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Fonction Inverse

Table des matières

1 aspect numérique et algébrique2

1.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .2

1.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .2

1.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .4

1.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .5

2 variations6

2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .6

2.1.1 activité 1 : aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .6

2.1.2 activité 2 : aspect algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .6

2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .9

2.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .10

3 signe11

3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .11

3.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .11

3.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .13

3.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .14

4 équations15

4.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .15

4.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .15

4.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .18

4.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .19

5 inéquations20

5.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .20

5.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .20

5.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .23

5.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .24

6 tout en un25

6.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .26

6.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .26

6.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .28

6.1.3 corrigé activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .30

6.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .32

6.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .34

6.4 corrigé exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .36

6.5 devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .39

6.6 corrigé devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .40

6.7 évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .42

1 aspect numérique et algébrique1.1 activité1.1.1 activité 1

1. quelle sera la part de chaque personne si on partage un kilod"or entre

(a) 2 personnes? (b) 3 personnes? (c) 100 personnes? (d)xpersonnes?

2. on dispose d"un litre d"eau, combien pourra t-on remplir de verres de :

(a) 0,5 litres? (b) 0,1 litres? (c) 0,01 litres? (d)xlitres?

3. quelle est la fréquence d"un phénomène de période :

(a) 2 secondes? (b) 0,5 secondes? (c) 10 secondes? (d) 0,1 secondes? (e)xsecondes?

4.(a) simplifier si possible, les inverses des nombres suivants :-3000; ;-0,001;1

7;-45;-⎷7;0

puis vérifier à la calculatrice corrigé activité 1

1. quelle sera la part de chaque personne si on partage un kilod"or entre

(a) 2 personnes? :? 1

2= 0,5kg

(b) 3 personnes? : 1

3?0,33kg

100= 0,01kg

(d)xpersonnes? :? 1 xkg

2. on dispose d"un litre d"eau, combien pourra t-on remplir de verres de :

(a) 0,5 litres? :? 1

0,5= 2verres

(b) 0,1 litres? : 1

0,1= 10verres

0,01= 100verres

(d)xlitres? :? 1 xverres

3. quelle est la fréquence d"un phénomène de période :

(a) 20 secondes? :? 1

20= 0,05Hz

(b) 0,05 secondes? : 1

0,05= 20Hz

0,00005= 20000Hz

(d) 20000 secondes? : 1

20000= 0,00005Hz

(e)xsecondes? :? 1 xHz 4.(a) 1 -3000=-13000?0,00033 1 -0,001=-1000 1 1 7= 7 1 -45=-5 4 1 -⎷7=-1⎷7×⎷

7⎷7=-⎷

7 7 1

0n"est pas défini

1.2 à retenir

définition 1 :(inverse d"un nombre) quel que soit le nombre réel non nulx?R?,yest l"inverse dex??xy= 1??y=1x(=x-1) exemples :0n"a pas d"inverse, l"inverse de2est12= 0,5l"inverse de0,5est10,5= 2 remarques : l"opposé de2est-2, à ne pas confondre avec l"inverse de2 propriété 1 :(propriétés algébriques) quel que soit le nombre réela?R?,? 1 -a=-1a????

1⎷a=⎷

a a? 1 1 a=a démonstration :(laissée en exercice)

1.3 exercices

exercice 1 : simplifier le plus possible les expressions suivantes i.A=1 a+1b-a+bab ii.B= (1 a)2-1b2-(b-a)(b+a)a2b2 iii.C=1 1 a+ 1 1 b-(a+b) iv.D=1 ⎷a×a-⎷a

2 variations2.1 activité2.1.1 activité 1 : aspect graphique

1. compléter le tableau de valeur de la fonction inverse ci dessous et compléter la courbe :

1 x

123456789

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -101 2 3 4-1-2-3-4-5xy

Odomaine de définition :Df=...

0est ...

2. tableau de variations de la fonction inverse :

valeur dex-∞+∞ variations def(x) =1x

3. la courbe de la fonction inverse semble avoir

pour centre de symétrie le point ... cette courbe est une ...

4. extremums sur]- ∞; +∞[:

sur]- ∞;+∞[, le minimum de la fonction inverse est...il est atteint pour... sur]- ∞;+∞[, le maximum de la fonction inverse est...il est atteint pour

2.1.2 activité 2 : aspect algébrique

1. on souhaite démontrer que la fonction inverse est strictement décroissante sur]0; +∞[

(semble être vrai au vu du graphique mais ce n"est qu"une "conjecture")pour cela il suffit de montrer que la proposition suivante est vraie : (P1): quels que soient les réelsa?Retb?R,0< a < b=?f(a)> f(b) pour cela : soienta?Retb?Ravec0< a 0etab >0 iii. en déduire quef(a)> f(b) iv. conclure

2. on souhaite démontrer que la fonction inverse est strictement décroissante sur]- ∞; 0[

procéder de même que ci dessus

3. en déduire le tableau de variations de la fonction inversesurR?

corrigé activitéscorrigé activité 1 : aspect graphique

1. compléter le tableau de valeur de la fonction inverse ci dessous et compléter la courbe :

1 x-0,1-0,2-0,5-1-2-4-5-0||1054210,50,20,1

123456789

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -101 2 3 4-1-2-3-4-5xhyperbole y O? ???Df=]- ∞; 0 [?] 0 ; +∞[

0est la valeur interdite

2. tableau de variations de la fonction inverse :

valeur dex-∞0+∞ variations0 ||+∞ de?||? f(x) =1x-∞|| 0

3. la courbe de la fonction inverse admet pour

centre de symétrie le point O cette courbe est une? ???hyperbole .

4. extremums sur]- ∞; +∞[:

sur]- ∞;+∞[, le minimum de la fonction inverse est inexistant, il n"est atteint pour aucune valeur dex sur]-∞;+∞[, le maximum de la fonction inverse est inexistant, il n"est atteint pour aucune valeur dex corrigé activité 2 : aspect algébrique

1. on souhaite démontrer que la fonction inverse est strictement décroissante sur]0; +∞[

(semble être vrai au vu du graphique mais ce n"est qu"une "conjecture")pour cela il suffit de montrer que la proposition suivante est vraie : (P1): quels que soient les réelsa?Retb?R,0< a < b=?f(a)> f(b) pour cela : soienta?Retb?Ravec0< a 0 a >0etb >0doncab >0 iii. on en déduit que : b-a ab>0 f(a)-f(b)>0 f(a)> f(b) iv. conclusion : quels que soient les réelsa?Retb?R,0< a < b=?f(a)> f(b)

2. on souhaite démontrer que la fonction inverse est strictement décroissante sur]- ∞; 0[

pour cela il suffit de montrer que la proposition suivante est vraie : (P2): quels que soient les réelsa?Retb?R,a f(b) pour cela : soienta?Retb?Raveca 0 a <0etb <0doncab >0 iii. on en déduit que : b-a ab>0 f(a)-f(b)>0 f(a)> f(b) iv. conclusion : quels que soient les réelsa?Retb?R,a f(b)

3. d"où le tableau de variations de la fonction inverse surR?

valeur dex-∞0+∞ variations0 ||+∞ de?||? f(x) =1x-∞|| 0

2.2 à retenir

propriété 2 :(ordre et inverse) (1) quel que soient les nombres réelsa?Retb?R,? ?a 1b

0< a < b=?1

a>1b (2) le tableau de variations de la fonction inverse surR?est , valeur dex-∞0+∞ variations0 ||+∞ de?||? f(x) =1x-∞|| 0 x0yla fonction inverse est :?strictement décroissante sur]- ∞; 0[ strictement décroissante sur]0; +∞[ démonstration :(voir activité 2 ci dessus) remarque :

(a) deux nombres négatifs stricts sont rangés dans l"ordre contraire de leurs inverses respectifs

(b) deux nombres positifs stricts sont rangés dans le même ordre que leurs inverses respectifs exemples : (a) quel que soitx?R, six <-10alors1 x>-0,1 (b) quel que soitx?R, six >9alors1 x>19 (c) quel que soitx?R, si3< x <5alors1

3>1x>15

2.3 exercices

exercice 2 : compléter les propositions suivantes pour qu"elles soientvraies (a) quel que soitx?R, six >⎷

2alors1x...

(b) quel que soitx?R, six <-5alors1 x... (c) quel que soitx?R, si1

5< x <⎷3alors...1x...

exercice 3 : (a) un phénomène périodique a une périodettelle que0,01< t <0,02 en déduire un encadrement de la fréquencefdu phénomène en question (rappel :f=1 t) (b) même question sit?]0,015; 0,025[ exercice 4 : Soit la fonction définie parf(x) = 100-2x-5surR- {5} (a) démontrer par encadrements successifs les deux propositions suivantes : i. quels que soienta?Retb?R,a < b <5 =?f(a)< f(b) ii. quels que soienta?Retb?R,5< a < b=?f(a)< f(b) (b) en déduire le tableau de variations defsurR- {5}

3 signe3.1 activité3.1.1 activité 1

1. quel est le signe de

1 xsix >0?

2. quel est le signe de

1 xsix <0?

3. en déduire le tableau de signes de la fonction inverse.

4. étudier le signe des fonctions suivantes en fonction de lavaleur dex

(a)f(x) = 3 +1 xpourx >0 (b)f(x) =-2 +1 xpourx <0 (c)f(x) = 5 +5 xpourx >0 (d)f(x) =x-5 +3 xpourx <0 corrigé activité 1

1. six >0alors1

x>0

2. six <0alors1

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Fonction Inverse

Table des matières

1 aspect numérique et algébrique2

1.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .2

1.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .2

1.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .4

1.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .5

2 variations6

2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .6

2.1.1 activité 1 : aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .6

2.1.2 activité 2 : aspect algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .6

2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .9

2.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .10

3 signe11

3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .11

3.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .11

3.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .13

3.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .14

4 équations15

4.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .15

4.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .15

4.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .18

4.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .19

5 inéquations20

5.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .20

5.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .20

5.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .23

5.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .24

6 tout en un25

6.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .26

6.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .26

6.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .28

6.1.3 corrigé activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .30

6.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .32

6.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .34

6.4 corrigé exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .36

6.5 devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .39

6.6 corrigé devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .40

6.7 évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .42

1 aspect numérique et algébrique1.1 activité1.1.1 activité 1

1. quelle sera la part de chaque personne si on partage un kilod"or entre

2. on dispose d"un litre d"eau, combien pourra t-on remplir de verres de :

3. quelle est la fréquence d"un phénomène de période :

4.(a) simplifier si possible, les inverses des nombres suivants :-3000; ;-0,001;1

7;-45;-⎷7;0

1. quelle sera la part de chaque personne si on partage un kilod"or entre

2= 0,5kg

3?0,33kg

100= 0,01kg

2. on dispose d"un litre d"eau, combien pourra t-on remplir de verres de :

0,5= 2verres

0,1= 10verres

0,01= 100verres

3. quelle est la fréquence d"un phénomène de période :

20= 0,05Hz

0,05= 20Hz

0,00005= 20000Hz

20000= 0,00005Hz

7⎷7=-⎷

0n"est pas défini

1.2 à retenir

1⎷a=⎷

1.3 exercices

2 variations2.1 activité2.1.1 activité 1 : aspect graphique

1. compléter le tableau de valeur de la fonction inverse ci dessous et compléter la courbe :

123456789

Odomaine de définition :Df=...

0est ...

2. tableau de variations de la fonction inverse :

3. la courbe de la fonction inverse semble avoir

4. extremums sur]- ∞; +∞[:

2.1.2 activité 2 : aspect algébrique

1. on souhaite démontrer que la fonction inverse est strictement décroissante sur]0; +∞[

2. on souhaite démontrer que la fonction inverse est strictement décroissante sur]- ∞; 0[

3. en déduire le tableau de variations de la fonction inversesurR?