Probabilités générales PDF La fonction génératrice

LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES

LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES. Lois discrètes distribution loi de probabilité. E(X) var(X) fonction génératrice E(z. X. ) Bernoulli. P(X = 0) = q P(X = 1) = p q

Probabilités et Statistiques - Fonctions génératrices

De même la fonction génératrice caractérise la loi d'une variable aléatoire `a Pour d'autres lois discr`etes usuelles. Loi binomiale. Si X suit une loi ...

Fonctions génératrices

donc EX2 = λ2 + λ d'o`u VarX = EX2 − (EX)2 = λ2 + λ − λ2 = λ. – Fonction génératrice des probablités d'une v.a. de loi géométrique X ; G(α) : On a P{X = k}

Chapitre 6: Fonctions Génératrices et Fonctions Caractéristiques

Calculs des moments des lois usuelles : Nous avons déjà calculé l'espérance et la variance pour les lois : binomiale en utilisant sa fonction caractéristique.

Lois à densité usuelles 1. Variables à densité Définition Propriétés

b) Fonction génératrice des moments. MΓ(νλ)(x) = E(etX) = 1. (1 − λt)ν c) Simulation Excel de N(µ

Variables Aléatoires Discrètes

Fonction Génératrice d'une variable aléatoire discrete. La Fonction caractéristique d'une v.a.d. Fonctions caractéristiques des lois usuelles. Loi Géométrique.

1 Lois discrètes

fonction génératrice GX(t) = E[tX] = tx0 . K. D.GHORBANZADEH. Page 8. 8/25. Simulation des lois usuelles avec Matlab. 2 Lois continues. 2.1 Loi Uniforme sur l

P3 : Fonctions génératrices

II Fonctions génératrices des lois usuelles. II.1 Loi de Bernoulli I.3 Une fonction génératrice détermine la loi . . . . . . . . . . . . . . . 1. II ...

Variables aléatoires discrètes

Propriété 19 : Fonctions génératrices des lois usuelles. Si X suit la loi binomiale B(n p)

Fonctions génératrices des probabilités fonctions génératrices des

Les v.a.r. X et Y ont même loi ⇔ GX = GY. I.2.c) Illustration pour les lois usuelles. • Dans le cas où X ↩→ G (p) (avec p ∈ ]01[). L'expression de GX est

Fonctions génératrices

Fonction génératrice des probablités d'une v.a. de loi géométrique X ; G(?) : o`u l'égalité surmontée d'un bécarre ? impose la circonspection usuelle ...

LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES

LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES E(X) var(X) fonction génératrice E(z ... La somme de n v.a. indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre p suit ...

Cours et exercices corrigés en probabilités

2.2 Loi de probabilité d'une v.a. discrète . 2.9 Lois usuelles discrètes . ... 2.11 Fonction génératrice des moments d'une v.a. discrète .

Probabilités générales

La fonction génératrice des moments factoriels de X détermine la loi de X. On a de Table 5.1 – Fonctions caractéristiques de quelques lois usuelles.

Fonctions génératrices Fonctions caractéristiques

http://www.cmap.polytechnique.fr/~bansaye/CoursTD3.pdf

Lois à densité usuelles 1. Variables à densité Définition Propriétés

Lois à densité usuelles. 1. Variables à densité. On appelle densité de probabilité toute fonction f définie sur R c) Fonction génératrice des moments.

Chapitre 13 - Compléments sur les Variables Aléatoires Discrètes

une espérance. 13.1.2 Fonctions génératrices de lois usuelles. Variable aléatoire de loi ··· Fonction génératricet ? ··· Intervalle de définition.

Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

a) Montrer que Sn suit la loi binomiale de paramètres n et p par une preuve directe puis en utilisant des fonctions génératrices. 2.b) Calculer l'espérance et

mp* 14-15 : révisions pour lécrit - Probabilités

Recalculer fonctions génératrices et moments des lois usuelles : Bernoulli binomiale

Variables aléatoires discrètes

Propriété 6 : Fonction de répartition et loi 4 Rappel des lois finies usuelles ... Propriété 19 : Fonctions génératrices des lois usuelles.

Chapitre 6: Fonctions Génératrices et Fonctions Caractéristiques

>Chapitre 6: Fonctions Génératrices et Fonctions Caractéristiques https://sa4032805c7793782 jimcontent com/download/version/162 · Fichier PDF

Chapitre 4: Fonctions - Université de Tours

>Chapitre 4: Fonctions - Université de Tours

Série 1 Fonction génératrice fonction caractéristique et

>Série 1 Fonction génératrice fonction caractéristique et

Chapitre 4: Fonctions - Université de Tours

>Chapitre 4: Fonctions - Université de Tours

Lois de probabilité usuelles (rappels)

>Lois de probabilité usuelles (rappels)

Chapitre 4: Fonctions génératrices (notions) - Université de Tours

>Chapitre 4: Fonctions génératrices (notions) - Université de Tourswww lmpt univ-tours fr/~gallardo/coursProba1-4 pdf · Fichier PDF

Lois de probabilité usuelles (rappels) - ENS

>Lois de probabilité usuelles (rappels) - ENShttps://www di ens fr/~ccheval/Stats4/L2_Stats4_fiche_1 pdf · Fichier PDF

Fonctions g´en´eratrices Fonctions caract´eristiques Convolution

>Fonctions g´en´eratrices Fonctions caract´eristiques Convolutionwww cmap polytechnique fr/~bansaye/CoursTD3 pdf · Fichier PDF

Fonctions g´en´eratrices - unicefr

>Fonctions g´en´eratrices - unice frhttps://math unice fr/~diener/probas/FoncGene pdf · Fichier PDF

Lois de probabilité usuelles (rappels)

>Lois de probabilité usuelles (rappels)https://www ceremade dauphine fr/~bey/enseignement/2016_2017 · Fichier PDF

LOIS DE PROBABILITE USUELLES´ - Université de Poitiers

>LOIS DE PROBABILITE USUELLES´ - Université de Poitierswwwmathlabo univ-poitiers fr/ /downloads/enseignement/lois-us · Fichier PDF

Fonction génératrice des moments

>Fonction génératrice des momentshttps://sa4032805c7793782 jimcontent com/download/version/155 · Fichier PDF

Comment calculer la loi de probabilité d’une fonction génératrice?

X(1) = 1 < +?). La fonction génératrice caractérise parfaitement la loi de probabilité d’une v.a.. En e?et si X et Y sont deux v.a. Y (t) pour tout t < 1, l’unicité du développement d’une fonction en série entière montre que X et Y ont la même loi.

Comment calculer les fonctions génératrices des lois?

Calculer les fonctions génératrices des lois suivantes: 1.Loi de Bernoulli:PfX= 0g= 1 q,PfX= 1g= q, oùq2[0;1]. 2.Loi binomiale:PfX= kg= b n;q(k) = n k qk(1 q), pourk= 0;1;:::;n. 3.Loi de Poisson:PfX= kg= ?

Comment calculer la fonction génératrice?

Dé?nition 1.1 : On appelle fonction génératrice de X, la série en- tière (1) G. X(t) = X+? n=0. p. nt. n. (on notera que cette série converge au moins pour t < 1 puisque G. X(1) = 1 < +?). La fonction génératrice caractérise parfaitement la loi de probabilité d’une v.a..

Probabilités générales

Laurent RouvièreUniversité Rennes 2

Place du Recteur H. le Moal

CS 24307 - 35043 Rennes

Tel : 02 99 14 18 21

Mel : lauren t.rouviere@univ-rennes2.fr

Table des matières

1 Rappels et notations

1.1 L"espace(

;A;P). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2 Variable aléatoire

1.3 Intégration

1.4 Mesure définie par une densité

1.5 Espérance mathématique

2 Variables aléatoires absolument continues

2.1 Fonction de répartition, fonction de masse, fonction de densité

2.1.1 Fonction de répartition d"une v.a.r.

2.1.2 Fonction de masse et classification des v.a.r.

2.1.3 Loi absolument continue - densité de probabilité

2.2 Espérance - moments d"une v.a.r.

2.2.1 Définition

2.2.2 Inégalités faisant intervenir les moments

2.3 Médiane - quantiles d"une v.a.r.

2.4 Calcul de lois

2.4.1 Cas discret

2.4.2 Cas absolument continu

3 Vecteurs aléatoires

3.1 Généralités

3.2 Fonctions de répartition - densités

3.2.1 Fonctions de répartition

3.2.2 Cas discret

3.2.3 Cas absolument continu

3.3 Espérance - moments d"un vecteur aléatoire

3.3.1 Espérance

3.3.2 Variance - covariance

3.4 Corrélation

3.4.1 Le coefficient de corrélation linéaire

3.4.2 Interprétation hilbertienne

3.5 Variables (ou vecteurs) aléatoires indépendant(e)s

3.6 Calcul de loi

3.6.1 Cas discret

3.6.2 Cas absolument continue

35
1

2Table des matières4 Lois usuelles dansRn39

4.1 La loi multinomiale

4.2 Vecteurs gaussiens - loi multinormale

4.2.1 Rappels sur la loi normale dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

4.2.2 Définition - premières propriétés

4.2.3 Vecteurs gaussiens et loi du Chi-Deux

5 Fonctions génératrices, fonctions caractéristiques

5.1 Fonction génératrice des moments factoriels

5.2 Fonction génératrice des moments

5.3 Fonction caractéristique

5.3.1 Cas d"une variable aléatoire réelle

5.3.2 Cas d"un vecteur aléatoire

6 Conditionnement, espérance et variance conditionnelles

6.1 Rappels de calcul de probabilités conditionnelles

6.2 Cas discret

6.3 Cas absolument continue

6.4 Interprétation géométrique de l"espérance conditionnelle

6.5 Espérance conditionnelle : le cas général

6.6 Probabilités conditionnelles

6.7 Généralisation au conditionnement pas des sous-tribus

7 Convergences de suites de variables aléatoires

7.1 Les différents types de convergence

7.1.1 Convergence presque sûre ou convergence forte

7.1.2 La convergence en probabilité

7.1.3 La convergence en moyenne d"ordrep >0. . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

7.1.4 La convergence en loi

7.2 La loi des grand nombres

7.2.1 Lois faibles des grands nombres

7.2.2 Lois fortes des grands nombres

7.3 Le théorème central limite

A Rappels de cours sur la loi normale

A.1 Loi normale centrée réduite

69
A.2 La loi normaleN(;2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1

A.3 Somme et moyenne de lois normales

B Lois usuelles dansR73

B.1 Lois discrètes

B.2 Lois absolument continues

C Annales79

Partiel décembre 2009

Examen janvier 2010

Partiel décembre 2010

Examen janvier 2011

95 Laurent Rouvière Probabilités générales

Table des matières3Partiel décembre 2011. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Examen janvier 2012

107

Partiel décembre 2012

115

Examen janvier 2013

120

Partiel décembre 2013

128

Examen janvier 2014

133

Examen janvier 2015

139
Bibliographie146Probabilités générales Laurent Rouvière

4Table des matièresLaurent Rouvière Probabilités générales

Chapitre 1

Rappels et notations

1.1 L"espace(

;A;P)

On désigne par

l"ensemble des épreuves ou évènements élémentaires!et parAune tribu sur , c"est-à-dire une classe de parties de qui vérifie : 2 A; -8A2 A;A2 A(stabilité par complémentation); -8An2 A;n2N?;S n2N?An2 A(stabilité par union dénombrable).

L"ensemble des parties de

,P( ), est un exemple de tribu sur . Une élémentAd"une tribu

Asera appeléévènement aléatoire(un évènement aléatoire est un élément de la tribu mais c"est

un sous-ensemble de ). Un couple( ;A)où est un ensemble etAune tribu sur est appelé espace mesurable.

Définition 1.1

SoitCune partie de

. La tribu engendrée parCest la plus petite tribu contenantC. Cette tribu

peut également être définie comme l"intersection de toutes les tribus contenantC. On la note(C).

Définition 1.2

On appelle tribu borélienne deR, notéeBR, la plus petite tribu contenant tous les intervalles deR.

Cette tribu est la tribu engendrée par les intervalles ouverts deR.

Définition 1.3

On app ellemesur esur (

;A)toute application définie surAà valeurs dansR+=R+[

f+1gvérifiant la propriété de-additivité, c"est-à-dire que pour toute suite(An)n2N?d"élé-

ments deAdeux à deux disjoints : n2N?A n! =X n2N?(An): 2.

L"esp ace(

;A;)est alors appelé espace mesurable. 3.

Si on a de plus (

) = 1alors on dira queest une mesure de probabilité et que l"espace ;A;)est un espace de probabilité.

Exemple 1.1

1.Mesure de comptage. Elle est définie sur l"espace(N;P(N))par

c=X x2N x oùxest la masse de Dirac enx:x(a) = 1sia=x, 0 sinon. 5

6Chapitre 1. Rappels et notations2.Mesure de Lebesgue. Elle est définie sur l"espace(R;BR)pour tout intervalle]a;b]par

(]a;b]) =ba:

1.2 Variable aléatoire

Nous reprenons l"exemple de

Mon tfort

1996
), page 30. L"expérience aléatoire consiste à jetern fois une pièce de monnaie. L"espace =fP;Fgnest muni de la tribuP( ). On s"intéresse ici simplement au nombre de piles sortis au cours desnjets. On définit

0=f0;1;:::;nget on

considère la fonction X: 0 !7!X(w) =nombre de piles dans!:

On munit(

;P( ))d"une mesure de probabilité uniformeP,i.e.,P(!) =12 n8!2 . Afin de

caractériser le phénomène d"intérêt (nombre de piles), il parait intéressant de définir sur(

0;P( 0)) une mesure de probabilitéP0par

8A2 P(

0);P0(A0) =PX1(A0):

Cependant, pour que cette définition ait un sens il est nécessaire queX1(A0)2 P( ). C"est

clairement le cas dans cet exemple mais il est possible d"envisager des cas où cette condition n"est

pas vérifiée.

Définition 1.4

Soit( ;A)un espace de probabilité et(

0;A0)un espace mesurable. On appelle variable aléatoire

une fonctionXdéfinie surquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

[PDF] fonction génératrice des moments exercices corrigés

[PDF] fonction grep r

[PDF] fonction image antécédent exercice 3eme

[PDF] fonction image et antécédent 3eme

[PDF] fonction infirmière

[PDF] fonction injective surjective bijective exercice corrigé pdf

[PDF] fonction inverse loi normale

[PDF] fonction javascript formulaire

[PDF] fonction javascript onclick

[PDF] fonction javascript pdf

[PDF] fonction javascript return

[PDF] fonction kmeans

[PDF] fonction lapply r

[PDF] fonction latente des partis politiques

[PDF] fonction lda r

[PDF] Probabilités générales La fonction génératrice

Comment calculer la loi de probabilité d’une fonction génératrice?

Comment calculer les fonctions génératrices des lois?

Comment calculer la fonction génératrice?

Probabilités générales

Laurent RouvièreUniversité Rennes 2

Place du Recteur H. le Moal

CS 24307 - 35043 Rennes

Tel : 02 99 14 18 21

Table des matières

1 Rappels et notations

1.1 L"espace(

1.2 Variable aléatoire

1.3 Intégration

1.4 Mesure définie par une densité

1.5 Espérance mathématique

2 Variables aléatoires absolument continues

2.1 Fonction de répartition, fonction de masse, fonction de densité

2.1.1 Fonction de répartition d"une v.a.r.

2.1.2 Fonction de masse et classification des v.a.r.

2.1.3 Loi absolument continue - densité de probabilité

2.2 Espérance - moments d"une v.a.r.

2.2.1 Définition

2.2.2 Inégalités faisant intervenir les moments

2.3 Médiane - quantiles d"une v.a.r.

2.4 Calcul de lois

2.4.1 Cas discret

2.4.2 Cas absolument continu

3 Vecteurs aléatoires

3.1 Généralités

3.2 Fonctions de répartition - densités

3.2.1 Fonctions de répartition

3.2.2 Cas discret

3.2.3 Cas absolument continu

3.3 Espérance - moments d"un vecteur aléatoire

3.3.1 Espérance

3.3.2 Variance - covariance

3.4 Corrélation

3.4.1 Le coefficient de corrélation linéaire

3.4.2 Interprétation hilbertienne

3.5 Variables (ou vecteurs) aléatoires indépendant(e)s

3.6 Calcul de loi

3.6.1 Cas discret

3.6.2 Cas absolument continue

2Table des matières4 Lois usuelles dansRn39

4.1 La loi multinomiale

4.2 Vecteurs gaussiens - loi multinormale

4.2.1 Rappels sur la loi normale dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

4.2.2 Définition - premières propriétés

4.2.3 Vecteurs gaussiens et loi du Chi-Deux

5 Fonctions génératrices, fonctions caractéristiques

5.1 Fonction génératrice des moments factoriels

5.2 Fonction génératrice des moments

5.3 Fonction caractéristique

5.3.1 Cas d"une variable aléatoire réelle

5.3.2 Cas d"un vecteur aléatoire

6 Conditionnement, espérance et variance conditionnelles

6.1 Rappels de calcul de probabilités conditionnelles

6.2 Cas discret

6.3 Cas absolument continue

6.4 Interprétation géométrique de l"espérance conditionnelle

6.5 Espérance conditionnelle : le cas général

6.6 Probabilités conditionnelles

6.7 Généralisation au conditionnement pas des sous-tribus

7 Convergences de suites de variables aléatoires

7.1 Les différents types de convergence

7.1.1 Convergence presque sûre ou convergence forte

7.1.2 La convergence en probabilité

7.1.3 La convergence en moyenne d"ordrep >0. . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

7.1.4 La convergence en loi

7.2 La loi des grand nombres

7.2.1 Lois faibles des grands nombres

7.2.2 Lois fortes des grands nombres

7.3 Le théorème central limite

A Rappels de cours sur la loi normale

A.1 Loi normale centrée réduite

A.3 Somme et moyenne de lois normales

B Lois usuelles dansR73

B.1 Lois discrètes

B.2 Lois absolument continues