TD 7 - Analyse : spline cubique dinterpolation
On construit la fonction spline cubique d'interpolation Spline
Méthode générale de construction de fonctions spline
— Dans cet article nous proposons une méthode pour obtenir à la fois analytique ment et numériquement les fonctions spline d'interpolation généralisées.
Chapitre II Interpolation et Approximation
Inutile de dire que cette base serait tr`es mal conditionnée. Idée des B-splines. Il vaut donc mieux de prendre les différences de ces fonctions. Et puisque les.
Interpolation et Approximation par des B-splines
9 févr. 2004 Par exemple (Runge 1901) lorsqu'on interpole la fonction x ↦→ 1/1 + 25x2 en des points uniformément répartis sur l'intervalle [−1
Sur lerreur dinterpolation des fonctions de plusieurs variables par
La Dm-spline d'interpolation ƒ^ de/sur A est par défmitiori la solution unique si A contient un sous-ensemble P^i-unisolvent
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Rapport professionnel
fonctions cardinales pour une interpolation de degré 4 et le ... Comparez les méthodes des splines linéaires splines cubiques
Interpolation
Interpolation par fonctions splines. (Sec. 3.3 du livre). Soient a = x0 < x1 On appelle spline cubique interpolant f une fonction s3 qui satisfait. 1. s3 ...
TP 3 – Interpolation spline
Fonctions splines. Définition 1. Une spline est une fonction polynomiale définie par morceaux. On peut mesurer la régularité d'une fonction par le biais de ses
Interpolation et Approximation par des B-splines
9 févr. 2004 Pour le polynôme d'interpolation de Lagrange l'estimation d'erreur classique est la suivante. Théor`eme 2 Soit f une fonction de classe CN+1 ...
Chapitre II Interpolation et Approximation
Probl`eme de l'interpolation : on recherche des fonctions “simples” (polynômes polynômes par H. Späth (1995): One Dimensional Spline Interpolation.
Sur lerreur dinterpolation des fonctions de plusieurs variables par
Sur l'erreur d'interpolation des fonctions de plusieurs variables par les Dm-splines. RAIRO. Analyse numérique tome 12
Méthode générale de construction de fonctions spline
analytique ment et numériquement les fonctions spline d'interpolation généralisées. Deux exemples d'application sont traités complètement : les fonctions
Cours 11 : Interpolation
Interpolation par splines. – polynômes par morceaux. • Interpolation d'Hermite. – informations sur les dérivées de la fonction à approcher.
Sur lerreur dinterpolation des fonctions de plusieurs variables par
Sur l'erreur d'interpolation des fonctions de plusieurs variables par les Dm-splines. RAIRO – Analyse numérique tome 12
Estimateurs splines
Optimalité des splines d'interpolation et de lissage. Théorie variationnelle des fonctions splines. Splines de moindres carrés en régression.
PHILIPPE BESSE - Approximation spline de lanalyse en
fonctionnel abstrait des fonctions splines d'interpolation ou d'ajustement. . La description statistique de divers types de processus est alors obtenue en.
Analyse numérique : Approximation de fonctions
29 janv. 2013 3 Interpolation polynômiale. Théorie. Forme lagrangienne. Phénomène de Runge. Splines. Analyse numérique (Pagora 1A).
ULCO 2019 - 2020
M1 Reherche IMAO
TP 3 { Interpolation spline
Dans bon nombre d'applications, il est imperatif d'obtenir des courbes tres lisses et regulieres passant par un grand nombre de points. C'est le cas en conception assistee par ordinateur (CAO), ou l'on cherche a representer des objets aux formes lisses. L'utilisation de polyn^omes de degre eleve est delicate et mene parfois a des oscillations de grande amplitude : c'est le phenomene de Runge. Les polyn^omes de degre eleve sont alors peu adequats. Figure 1.En rouge, la courbe a interpoler, en bleu un polyn^ome interpo- lateur de degre 5 et en vert un de degre 9. L'approximation est de plus en plus mauvaise. Le probleme, lorsque l'on utilise des polyn^omes de faible degre, provient du fait qu'il faut en utiliser plusieurs pour relier tous les points.1.Fonctions splines
Denition 1.Une spline est une fonction polynomiale denie par morceaux. On peut mesurer la regularite d'une fonction par le biais de ses derivees. En eet, plus une fonction est derivable, plus la courbe qui lui est associee est lisse et reguliere. Denition 2.SoientI= [a;b] un intervalle deReta=x1< x2< ::: < xn=bdes elements deIetP1(x1;y1);:::;P2(x2;y2) des points du plan. On notePl'ensemble des pointsPi. La courbeS:I!Rest une spline d'interpolation dePde degreksiSest de classeCk1surI;
la restriction deSa chaque intervalle [xi;xi+1] est un polyn^ome de degrekpour i= 1;:::;n1.S(xi) =yipouri= 1;:::;n.
Les pointsPisont appeles points de contr^ole deS.
2 Pour denir une splineSde degrekil nous faut doncnpoints etn1 polyn^omesqi de degrek. La spline est alors denie de la maniere suivante:S(x) =qi(x) =k+1X
j=1a i;j(xxi)j1pourx2[xi;xi+1] aveci2 f1;:::;n1g Une spline d'interpolationSde degrekpassant parnpoints est alors la donnee d'une matriceMS= (ai;j)2Mn1;k+1(R) et d'un vecteurXS= (xi)2Rn. La fonction spline la plus simple est la spline lineaire qui est de degre 1. La courbe de la spline d'interpolation lineaire des pointsP1;:::;Pn1est obtenue en reliant les pointsPi etPi+1pouri= 1;:::;n2. Malgres que les splines quadratiques existes elles ne sont pas utilisees (ou peu). Nous nous interesserons donc essentiellement aux splines cubiques. Exercice 1.On considere les pointsP1(0;1);P2(1;3);P3(2;2) etP4(3;3) et on noteP leur ensemble. a.Donner le vecteurXet la matriceM1de la spline lineaire d'interpolation deP. b.Ecrire une fonctionpolynome(M,X,i,k)qui retourne le polyn^omeqi(x) de la spline de degrekrepresentee parMetX. c.Ecrire une fonctionpolynomes(M,X)qui retourne la liste des polyn^ome q1(x);:::;qn1(x) de la spline donnee parMetX. On obtiendra les valeurs den
etka l'aide deMet de la commandematrixsize. d.Comment retrouve t-on les points de contr^oles d'une splineSa partir de la donnee deMSetXS? e.Ecrire une fonctionaffichespline(X,M)achant la spline donnee parXetM.On fera appara^tre les points de contr^oles deS.
f.Acher la splineSobtenue aua. g.Combien d'equations et d'inconnues denissent une spline de degre 2 passant pas npoints ? h.Acher la spline quadratiqueSdonnee parXet M 2=241 0 2
3 45 26 735 correspondant a la conditionq01(x1) = 0. i.Acher la spline quadratiqueSdonnee parXet M 3=2 41 31
3 12 23 43
5 correspondant a la conditionq01(x1) = 3. j.Acher la spline quadratiqueSdonnee parXet M 4=2 41 75
33 2
2 1 03
5 correspondant a la conditionq01(x1) = 7. k.A la vue des exemples precedents, expliquer pourquoi les splines quadratiques sont peux utilisees. 32.Splines cubiques
Une spline cubiqueS: [a;b]!Rd'interpolation des pointsP=fP1(x1;y1);:::;Pn(xn;yn)g aveca=x1< x2< ::: < xn=b. est denie par morceaux a l'aide de polyn^omesqide degres trois sur les intervalles [xi;xi+1] pouri= 1;:::;n1 et veriant q i(xi) =yipouri= 1;:::;n1 (1) q i(xi+1) =yi+1pouri= 1;:::;n1 (2) q0i(xi+1) =q0i+1(xi+1) pouri= 1;:::;n2 (3)
q00i(xi+1) =q00i(xi+1) pouri= 1;:::;n2 (4)
Pour simplier les notations, on poseqi(x) =ai(xxi)3+bi(xxi)2+ci(xxi) +di pouri= 1;:::;n1, c'est-a-dire,ai=ai;4;bi=ai;3;ci=ai;2etdi=ai;1.Exercice 2.
a.Combien de parametres denissentS? Combien a t-on d'equations ? b.Traduire les equations (1) { (4) en des equations lineaires en lesai;bi;cietdi. On pourra utiliserhi=xi+1xipouri= 1;:::;n1. Les conditions manquantes feront intervenir les valeursS0(x1);S00(x1);S0(xn) etS00(xn). Si on xe les valeurs deS0(x1) etS00(x1) (ouS0(xn) etS00(xn)) alors la spline se calcule facilement mais ce ne sont pas ces splines qui sont utilisees en pratique. On prefere les splines cubiques denies avec des condition ena=x1et enb=xn. La resolution du systeme introduit a l'exercice2est alors plus delicat. On commence par supprimer un maximum d'inconnue en posantmi=S00(xi) pour i= 1;:::;n.Exercice 3.
a.Calculer les coecientsbien fonction desmiet deshi. b.Calculer les coecientsaien fonction desmiet deshi. c.Calculer les coecientscien fonction desmiet deshi. A ce stade on sait calculer les coecientsai;bi;cietdia partir deshi,mietyi. Leshi etyietant connues il nous reste a trouver lesmi. Exercice 4.Trouver une relation liantmi1,mietmi+1pouri= 2;::;n1. Une spline cubiqueSdenie sur [a;b] est ditenaturellesiS00(a) =S00(b) = 0. Cette condition imposem1=mn= 0.Exercice 5.
a.Ecrire sous forme matricielle le systeme d'equations lineaires que satisfait les co- ecientsmid'une spline cubique naturelle. b.Ecrire un ensemble de fonctionsMaximaqui a partir d'un ensemble de pointsP retourne le vecteurXet la matriceMcaracterisant la spline cubique naturelle d'interpolation des points deP. c.Tester vos fonctions.quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10[PDF] fond commun de placement entreprise
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