[PDF] De la vérité à la démonstration : le théorème de complétude de Gödel





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Les théorèmes dincomplétude de Gödel

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4 févr. 2009 Définition. L'arithmétique de Peano est l'ensemble (noté PA) des formules suivantes : A1 : ?x¬(Sx = 0). A2 : ?x?y((Sx = Sy) ? (x = y)).





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Théorème de Gödel : quand les mathématiques rencontrent théorèmes : les conséquences logiques des axiomes ne dépendent pas du fait qu'on trouve une.



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(PDF) Une preuve moderne du théorème dincomplétude de Gödel

23 jan 2018 · PDF On Oct 1 2016 Jérôme Fortier published Une preuve moderne du théorème d'incomplétude de Gödel Find read and cite all the research 

:

Demonstrations et modeles

Theoreme de completude

ComplementsDe la verite a la demonstration : le theoreme de completude de Godel

Guillaume Brunerie

Seminaire mathematique des eleves

du lycee Louis-le-Grand

4 fevrier 2009

Guillaume BrunerieLe theoreme de completude de Godel

Demonstrations et modeles

Theoreme de completude

ComplementsSommaire

1Demonstrations et modeles

Termes et formules

Demonstrabilite

Validite

2Theoreme de completude

Theoreme de correction

Theoreme de completude

3Complements

Arithmetique non standard

Extension a des systemes formels quelconques

Guillaume BrunerieLe theoreme de completude de Godel

Demonstrations et modeles

Theoreme de completude

ComplementsSommaire

1Demonstrations et modeles

Termes et formules

Demonstrabilite

Validite

2Theoreme de completude

Theoreme de correction

Theoreme de completude

3Complements

Arithmetique non standard

Extension a des systemes formels quelconques

Guillaume BrunerieLe theoreme de completude de Godel

Demonstrations et modeles

Theoreme de completude

ComplementsSommaire

1Demonstrations et modeles

Termes et formules

Demonstrabilite

Validite

2Theoreme de completude

Theoreme de correction

Theoreme de completude

3Complements

Arithmetique non standard

Extension a des systemes formels quelconques

Guillaume BrunerieLe theoreme de completude de Godel

Demonstrations et modeles

Theoreme de completude

ComplementsTermes et formules

Demonstrabilite

ValiditeSommaire

1Demonstrations et modeles

Termes et formules

Demonstrabilite

Validite

2Theoreme de completude

3Complements

Guillaume BrunerieLe theoreme de completude de Godel

Demonstrations et modeles

Theoreme de completude

ComplementsTermes et formules

Demonstrabilite

ValiditeTermes de l'arithmetique

C: ensemble dessymb olesde constantes , 02 C

V: ensemble dessymb olesde va riables(inni) Denition

L'ensemble des

termes sur Cest deni par :

T=C jV jST j(T+T)j(T T)Denition

Un terme qui ne contient pas de symbole de variable est appelle un terme clos Guillaume BrunerieLe theoreme de completude de Godel

Demonstrations et modeles

Theoreme de completude

ComplementsTermes et formules

Demonstrabilite

ValiditeExemples de termes

Exemples

Sic2 Cetx;y2 V,xSy+cn'est rien du tout(0 + (0Sc)) est un terme clos(((c+ Sy)S(Sx(SS0 + SSSx))) + 0) est un terme.Guillaume BrunerieLe theoreme de completude de Godel

Demonstrations et modeles

Theoreme de completude

ComplementsTermes et formules

Demonstrabilite

ValiditeFormules logiques

Denition

L'ensemble des

fo rmules est d enipa r: F=?j(T=T)j:F j(F _ F)j(F ^ F)j(F ! F)j9VF j8VFDenitions

Variables libres

: va riablesnon li eespa run quanticateur

Formule close

: fo rmulesans va riablelib re

Theorie

: ensemble de fo rmulescloses Guillaume BrunerieLe theoreme de completude de Godel

Demonstrations et modeles

Theoreme de completude

ComplementsTermes et formules

Demonstrabilite

ValiditeFormules logiques

Denition

L'ensemble des

fo rmules est d enipa r: F=?j(T=T)j:F j(F _ F)j(F ^ F)j(F ! F)j9VF j8VFDenitions

Variables libres

: va riablesnon li eespa run quanticateur

Formule close

: fo rmulesans va riablelib re

Theorie

: ensemble de fo rmulescloses Guillaume BrunerieLe theoreme de completude de Godel

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Theoreme de completude

ComplementsTermes et formules

Demonstrabilite

ValiditeFormules logiques

Denition

L'ensemble des

fo rmules est d enipa r: F=?j(T=T)j:F j(F _ F)j(F ^ F)j(F ! F)j9VF j8VFDenitions

Variables libres

: va riablesnon li eespa run quanticateur

Formule close

: fo rmulesans va riablelib re

Theorie

: ensemble de fo rmulescloses Guillaume BrunerieLe theoreme de completude de Godel

Demonstrations et modeles

Theoreme de completude

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Demonstrabilite

ValiditeFormules logiques

Denition

L'ensemble des

fo rmules est d enipa r: F=?j(T=T)j:F j(F _ F)j(F ^ F)j(F ! F)j9VF j8VFDenitions

Variables libres

: va riablesnon li eespa run quanticateur

Formule close

: fo rmulesans va riablelib re

Theorie

: ensemble de fo rmulescloses Guillaume BrunerieLe theoreme de completude de Godel

Demonstrations et modeles

Theoreme de completude

ComplementsTermes et formules

Demonstrabilite

ValiditeExemples de formules

Exemples

8x9n(x= Sn0) : rien du tout8x9y((x+y) = 0) : formule close9x(:(x=y)^ :(x= Sy)) : formule a une variable libre :yNotation

F(x) : formule a une variable librexF(t) : formule obtenue en substituanttaxdansF(x)Exemple F(x) :9y(x= (SS0y))F(SSS0) :9y(SSS0 = (SS0y))Guillaume BrunerieLe theoreme de completude de Godel

Demonstrations et modeles

Theoreme de completude

ComplementsTermes et formules

Demonstrabilite

ValiditeExemples de formules

Exemples

8x9n(x= Sn0) : rien du tout8x9y((x+y) = 0) : formule close9x(:(x=y)^ :(x= Sy)) : formule a une variable libre :yNotation

F(x) : formule a une variable librexF(t) : formule obtenue en substituanttaxdansF(x)Exemple F(x) :9y(x= (SS0y))F(SSS0) :9y(SSS0 = (SS0y))Guillaume BrunerieLe theoreme de completude de Godel

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Theoreme de completude

ComplementsTermes et formules

Demonstrabilite

ValiditeExemples de formules

Exemples

8x9n(x= Sn0) : rien du tout8x9y((x+y) = 0) : formule close9x(:(x=y)^ :(x= Sy)) : formule a une variable libre :yNotation

F(x) : formule a une variable librexF(t) : formule obtenue en substituanttaxdansF(x)Exemple F(x) :9y(x= (SS0y))F(SSS0) :9y(SSS0 = (SS0y))Guillaume BrunerieLe theoreme de completude de Godel

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Theoreme de completude

ComplementsTermes et formules

Demonstrabilite

ValiditeAxiomes de Peano

Denition

L' arithmetique de Peano est l'ensemble (not ePA) des formules suivantes :A

1:8x:(Sx= 0)A

2:8x8y((Sx= Sy)!(x=y))A

3:8x((x+ 0) =x)A

4:8x8y((x+ Sy) = S(x+y))A

5:8x((x0) = 0)A

6:8x8y((xSy) = ((xy) +x)))fArec(F)g: axiomes de recurrenceGuillaume BrunerieLe theoreme de completude de Godel

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Theoreme de completude

ComplementsTermes et formules

Demonstrabilite

ValiditeAxiomes de Peano

Denition

L' arithmetique de Peano est l'ensemble (not ePA) des formules suivantes :A

1:8x:(Sx= 0)A

2:8x8y((Sx= Sy)!(x=y))A

3:8x((x+ 0) =x)A

4:8x8y((x+ Sy) = S(x+y))A

5:8x((x0) = 0)A

6:8x8y((xSy) = ((xy) +x)))fArec(F)g: axiomes de recurrenceGuillaume BrunerieLe theoreme de completude de Godel

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Theoreme de completude

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Demonstrabilite

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