[PDF] Correction du baccalauréat S (obligatoire) Polynésie 10 juin 2011

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?Correction du baccalauréat S (obligatoire)

Polynésie?

10 juin 2011

Exercice 15 points

Commun à tous les candidats.

1.

Méthode 1 :

Le dessin suggère de considérer la rotation

de centre A et d"angle

2. Son écriture com-

plexe est :z?-zA=i(z-zA)??z?-2+5i= i (z-2+5i).

L"image B

?du point B dans cette rotation a donc pour affixe : z

B?-2+5i=i(7-3i-2+5i)??

z

B?=2-5i+5i-2=0.

L"image de B dans la rotation de centre A et

d"angle

2est le point O. Ceci démontre que

le triangle ABO est isocèle et rectangle en A. -2 -4 -62 4 6 ?O A B

Méthode 2 : OA

2=|zA|2=22+52=29;

AB

2=|zB-zA|2=|7-3i-2+5i|2=|5+2i|2=25+4=29;

OB

2=|zB|2=|7-3i|2=72+32=49+9=58.

D"une part AO

2=AB2??AO=AB??ABO est isocèle en A;

D"autre part 29+29=58??AO2+Ab2=OB2??ABO est rectangle en A d"après la réciproque du théorème de Pythagore.

Méthode 3 :

SoitZ=zO-zA

zB-zA=-2+5i5+2i=i(2i+5)2i+5=i.

On aZ=AO

AB=1, soit AO = AB;

De plus arg(Z)=?--→AB ,--→AO?

2ce qui montre que l"angle?BAO est droit. Le

triangle ABO est donc rectangle isocèle en A.

Méthode 4 :zO-zA

zB-zA=zO-zAzB-zA=i signifie que O est l"image de B dans la rotation de centre

A et d"angle

2.

2.Soient A et B les points d"affixes respectives i et-2i.

On a|z-i| = |z+2i| ??AM= BM??M?Δmédiatrice de [AB]. mais comme A et B appartiennent à l"axe des ordonnées, la médiatrice de [AB] (d"équationy=-1

2est parallèle à l"axe des abscisses. La proposition est vraie.

3.z=3+i?

3, donc|z|2=9+3=12=?2?3?2?|z|=2?3. On peut en facorisant

ce module écrire : z=2? 3? ?3

2+i12?

=2?3?cosπ6+isinπ6?=2?3eiπ6.

Donc, pourn?N,z3n=?

2?

3eiπ6?3n=?2?3?3nei3nπ6=?2?3?3neinπ2. Or einπ2

est égal à i,-1,-i ou 1 suivant les valeurs denet la puissance n"est donc un nombre imaginaire que pournimpair. La proposition est fausse.

Correctiondu baccalauréat SA. P.M. E. P.

4.Soitzun nombre complexe non nul d"argumentπ2. On peut donc écrirez=ρi

avecρréel positif non nul. Donc|i+z|=1+|z| ?? |i+ρi|=1+|ρi| ?? |i(1+ρ)|=1+|ρi| ??1+ρ=1+ρ qui est bien vraie.

La proposition 4 est vraie.

5.Soitzun nombre complexe non nul.

Si le module dezest égal à 1 alorszs"écritz=eiθ, avecθ?R.

Doncz2+1

2cos2θqui est un réel.

Exercice 25 points

Enseignementobligatoire

1.On a l"arbre pondéré suivant :

G 1 0,1G 2 0,8 G20,2

G10,9G

2 0,6 G20,4

2.On ap2=p(G1∩G2)+p?

G1∩G2?

=p(G1)×pG1(G2)+p?G1?

×p(G1)(G2)=

0,1×0,8+0,9×0,6=0,08+0,54=0,62.

3.Il faut trouverpG2?

G1? =p?

G1∩G2?

p(G2)=0,540,62=2731.

4.La probabilité que le joueur ne gagne aucune des trois parties est égale à 0,9×

0,4×0,4=0,144.

La probabilité qu"il gagne au moins une partie est donc égaleà

1-0,144=0,856.

5.À la partien, on a l"arbre suivant :

G n pnG n+1 0,8

Gn+10,2

Gn1-pnG

n+1 0,6

Gn+10,4

Onadoncpn+1=p(Gn∩Gn+1)+p?

Gn∩Gn+1?

=p(Gn)×pGn(Gn+1)+p?Gn? p 1

5pn+35.

Polynésie210 juin 2011

Correctiondu baccalauréat SA. P.M. E. P.

6.InitialisationOn a bien34-134?

15? 1 =34-1320=15-1320=220=110=0,1=p1.

Hérédité

Supposons qu"il existea?N,a>1 tel quepa=3

4-134?

15? a D"après la formule démontrée à la question 4 : p a+1=1

5pa+35=15?

34-134?

15? a? +35=35×14+35-134?
15? a+1 =320+1220- 13 4? 15? a+1 =34-134? 15? a+1 . La propriété est vraie au ranga+1. On a donc démontré par récurrence que pourn?N?,un=3

4-134?

15? n

7.Comme-1<1

5<1, on a limn→+∞?

15? n =0, donc limn→+∞un=34=0,75.

8.On a :3

4-pn<10-7??34-?34-134?

15? n? <10-7??134? 15? n <10-7?? ?1 5? n <413×10-7??(par croissance de la fonction logarithme népérien) nln?1 5? ln?4×10-7 13? ln?15? Or ln?4×10-7 13? ln?15? ≈10,7.

Doncu11approche la limite3

4à moins de 10-7.

Exercice 25 points

Enseignementde spécialité

1.u1=10u0+21 oru0=1 doncu1=10×1+21=31;

u

2=10u1+21=10×31+21=331;

u

3=10u2+21=10×31+21=3331.

2. a. •Initialisation 100+1-7=10-7=3=3×1=3u0donc on a bien la propriété vraie au rang 0. •Hérédité : Supposons que pour un entier natureln, 3un=10n+1-7 alors

70+63=10(n+1)+1-7

La propriété est donc bien héréditaire. •La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, elleest donc vraie pour tout natureln: 3un=10n+1-7. b.Pour tout natureln,10n+1-1

10-1=k=n?

k=010kdonc 3un=k=n? k=09×10k-6= k=n? k=19×10k+10-6=k=n? k=19×10k+3=99...93 et doncun=k=n? k=13×10k+1=

33...3

nchiffres1 avecnchiffres 3.

3.u2=331 avec?

331≈18,2 or 331 n"est divisible ni par 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17 :

les nombres premiers inférieurs ou égaux à 18.u2est donc premier.

Polynésie310 juin 2011

Correctiondu baccalauréat SA. P.M. E. P.

4.D"après 2.a., pour tout natureln,un=33...31 avecnchiffres 3

•Le chiffre des unités deunest 1, impair, donc 2 ne divise pasun. •La somme deses chiffres est 3+3+...+3+1≡1 (modulo3) donc3ne divise pasun. •Le chiffre des unités deunest 1, différent de 0 et 5, donc5 ne divise pasun. a.10=-1+11 et-7=4-11 donc 10≡-1 et-7≡4 (modulo 11), donc 3un=10n+1-7≡(-1)n+1+4≡(-1)1(-1)n+4≡4-(-1)n(modulo 11) b.Siunétait divisible par 11 alors 3unle serait a fortiori, or pournpair

3un≡4-1≡3 (modulo 11) et pournimpair 3un≡4-(-1)≡5 (modulo

11) donc 11 ne divise pasun.

5. a.17 est un nombrepremier qui nedivise pas 16 doncd"après le petit théo-

rème de Fermat, 10

16≡1 (modulo 17).

b.Pour tout naturelk, 3u16k+8=1016k+9-7=?1016?k×109-7≡1k×109-7

(modulo 17). Or 6×17=102 donc 102≡-2 (modulo 17) donc 109=10×?102?4≡10(-2)4≡10×16≡10(-1)≡-10 et donc

3u16k+8≡ -10-7≡ -17≡0 (modulo 17) donc 17 divise 3u16k+8. Or 17

est premier avec 3 et d"après le théorème de Gauss, 17 diviseu16k+8.

Exercice 35 points

Enseignementobligatoire

Partie A : Restitution organisée de connaissancesOn supposera connus les résul- tats suivants : Démonstration classique basée sur l"intégrale de la fonction continue (uv)?=u?v+ uv

PartieB

1. a.limx→+∞x2=+∞et limx→+∞lnx=+∞entraînent limx→+∞f(x)=+∞

b.fproduit de fonctions dérivables sur ]0 ;+∞[ est dérivable sur cet inter- valle et f ?(x)=2xlnx+x2×1 x=2xlnx+x=x(2lnx+1). Orx>0, donc le signe def?(x) est celui de 2lnx+1 et :

2lnx+1>0??lnx>-1

2??(par croissance de lafonction exponen-

tielle)x>e-1 2.

Doncfest croissante sur?

e-1

2;+∞?

Demême 2lnx+1<0??lnx<-1

2??(par croissance dela fonction

exponentielle)xDoncfest décroissante sur?quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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