercices

Exercice 1.

Montrer que la propriété :

0 =lima!0affLp;

vraie pour16p<1estfaussepourp=1.Indication :En dimensiond= 1, surR, considérer la fonction indicatrice du segment fermé[;]pour deux nombres réels1< < <1.

3.Produit de convolution dansL1(Rd)

Définition 3.1.

On dit que deux fonctionsfetgdeRdà valeurs dansCsont convolables si, pour presque toutx2Rd, la fonction : t7!f(xt)g(t) est intégrable,i.e.appartient àL1(Rd). Lorsque c"est le cas, on définit alors le produit de convolution (ou laconvolée) defet degpar : (fg)(x)def=Z R df(xt)g(t)dt: Le théorème de Fubini montre alors quegetfsont convolables dès lors quefestgle sont, avec en bonus lacommutativité(exercice impératif : vérifier cela!) : fg=gf: Produit de convolution dansL1(Rd)(d"après Mohammed El Amrani)5 Évidemment, sifest convolable avec deux fonctionsg1etg2, alors pour toutes constantes

1;22C, la convolée defavec1g1+2g2existe et l"on a lalinéaritépar rapport au

second facteur : f(1g1+2g2) =1fg1+2fg2;

d"où il découle aussi, grâce à la commutativité, que le produit de convolutionest en fait

bilinéaire par rapport à chacun de ses facteurs gauche ou droite. Cette définition du produit de convolution, qui est possible "si la fonctiont7!f(x

t)g(t)est intégrable», procède par abstraction d"une condition de définissabilité minimale.

Lorsque les fonctions appartiennent à des espaces fonctionnels raisonnablement réguliers, par exemple l"espace des fonctions continues à support compact ouC1à support compact,

on vérifie grâce à des changements de variables élémentaires (exercice impératif : vérifier

cela!) que le produit de convolution est de plus associatif: f(gh) = (fg)h:

Toutefois, avec la définition minimale énoncée ci-dessus, quelques "pathologies» (à ou-

blier rapidement ...) peuvent se produire, comme le montre un Exercice ci-dessous. En tout cas, lorsqu"on suppose que les fonctions appartiennent àL1(Rd), tout se passe très bien comme le montre le premier théorème fondamental suivant.

Théorème 3.2.

Soient deux fonctionsf2L1(Rd)etg2L1(Rd). Alors pour presque tout x2Rd, la fonction : R d3t7!f(t)g(xt)2C est intégrable,i.e.elle appartient àL1(Rd), donc la convolution defet dega un sens, et, de plus, cette convolée : fg(x) =Z R df(t)g(xt)dt L

1defetL1deg:

jjfgjjL16jjfjjL1 jjgjjL1:

Démonstration.

Nous traiterons le casd= 1, les arguments pourdquelconque ne deman- dant qu"une adaptation mineure quant au formalisme des signes d"intégration. des deux fonctions positivesjf(xt)jetjg(t)jest finie : Z +1 1Z +1 1 jf(xt)jjg(t)jdtdx=Z +1 1Z +1 1 jg(t)jdtjf(xt)jdx [posery:=xt]=Z +1 1 jg(t)jdtZ +1 1 jf(y)jdy =jjgjjL1jjfjjL1 <+1; majorée par le produit des normesL1deget def. Grâce au théorème de Fubini- Tonelli ceci entraîne que pour presque toute "tranche unidimensionnelle horizontale» fx=constanteg, la restriction de la fonction de deux variables : (t;x)7!f(xt)g(t)

6JoëlMERKER, Cours de L3 MFA, Université Paris-Sud Orsay, 2013-2014

à ladite tranche, à savoir l"application d"unevariable : t7!f(xt)g(t) est (de valeur absolue) intégrable surRpar rapport àdt. Aussi l"intégrale qui définit la convolution entrefetgexiste-t-elle bien pour presque toutx2R. Ensuite, l"inégalité triangulaire évidente entre intégrales : jfg(x)j6Z +1 1 jf(xt)jjg(t)jdt; intégrée par rapport àdxsurR: fgL1=Z +1 1 jfg(x)jdx 6 Z +1 1Z +1 1 jf(xt)jjg(t)jdtdx =jjgjjL1jjfjjL1;

permet d"obtenir, grâce à une répétition du calcul qui précède, l"inégalité annoncée sur les

normesL1. Ceci achève la simple et belle démonstration de notre tout premier résultat sur l"opération de convolution.

Exercices

Exercice 1.

Soient deux réels finis1< < <1. On introduit les deux fonctions indicatrices : f:=1[;]etg:=1[;]: (a)Montrer quefetgsont convolables. (b)Montrer que leur convolution possède l"expression explicite : fg(x) =8 :2lorsque06jxj6; + jxjlorsque6jxj6+;

0lorsque+ (c)Quelle est la régularité defet deg? Quelle est celle defg? S"améliore-t-elle?

Exercice 2.

Soient trois fonctions Lebesgue-intégrablesf;g;h2L1(R). (a)Montrer que le produit de convolution est commutatif : fg=gf: (b)Montrer que le produit de convolution est associatif : (fg)h=f(gh):

Exercice 3.

SurR, on introduit les trois (combinaisons de) fonctions indicatrices : f:=1[0;1];g:=1[1;0]1[0;1];h:=1R: (a)Montrer quefetgsont convolables et que : fg=8 :0lorsquejxj>1;

1 +xlorsque16x60;

1xlorsque06x61:

(b)Montrer quefgethsont convolables et que : (fg)h1: Produit de convolution et support (d"après Mohammed El Amrani)7 (c)Montrer quegethsont convolables, puis quefest convolable avecghet enfin que : f(gh)0: (oui, mais pourquoi?).

4.Produit de convolution et support

La notion de support joue un rôle important dans la théorie des opérateurs de convo- lution. Lorsqu"une fonction est continue, son supportest tout simplement l"adhérence de l"ouvert constitué des points en lesquels elle prend des valeurs non nulles : sif2C0(Rd): suppf= x2Rd:f(x)6= 0: L"idée sous-jacente, c"est qu"un point est dans le support d"une fonction si la fonction n"est pas nulle en ce point, où à la rigueur, s"il existe d"autres points arbitrairement proches en

lesquels la fonction est non nulle, et cette idée est tout à fait adéquate lorsque la fonction

est continue. Cependant, on sait bien que la théorie des fonctions mesurables, des fonctionsL1au sens de Lebesgue, des fonctionsLp, n"a un sens qu"à un ensemble de mesure nulle près, et la définition du support valable pour les fonctions continues ne peut alors plus avoir de sens cohérent. Par exemple, la fonction indicatrice de l"ensemble des nombres rationnels dansR, à savoir : 1

Q(x) =1six2Q;

0six2RnQ;

a la propriété évidente que la fermeture de l"ensemble des points où elle ne s"annule pas

remplitRtout entier : x2Rd:1Q(x)6= 0= Q=R; bien que cette fonction indicatrice soit nullepresque partout, puisque l"ensemble des nombres rationnels est de mesure nulle dansR. Il est clair qu"au sens de la mesure, cette fonction1Qdoit être considérée comme s"identifiant à la fonction identiquement nulle, et par conséquent, on ne peut pas définir la notion de support pour les fonctions mesurables ou intégrables en calquant la définition naturelle qui était valable pour les fonctionsC0, C

1,C2ouC1.

La solution à toutes ces errances dialectiques n"est pourtant pas difficile. Il suffit de rai-

sonner par passage au complémentaire, comme le dévoile très précisément la Proposition-

Définition suivante.

Proposition 4.1.

(Définition du support des fonctions définies à un ensemble de mesure nulle près)Soit un ouvert deRdet soitfune fonction mesurable définie dans et à valeurs dansC. On considère la famille(!i)i2Ide tous lesouverts!i tels que, pour chaquei2I, on ait : f(x) = 0pour presque toutx2!i; et on introduit leur réunion ensembliste complète : i2I! i;

8JoëlMERKER, Cours de L3 MFA, Université Paris-Sud Orsay, 2013-2014

qui est bien sûr un sous-ensembleouvertde . Alors (proposition) on a de même : f(x) = 0pour presque toutx2! et (définition) on définit le supportdef: supp(f) := n! comme étant lecomplémentaire, dans l"ouvert ambient , de ce plus gros ouvert!sur lequelfs"annule identiquement (à un ensemble de mesure nulle près).

Démonstration.

Par définition des!i, il existe, pour chaquei2I, un ensemble négli- geableNi!ien dehors duquelfne prend que des valeurs exactement nulles :

8x2!inNi; f(x) = 0:

Le "hic» ici, c"est que la famille des!in"a aucune raison, en général, d"être dénombrable,

et donc, qu"on ne peut pas conclure directement : la réunion desNiest de mesure nulle elle aussi (en appliquant l"énoncé bien connu que toute réunion dénombrable d"ensembles de mesure nulle est elle aussi de mesure nulle). Heureusement, on va pouvoir se ramener au cas dénombrable par le procédé suivant, dit d" exhaustion, qui est classique en Analyse. Considérons à cet effet, pour toutn>1, l"ensemble : K n:=x2!: dist(x;Rdn!)>1 n

B(0;n)

constitué de tous les points du gros ouvert!qui sont : situés à une distance>1 n de l"extérieurRdn!, à savoir enceints à l"intérieur de!par une bande de sécurité d"épaisseur 1 n contenus dans une (grosse) boule fermée de rayonn, pour que tout soit compact. Alors il est intuitivement suggestif que ces compactsKnforment une famille dénombrable et que, lorsquense rapproche de+1, lesKn"remplissent» de plus en plus!tout entier. En effet, le lecteur est invité à vérifier rigoureusement que : K nKn+1et que :!=[ n>1K n:

En particulier, on a pour toutn>1fixé :

K n[ i2I! i: Par compacité deKn, on peut alors, pour toutn>1fixé, extraire deIun sous-ensemble finiIntel que : K n[ i2In! i: Parce que toute réunion dénombrable d"ensemble finis est elle-même dénombrable, l"en- sembleJ:=[n>1Inest dénombrable et l"on voit ainsi :quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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