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NOTION DE FONCTION
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mesures des aires du triangle AOB et du secteur de disque de diamètre [BC] Le triangle ABC étant rectangle en B on calcule AC par le théorème de.
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Calcul vectoriel – Produit scalaire
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Comment calculer l'aire d'un triangle sans connaître sa hauteur ? Formule de Héron et loi des sinus Triangle quelconque rectangle isocèle ou équilatéral
Comment calculer l'aire d'un rectangle avec un inconnu ?
La formule de calcul de l'aire d'un rectangle est simple : S = L x l (S est la surface, L est la longueur et l, la largeur). Il suffit donc de multiplier la longueur par la largeur du rectangle.La formule pour calculer le périmètre d'un triangle rectangle en connaissant la longueur de chaque côté est simplement : périmètre du triangle rectangle = côté 1 + côté 2 + côté 3.
1BC² = 4² + 6²2BC² = 16 + 36.3BC² = 52.4BC = 7,21.
Exercice 1 :
Notations usuelles dans un triangle quelconque.
Dans un triangle nommé ABC ,
· le côté [BC] situé en face du sommet A a une longueur généralement appelée a (lettre minuscule associée à la lettre capitale caractérisant le sommet) · le côté [AC] situé en face du sommet B a une longueur généralement appelée b, · le côté [AB] situé en face du sommet C a une longueur généralement appelée c,· l"angle de sommet A s"appelle souvent
aaaa ( alpha : lettre grecque ),· l"angle de sommet B s"appelle souvent
bbbb ( bêta : lettre grecque ), · l"angle de sommet C s"appelle souvent gggg ( gamma : lettre grecque ), Considérons un triangle ABC dont les cotés [AB], [BC] et [CA] mesurent respectivement c , a et b ( voir ci-dessus).Soit H le pied de la hauteur issue de C.
Nous noterons
a l"angle CABˆ, b l"angle CBAˆ et g l"angle BCAˆ ( les angles seront supposés aigus à notre niveau )1. En utilisant le triangle AHC rectangle en H, montrer que :
CH = b sin
a2. En utilisant le triangle BHC rectangle en H, montrer que :
CH = a sin
b3. Montrer alors que :
ba sin b sin a=4. Soit K le pied de la hauteur issue de A. En reprenant la méthode précédente , montrer que :
gb sin c sin b=5. Conclure que :
gba sin c sin b sin a==THEME :
LOI des sinus dans un LOI des sinus dans un LOI des sinus dans un LOI des sinus dans un triangle triangletriangletrianglePropriété : Loi des sinus
Dans un triangle , en utilisant les notations usuelles, nous avons : gba sin c sin b sin a== ( ou c sin b sin a singba== )Exercice 2 :
Nous considérons le triangle précédent et nous conservons les mêmes notations.1. En utilisant le triangle AHC rectangle en H, montrer que :
CH = b sin
a2. En appelant S l"aire de ce triangle, montrer que :
S = 2 sin bca3. Prouver que sin
a = bc S 24. En déduire que
S 2 abc sin a=aPropriété : Loi des sinus + complément
Dans un triangle , en utilisant les notations usuelles ( S aire du triangle ) , nous avons :S 2abc sinc
sin b sina===gbaExercice 3 :
Pour mesurer la hauteur d"une tour, on effectue sur le terrain les mesures indiquées sur la figure
suivante :Calculez cette hauteur à 0,1 m près.
Méthode 1 : ( niveau Troisième )
Pour faciliter l"écriture, nous noterons :
TI = x et BI = y
Dans le triangle BIT rectangle en I , nous
avons : tanIBTˆ = y
x BITI= soit tan 48° = y x ( 1 )Dans le triangle AIT rectangle en I , nous
avons : tanIATˆ = 60 y
x AITI soit tan 27° = 60 y x + ( 2 )Nous sommes en présence de deux équations en x et y. Différentes manières permettent de déterminer
les valeurs de x et de y ( résolution d"un système, ... )Nous pouvons également procéder comme suit ( méthode par comparaison - cf. cours sur les systèmes
d"équations ) Exprimons, dans la première équation, y en fonction de x. tan 48° = y x y tan 48° = x48 tan
x y= ( 1" ) Exprimons, dans la seconde équation, y en fonction de x. tan 27° = 60 yx ( y + 60 ) tan 27 = x y tan 27 + 60 tan 27 = x y tan 27 = x - 60 tan 27
27 tan
27 tan 60 - x y= ( 2" )
Des deux équations (1") et (2") , nous obtenons :27 tan
27 tan 60 - x 48 tan
x= soit x tan 27 = ( x - 60 tan 27 ) tan 48 x tan 27 = x tan 48 - 60 tan 27 tan 4860 tan 27 tan 48 = x tan 48 - x tan 27
60 tan 27 tan 48 = x ( tan 48 - tan 27 )
27 tan- 48 tan
48 tan27 tan 60 = x x = 27 tan- 48 tan
48 tan27 tan 60 ≈ 56,5 ( m )
TI ≈ 56,5 ( m ) . Il suffit de rajouter 1,5 m pour avoir la hauteur totale de la tour , soit 58,0 m
Autre méthode :
? Calcul de l"angle TBAˆ : Les deux angles TBAˆet IBTˆ sont supplémentaires. DoncTBAˆ = 180 - IBTˆ = 180 - 48 = 132
? Calcul de l"angle BTAˆ :Dans le triangle ATB, nous avons :
BTAˆ = 180 - (BATˆ + TBAˆ) = 180 - ( 27 + 132 ) = 180 - 159 = 21 Appliquons la loi des sinus citée ci-dessus . Nous avons :TAB sin
BTTBA sin
ATBTA sin
AB Soit27 sin
BT 132 sin
AT 21 sin
60== ( le deuxième rapport est, à notre niveau, inconnu. Nous ne
l"utiliserons pas. ) ? Calcul de BT :Nous avons :
27 sin
BT 21 sin
60= soit BT 21 sin
27 sin 60=
? Calcul de TI : Dans le triangle BIT rectangle en I , nous avons : sinIBTˆ = BT
TI sin 48 =21 sin
27 sin 60
TI21 sin
27 sin 60sin48 = TI
soit enfin TI =21 sin
27 sin sin48 60 ≈ 56,5 ( m )
TI ≈ 56,5 ( m ) . Il suffit de rajouter 1,5 m pour avoir la hauteur totale de la tour , soit 58,0 m
Exercice 4 :
Déterminer la distance qui sépare le phare P et la bouée B à l"aide des indications mentionnées sur le
dessin.Remarque :
Cette méthode permet d"obtenir la " distance » nous séparant des étoiles les plus proches. Un type de
mesures est de déterminer les deux angles a et b . Ces deux angles permettent alors de connaître toutes les données du triangle. La précision des mesures des angles a et b est très importante.1250 m
Remarque :
Durant la période 1670 - 1745, à la demande du roi, des scientifiques français ( Picard, Cassini père et
fils ) entreprirent de réaliser des cartes du royaume.LOUIS XIV
Roi de France 1643 - 1715
LOUIS XV
Roi de France 1715 - 1774
Parallaxe annuelle : L"objet dont on veut mesurer la distance est observé deux fois à six mois d"intervalle. Grâce à la configuration des étoiles en arrière plan, on peut calculer les anglesEBAˆ et EABˆ, puis en déduire la
" parallaxe » q ( angle nommé thêta ) Pour mesurer les différentes distances, malgré les obstacles pratiquement insurmontables, lesscientifiques utilisèrent une triangulation de la France à partir d"objets particuliers ( Moulin , clocher,
tour , ... ). Schéma de la triangulation effectuée par PicardJean Picard 1620 - 1682
Les cartes de Cassini peuvent être obtenues à partir du site http://www.cartocassini.org/Les cartes proviennent du
site de la Bibliothèque Nationale de France http://www.bnf.fr - Gallica "C"est une chose qui me paraît toujours admirable, qu"on ait découvert de si sublimes vérités avec l"aide d"un quart de cercle et d"un peu d"arithmétique."Remarque :
Au XVIIIème siècle, une triangulation de l"Inde britannique fut entrepris. Les théodolites ( appareils
servant à mesurer les angles ) étaient très grands et pesaient environ une demi-tonne ( 12 hommes
étaient nécessaires pour les transporter ).
Les sommets, bien que connus, étaient peu visibles dans la vallée en raison des nuages. Des mesures
furent effectuées, parfois sans réelle visibilité et les résultats furent envoyés à une équipe de
calculateurs dirigée par Radhanath Sikdar, mathématicien et topographe indien du Bengale. Ses travaux
lui permirent d"identifier le plus haut sommet du monde, Peak XV ( crête XV ). Le gouverneur général de l"Inde britannique, Andrew Waugh baptisa ce sommet du nom de son prédécesseur Sir George Everest (1790-1866). Son altitude était alors estimée à 29 002 pieds (soit 8839,20 mètres), Le pied est une unité de longueur d"approximativement 30 centimètres, correspondant à la longueur d"un grand pied humain d"une pointure 45 environ. Le pied (en anglais : foot (singulier), feet (pluriel) - symbole: ft ) mesure environ 0,3048Une mesure GPS effectuée en mai 1999 par des alpinistes américains et acceptée par la National
Geographic Society porte la hauteur de l"Everest à 8849,87 mètres.Une mesure effectuée par des scientifiques chinois et publiée en octobre 2005 donne 8844,43 ± 0,21
mètres, c"est à dire 3,7 m de moins par rapport aux mesures effectuées en 1975Correction exercice 1 :
1. Calcul de CH :
Dans le triangle AHC rectangle en H, nous avons :
ACCH HAC sin=ˆ
bCH sin=a
b sin a = CH d"où : CH = b sin a2. Autre calcul de CH :
Dans le triangle BHC rectangle en H, nous avons :
BCCH HBC sin=ˆ
aCH sin=b
a sin b = CH d"où : CH = a sin b3. Première conclusion :
Des deux premières questions, nous avons :
CH = b sin a et CH = a sin b
Donc a sin b = b sin a
Et par suite ( " produit en croix » )
ba sin b sin a=4. Soit K le pied de la hauteur issue de A. En considérant les deux triangles CAK et BAK, nous obtenons,
comme précédemment :AK = b sin
g et AK = c sin bEt par suite : gb sin
c sin b=5. Conclusion :
ba sin b sin a= et gb sin c sin b= donc gba sin c sin b sin a==Correction de l"exercice 2 :
Avec les mêmes notations que dans l"exercice 1
1. Calcul de CH :
Cf. la question 1 de l"exercice précédent .
CH = b sin
a2. Calcul de l"aire S du triangle ABC :
L"aire du triangle ABC est égale à :
2CH AB S´= = 2
sin b ca´Donc : S =
2 sin bca3. Calcul de sin
a : Nous avons successivement, à partir de l"égalité précédente : a sin c b 2S= a sin c b 2S= sin a = bc S 24. Conclusion
S2 c b a S 2bc a c b 2S a sina =´==a donc S 2 abc sin a=aConclusion : gba sin
c sin b sinquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] comment calculer le perimetre d'un triangle avec 2 mesures
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