Décomposition en séries de Fourier dun signal périodique
La fonction f(t) est une fonction impaire ; son développement en séries de Fourier ne comportera que des termes en sinus (les coefficients~ sont nuls). *** Si
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? ?
Toute fonction périodique de fréquence f (et de période T) est décomposable o Signal créneau symétrique impair de valeur moyenne nulle d'amplitude A :.
Quelle est la durée d'un créneau de présentation ?
chaque pause café et 3 créneaux de présentation pendant chaque pause déjeuner (chaque créneau de présentation aura une durée de 20 minutes). [] [] during each lunch break (one time slot = 20 minutes). [] si l'on considère leur valeur économique actuelle.
Comment effectuer un créneau?
Évaluer que l’emplacement disponible soit suffisant pour effectuer le créneau. Indiquer aux autres usagers son intention de se garer en actionnant le clignotant. Marquer des arrêts pour évaluer les espaces avant, arrière et vérifier la circulation lors de la manoeuvre.
Quelle est l’origine du créneau?
Origine : Afin de mieux comprendre cette expression française qui puise ses origines de l’époque féodale, il faudrait commencer par définir le créneau selon le dictionnaire de l’époque. En effet, le créneau serait une petite ouverture au sommet de la tour d’un château servant de défense à cette citadelle.
I) ASPECf MATHEMATIQUE :
Décomposition en séries de
Fourier d'un signal périodique
1-1) Décomposition en séries de Fourier:
Une fonction périodique f(t) de période T peut, sous certaines conditions mathématiques qui seront toujours réalisées
dans la pratique en physique, se décomposer en une somme de fonctions sinusoï dales de la forme : (décomposition
en séries de Fourier) f(t) = a 0 + L (an cosnwt + bn sinnwt) n=l 2n (n entier etOJ = -)
TLes coefficients ao, au et bn sont indépendants du temps et sont donnés par les intégrales suivantes :
l fT ao =-f(t)dt T o 2fT an =-f(t) cosnwtdt T o 2fT bn =-f(t)sinnwtdt T oOn remarque que a0 est la valeur moyenne de la fonction f(t) : <\>est donc nul si la fonction f(t) est alternative.
Deux cas particuliers :
*** Si la courbe représentative de la fonction f(t) admet un centre de symétrie situé sur l'axe Ox, alors, en choisissant
ce point comme origine des temps : f( -t)=-f(t)La fonction f(t) est une fonction impaire ; son développement en séries de Fourier ne comportera que des termes en
sinus (les sont nuls).*** Si la courbe représentative de la fonction f(t) admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie, alors f(-t)=f(t)
(fonction paire). Le développement en séries de Fourier ne contient alors que des termes en cosinus ((les coefficients
bn sont nuls). 1-2) Spectre en fréquences :Le terme général an cosnwt + bn sinnwt est appelé harmonique de rang n. Il peut être mis sous la forme :
En posant
en +b; coscpn = , il vient: 2 2 an +bn a an cosnwt + bn sinnwt = en cos(nwt-({Jn) Et la fonction périodique f(t) peut alors s'écrire : f(t) = L,en cos(nwt-cpn) n=l L'harmonique de rang 1 est appelé le fondamental. On obtient la représentation spectrale de la fonction f(t) en portant en ordonnée l'amplitude des harmoniques (les termes a,.., bn ou Cn) et en abscisse les pulsations correspondantes, ce qui conduit au diagramme de la figure ci-contre. (avec ici représentés les coefficients Cn)1-3) :EXemples de décomposition en séries de
Fourier:
a) Signal carré :0 (J) 2w 3w 4w
5w / w
f(t) +A -A On considère le signal de la figure ci-contre . La fonction f(t) est impaire et sa décomposition ne contiendra que des termes en sinus. On peut calculer: a 0 = 02 fT/2 2A 2A
bn = -T f(t) sinnwtdt = -(1-cosnn) = -(1-( -1t) -T/2 nn nn Par conséquent, la décomposition ne comprend que des harmoniques d'ordre impair : 4A/n f4A [ . 1 . 1 . 5 ]
(t) =-smwt +-sm3wt +-sm ut+ ... n 3 5 4A/3n 4AJ5nSon spectre est donné sur la figure ci-contre.
0 (J)3W sw (J)
b) Signal triangulaire :On considère le signal triangulaire donné ci-dessous (la fonction f(t) est paire). La décomposition en séries de Fourier
s'écrit alors : f(t)SA/ri-
+ASA/9ri
SA/2512-
-A 0 (J)3w 5W (J)
Signal triangulaire Spectre en fréquences
SA [ 1 1 ]
f(t) = - 2 cos ut +--ycos3wt +2cos5wt+
n 3 5On peut remarquer que les harmoniques d'ordre supérieur à 1 sont beaucoup moins importants pour le signal
triangulaire que pour le signal carré, ce qui est naturel puisque le signal triangulaire a une forme proche de celle d'un signal sinusoï dal. c) Signal en dents de scie : f(t) (t) =-smwt--sm2wt + -sm3wt--sm4wt+ ... f2A [ . 1 . 1 . 1 . J
Tr 2 3 4
-A d) Signal sinusoï da1 redressé: f (t) = -+--cos2wt --cos4üt +-cos6wt+ ...2A 4A[ 1 1 1 J
Tr Tr 3 3.5 5.7
f(t) A 0 T/2 Il) MISE EN EVIDENCE EXPERIMENTALE DES HARMONIQUES D'UN SIGNAL :On alimente un circuit série (RLC) par un générateur BF (supposé idéal) délivrant des signaux sinusoï daux,
triangulaires ou carrés. Les valeurs des composants utilisés sont:L=44mH
C=0,1 f.l.F R=lOQ (résistance de la bobine inconnue)Un oscilloscope bi courbe permet de visualiser les tensions aux bornes du générateur et aux bornes de R.
1) Faire le schéma du montage utilisé en précisant notamment les branchements de l'oscilloscope.
2) Calculer théoriquement la pulsation et la fréquence de résonance d'intensité, ainsi que le facteur de qualité
du circuit (RLC) série.3) Expérimentalement,
on détermine la fréquence de résonance d'intensité en injectant une tension sinusoï dale à l'entrée du circuit. On mesure tJ=2390 Hz. La tension maximale d'alimentation est Em=0,3 V et la tension maximale aux bornes deR est UR,max=O,l38 V. a) Déterminer l'intensité maximale dans le circuit à la résonance d'intensité. b)En déduire la résistance totale du circuit. Quelle est la valeur de la résistance de la bobine ?
4) On utilise maintenant une tension d'entrée carrée, de fréquence tJ et de valeur maximale 0,3 V. La valeur
maximale de la tension aux bornes deR est alors de 0,175 V.a) Quelle est la forme et la fréquence de la tension observée aux bornes de R? Tracer, sur un même
dessin, la tension d'entrée et la tension aux bornes deR. b) Quelle est l'intensité maximale dans le circuit ? c) Faire une analyse de Fourier du signal carré et vérifier que les résultats expérimentaux sont enaccord avec cette décomposition. Déterminer notamment le premier coefficient de cette décomposition.
5)On utilise désormais un signal d'entrée triangulaire de valeur maximale 0,3 V et de fréquence fo. La valeur
maximale de la tension aux bornes deR est alors 0,108 V.Répondre
aux mêmes questions qu'en ( 4 ).6) Observation des harmoniques : on diminue lentement la fréquence du signal d'alimentation en gardant la
même valeur pour sa valeur maximale (0,3 V). On observe des résonances secondaires pour lesquelles l'intensité dans
le circuit est sinusoï dale et passe par une valeur maximale. Les résultats numériques sont consignés dans les tableaux
suivants:Signaux carrés :
flHz) 2390 796 478 342 266UR(mV)
175 55
40 33 25
Signaux triangulaires :
flHz) 2390 800 480 345108 12 5 3
Montrer que ces résultats expérimentaux sont en accord avec la décroissance des coefficients de la
décomposition en série de Fourier en 1/n pour le signal carré et en 1/ul pour le signal triangulaire.
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