[PDF] Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane 22 juin 2015

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A. P. M. E. P.

?Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane?

22 juin 2015

EXERCICE16POINTS

Commun à tous lescandidats

PartieA

1.Pour toutes les courbes, on aga(1)=a. Donc on a de bas en haut les courbesΓ0,05,Γ0,1,Γ0,19etΓ0,4.

2.Les courbesΓ0,05etΓ0,1semblent sécantes àCen deux points;

La courbeΓ0,19semble être tangente àC;

La courbeΓ0,4etCsemblent ne pas être sécantes.

Il semble donc que :

— si 0

— sia=0,19,Γ0,19etCont un point commun;

— sia>0,19,ΓaetCn"ont pas de point commun.

PartieB

1.Sim(x;y)?C∩Γa, alors lnx=ax2??lnx-ax2=0??ha(x)=0.

Le nombre de points communs àCetΓaest donc égal au nombre de solutions de l"équationha(x)=

0. 2. a. x01?2a+∞ h ?a(x)+0- h a(x) -∞-1-ln(2a) 2

On a en fait :h?a(x)=1x-2ax=1-2ax2x.

Commex>0 eta>0, le signe deh?a(x) est celui de 1-2ax2.

Or 1-2ax2=0??1=2ax2??1

2a=x2??x=1?2a.

D"où le tableau de variation deha.

b.On sait que limx→+∞lnx x=0.

Commeha(x)=x?lnx

x-2ax? , on a donc : lim x→+∞lnx x-2ax=-∞et par produit de limites : lim x→+∞x?lnx x-2ax?

3.Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que

a=0,1.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

a.h0,1(x)=0??lnx-0,1x2=0. Soitila fonction définie sur ]0 ;+∞[ pari(x)=lnx-0,1x2; cette fonction est dérivable sur ]0 ;+∞[ et sur cet intervalle : i ?(x)=1 x-0,2x. ori?(x)=0??1 x-0,2x=0??1=0,2x2??5=x2??x=?5.

On a de mêmei?(x)>0??1

x-0,2x>0??1>0,2x2??5>x2??xSur l"intervalle

?0 ;?

5?, la fonctioniest continue et strictement croissante de-∞à

ln

5-0,1×??5?2=12ln5-0,5≈0,3>0 : la fonctionis"annule donc une seule fois sur cet

intervalle. On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l"intervalle??

5 ;+∞?.

b.D"après la question précédente la courbeΓ0,etCont deux points communs : l"un sur ]0 ;? 5[ et l"autre sur??

5 ;+∞?.

4.Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose quea=1

2e. a.Le tableau de variations montre que le maximum deh1

2eest égal à-1-ln1

e

2=-1+lne2=0.

b.Le maximum étant nul, on en déduit queh1

2e(x)?0??lnx?12ex2; autrement ditCest sous

1

2e, sauf pourx=1?

212e=?

e où elles ont un seul point commun.

5.Onavu queCetΓan"ont aucunpoint d"intersection lorsque l"équationha(x)=0 n"apasdesolution,

c"est-à-dire lorsque le maximum de la fonctionhaest inférieur à zéro, soit : -1-ln(2a)

2<0?? -1-ln(2a)<0??ln2a>-1??eln2a>e-1??2a>e-1??

a>1

2e≈0,18394≈0,19.

EXERCICE25POINTS

Commun à tous lescandidats

La partie C peut être traitée indépendamment des parties A etB

PartieA

1.D"après l"indication :?x

0

λte-λtdt=?

t+1 e -λt?x 0 x+1λ? e -λx-?

0+1λ?

e -λ×0? 1 t+1λ? e -λt=1λ?1-xλe-λx+e-λx?

2.De limx→+∞e-x=0, on en déduit avecλ>0, limx→+∞e-λx=0 et aussi limx→+∞xλe-λx=0.

Conclusion : lim

x→+∞e-x=? x 0

λte-λtdt=1

PartieB

1.Sur le graphique de l"annexe 2 (à rendre avec la copie) :

a.Voir la surface hachurée sur l"annexe 2 à la fin.

22 juin 20152Antilles-Guyane

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.On lit comme ordonnée à l"origineλ=0,5.

2.On suppose queE(X)=2.

a.E(X)=2 signifie que la durée de vie d"un composant est en moyenne égale à 2 ans. b.On a vu queE(X)=1

λ=2??λ=0,5.

c.On a :P(X?2)=? 2 0 λe-0,5tdt=?-e-0,5t?20= -e-0,5×2-?e-0,5×0?=1-e-1=e-1 e≈0,632≈0,63 au

centième près. Ce résultat est la probabilité qu"un composant ait une durée de vie inférieure à

l"espéranceE(X). d.Il faut trouver :P(X?1)(X?3)=P(X?1)(X?2)=P(X?2)=1-P(X?2)=1-?1-e-1?=e-1≈0,368.

PartieC

1.Les évènementsD1etD2sont indépendants, donc :

P

2.Ici la probabilité est égale à :P(D1?D2)=P(D1)+P(D2)-P(D1∩D2)=0,39+0,39-0,1521=0,6279.

EXERCICE34POINTS

Commun à tous lescandidats

PartieA

?I M ?M R

O-→u-→

v

1.Puisque OM= OR, on a|zM|=|zR|=|z|.

CommeRa un argument égal à 0 à 2πprès on azR=|z|. 2. z ?=1 2? z+|z|2?

L"affixe de

z+|z|

2est égale à la demi-somme des affixes de celles deMet deR. Le point ayant cette

affixe est donc le milieuIdu segment [MR].

Finalement le pointM?est le milieu de [OI].

PartieB

22 juin 20153Antilles-Guyane

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.Siz0est un nombre réel négatif, on a|z0|= -z0. D"oùz1=z0+|z0|4=z0-z04=0 et tous les termes

suivants de la suite sont nuls. La suite converge vers 0.

2.Siz0est un nombre réel positif, on a|z0|=z0. D"où

z

1=z0+|z0|

4=z0+z04=z02, puisz2=z1+|z1|4=z

0 2+z02

4=z04.

Montrons par récurrence quezn=z0

2n. Initialisation: on vu que la relation est vraie pourn=0.

Hérédité: supposons que pourn?N,zn=z0

2n; alors

z n+1=zn+|zn| 4=z 0

2n+z02n4=z

0 2n-1

22=z02n+1: la relation est vraie au rangn+1.

On a montré quez0=z0

20et que si pourn?N,zn=z02nalorszn+1=z02n+1

On a donc démontré par le principe de récurrence que pour toutnatureln,un=z0 2n.

La suite

(zn)est donc une suite géométrique de premier termez0et de raison1

2. Comme-1<12<1,

on sait que cette suite converge vers 0.

3. a.D"après la première construction, le module dez?Mest inférieur à celui dezMet son argument est

égal à la moitié. On peut donc conjecturer que la suite (|zn|)va elle aussi converger vers 0. b.On sait (inégalité triangulaire) que pour tous complexesz1etz2, que z1+z2|?|z1|+|z2|.

En appliquant cette inégalité à

zn

4et à|zn|4, on obtient :

zn+1|???zn

4??+???|zn|4???

ou encore|zn+1|?2|zn|4ou|zn+1|?|zn|2. On montre de la même façon que précédemment par récurrence que|zn|?|z0| 2n.

La suite

?|z0| 2n? est une suite géométrique de raison

12qui converge vers 0. Donc d"après le théo-

rème des gendarmes la suite (|zn|)converge elle aussi vers 0.

EXERCICE45POINTS

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

PartieA

On considère l"algorithme suivant :

Variables :ketpsont des entiers naturels

uest un réel

Entrée :Demander la valeur dep

Traitement :Affecter àula valeur 5

Pourkvariant de 1 àp

Affecter àula valeur 0,5u+0,5(k-1)-1,5

Fin de pour

Sortie :Afficheru

valeur dek12 valeur deu51-0,5

On obtient en sortie :-0,5.

PartieB

22 juin 20154Antilles-Guyane

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

un+1=0,5un+0,5n-1,5.

1.Algorithme modifié :

Variables :ketpsont des entiers naturels

uest un réel

Entrée :Demander la valeur dep

Traitement :Affecter àula valeur 5

Pourkvariant de 1 àp

Affecter àula valeur 0,5u+0,5(k-1)-1,5

Afficheru

Sortie :Fin de pour

2.Puisqueu4>u3la suite(un)n"est pas décroissante, du moins pas avant le rang 4.

3.InitialisationOn vient de voir queu4>u3: la relation est vraie pourn=3.

HéréditéOn suppose que pourn?N,n?3 on aitun+1>un. D"où 0,5un+1>0,5un; D"autre part :n+1>n?0,5(n+1)>0,5nd"où par somme des ces deux dernières inégalités :

0,5un+1+0,5(n+1)>0,5un+0,5net en ajoutant-1,5 à chaque membre :

0,5un+1+0,5(n+1)-1,5>0,5un+0,5n-1,5 soitun+2>un+1: la relation est vraie au rangn+1.

On a donc démontré queu4>u3et que pournentier naturel supérieur ou égal à 3,un+1>unen-

traîneun+2>un+1ce qui montre d"après le principe de récurrence que la suite(un)est croissante à

partir du rang 4.

4.Pour tout natureln, on a :vn+1=0,1un+1-0,1(n+1)+0,5=0,1un+1-0,1n+0,4=

0,1 0,5 (0,1un-0,1n+0,5)=0,5vn: la suite(vn)est donc géométrique de raison 0,5.

Le premier terme est :v0=0,1×5-0,1×0+0,5=1.

On a donc pour tout natureln,vn=1×0,5n=0,5n=1

2n.

5.On avn=0,1un-0,1n+0,5??0,5n=0,1un-0,1n+0,5??10×0,5n=un-n+5??

u n=10×0,5n+n-5.

6.Comme-1<0,5<1, on a limn→+∞0,5n=0 et comme limn→+∞n=+∞,on a donc limn→+∞un=+∞. La suite

un)ne converge pas.

EXERCICE45POINTS

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante

PartieA

1. valeur dea2698 valeur deb981 valeur dec810

Affichage1

2.

22 juin 20155Antilles-Guyane

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Variables :cest un entier naturel

aetbsont des entiers naturels non nuls

Entrées :Demandera

Demanderb

Traitement :Affecter àcle nombrer(a,b)

Tant quec?=0

Affecter àale nombreb

Affecter àbla valeur dec

Affecter àcle nombrer(a,b)

Fin Tant que

Sortie :Sib=1

Afficher "les nombres entrés sont premiers entre eux» Sinon Afficher "les nombres entrés ne sont pas premiers entre eux»

Fin de Si

PartieB

1.Dans cette question, on choisitp=9 etq=2.

a.Dansle tableauV correspond à21, or9×21+2=189+2=191 et191=26×7+9;doncx?≡9 [26].

Dans le tableau 9 correspond à la lettre J.

b.9 et 26 étant premiers entre eux, le théorème de Bezout permetd"affirmer l"existence de deux

entiers relatifsuetvtels que 9u+26v=1. Le couple (3 ;-1) est un couple simple solution de cette équation. c.On ax?≡9x+2 [26]??il existek?Z,x?=26k+9x+2?? x=26(-r??)+3x?+20, soitx≡3x?+20 [26] d.R correspond àx?=17, donc 3x?+20=51+20=71 et

71=26×2+19, soit 71≡19 [26].

On a doncx=19 qui correspond à la lettre T.

2.J correspond àx=9 et D correspond àx?=3. de plusq=2; on a donc :

3=9p+2 [26]??9p≡1 [26] ou encore 27p≡3 [26], mais on sait que 27≡1 [26]; il en résulte

quep≡3 [26] et commepest compris entre 0 et 25, on a doncp=3.

3.B correspond àx=1, d"oùx?=13x+2≡15 [26] et 15 correspond à la lettre P.

D correspond àx=3, d"oùx?=13x+2≡41 [26] et 41≡15 [26] et 15 correspond à la lettre P.

Conclusion : deux lettres différentes sont codées par la même lettre. Ce codagen"est pas bonpuisque

le décryptage donnera plusieurs solutions.

22 juin 20156Antilles-Guyane

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

0 1 2 3 4 5 6 7012345

ANNEXE 1 de l"exercice 1

Γ0,05Γ

0,1Γ0,19

0,4

Ã?RENDRE AVECLA COPIE

22 juin 20157Antilles-Guyane

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

À RENDRE AVECLA COPIE

ANNEXE 2 de l"exercice 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000,10,20,30,40,50,60,70,80,9

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0 100,10,20,30,40,50,60,70,80,9

xy

22 juin 20158Antilles-Guyane

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