[PDF] IAE Plaques 22 May 2006 Les structures

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IAE Plaques

Saber EL AREM

Centre des Matériaux

Ecole des Mines de Paris/CNRS

Plan

Introduction : solides et structures minces

Introduction : définition d"une plaque

Efforts extérieurs et résultants

Plaques élastiques linéaires isotropes

Equations d"équilibre

Cinématique : Hypothèse des sections planes

Relations efforts résultants-déformations

Conditions aux limites

Excercices

Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 2 / 41 Plan

Introduction : solides et structures minces

Introduction : définition d"une plaque

Efforts extérieurs et résultants

Plaques élastiques linéaires isotropes

Equations d"équilibre

Cinématique : Hypothèse des sections planes

Relations efforts résultants-déformations

Conditions aux limites

Excercices

Introduction : solides et structures minces

Introduction : solides et structures minces

Les solides mincessont des solides tridimensionnels ayant des caractéristiques particulières au niveaugéométrique,cinématiqueet mécanique. Un solide 3D est un objet massif dont les trois dimensions sont du même ordre de grandeur. Les structures minces ou corps orientés ont au moins une dimension, appeléeépaisseur,petitepar rapport aux

autres dimensions. On distingue :plaque: solide défini par unesurface planeet uneépaisseurh;coque: solide défini par unesurface courbeet uneépaisseurh

faible devant longueur, largeur et rayon de courbure;poutre droite: solide défini par uneligne droiteet par une

section; arcoupoutre courbe: solide défini par uneligne courbeet par unesection. Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 4 / 41

Introduction : solides et structures minces

Introduction : solides et structures minces

Les structures mincesde type poutre, arc, plaque et coque sont très répandues dansle milieu naturel(feuilles d"arbres, mollusques, cellules vivantes, etc.) et dansles réalisations humainesles plus diverses (charpentes, voûtes, réservoirs, caissons, tabliers de ponts, carrosseries automobiles, coques de bateaux, ailes d"avions, etc.).L"analyse du comportement et la conception des ces structures sont

des activités importantes sur les plans techniques et économiques.Une enquête récente auprèsd"utilisateurs d"un grand code de

calcul de structuresa révélé que75%des modélisations impliquaient des éléments finis de typecoque. Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 5 / 41

Introduction : solides et structures minces

Introduction : solides et structures minces

Suivant l"ordre de grandeur del"épaisseurhpar rapport aux autres dimensions, on introduit parfois l"adjectifminceouépais. Cette qualification n"implique pas seulement une caractéristique géométrique mais sous-entend égalementun rôle particulier des déformations dites de cisaillement transversal. La géométrie d"une structure mince favorise le choix d"une cinématique particulière par rapport à la cinématique générale d"un solide.Les théories linéairessouvent adoptées pour les poutres, les plaques et coques sont des théorie dites dupremier ordreoù le champs de déplacement varielinéairement enx3,sans variation d"épaisseur, en incluant l"influence des déformations de cisaillement transversal. Ces théories sont basées surl"hypothèse des section droites. Elles sont généralement associée au nom de Timoshenkopour les poutres et à ceux deReissner et Mindlin pour les plaques. Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 6 / 41 Plan

Introduction : solides et structures minces

Introduction : définition d"une plaque

Efforts extérieurs et résultants

Plaques élastiques linéaires isotropes

Equations d"équilibre

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Relations efforts résultants-déformations

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Excercices

Introduction : définition d"une plaque

Définition d"une plaque

Une plaque est un solide défini par unesurfacede référenceplane(x1x2)etune épaisseur,petitepar rapport aux autres dimensions (longueur et largeur).X1X2 X3 B C DA hABCD: plan moyen. C"est également leplan neutre si les propriétés matérielles sont symétriques par rapport au plan(x1x2).h: épaisseur de la plaque Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 8 / 41 Plan

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Efforts extérieurs et résultants

Définitions des efforts extérieurs

Dans la suite on désigne par :

S f: la partie du contour de la plaque où des efforts sont imposésS u: la partie du contour de la plaque où des déplacements (et rotations) sont imposésf ν1,fν1etfν1: les forces par unité de volume suivantx1,x1etx3f

1,f2,f3,m1etm2: les forces par unité de surface, avec :

f

1(x1,x2) =Z

h2 h2 f

ν1dx3f2(x1,x2) =Z

h2 h2 f

ν2dx3f3(x1,x2) =Z

h2 h2 f

ν3dx3

m

1(x1,x2) =Z

h2 h2 x

3fν1dx3m2(x1,x2) =-Z

h2 h2 x

3fν2dx3SurSfagissent les effortsmsetfspar unité de longueur.Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 10 / 41

Efforts extérieurs et résultants

Définitions des efforts résultants

On désigne par

N

1,N2,N3: les effortsrésultants de membrane(enN/m) :

N 1=Z h2 h2

11dx3N2=Z

h2 h2

22dx3N12=Z

h2 h2

12dx3M

1,M2,M12: les effortsrésultants de flexionou moments (enNm/m) :

M 1=Z h2 h2 x

3σ11dx3M2=-Z

h2 h2 x

3σ22dx3M12=Z

h2 h2 x

3σ12dx3T

1,T2: les efforts résultants de cisaillement ouefforts tranchants(enN/m) :

T 1=Z h2 h2

13dx3T2=Z

h2 h2

23dx3On remarque que les momentsM1,M2,M12sont associés aux contraintesσ11,

22,σ12, ainsiM1ne représente pas un moment autour dex1.Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 11 / 41

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Plaques élastiques linéaires isotropes

Equations d"équilibre

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Relations efforts résultants-déformations

Conditions aux limites

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Plaques élastiques linéaires isotropes

Plaques élastiques linéaires isotropes

Grâce aux hypothèses simplificatrices :

Pas devariation d"épaisseurde la plaque :ε

3=0.

La contrainteσ

33estnégligeablepar rapport aux autres composantes du

tenseur des contraintes.La loi de Hooke peut être exprimée par :

11=E1-ν2(ε11+νε22)

22=E1-ν2(ε22+νε11)

12=E1+νε12Emodule d"Young etνcoefficient de Poisson.Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 13 / 41

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Plaques élastiques linéaires isotropes

Equations d"équilibre

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Excercices

Equations d"équilibre

Equations d"équilibre d"une plaque

Les équations d"équilibre en un point de coordonnéesx1,x2,x3s"écrivent :

11,1+σ12,2+σ13,3+fν1=0(A1)

12,1+σ22,2+σ23,3+fν2=0(A2)

31,1+σ32,2+σ33,3+fν3=0(A3)

L"équilibre global sur l"épaisseur de la plaque s"écrit : Z h2 h2 {équations(A)}dx3=0 Soit N

1,1+N12,2+f1=0

N

12,1+N2,1+f2=0

T

1,1+T2,2+f3=0Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 15 / 41

Equations d"équilibre

Equations d"équilibre d"une plaque

Les équations d"équilibre en un point de coordonnéesx1,x2,x3s"écrivent :

11,1+σ12,2+σ13,3+fν1=0(A1)

21,1+σ22,2+σ23,3+fν2=0(A2)

31,1+σ32,2+σ33,3+fν3=0(A3)

L"équilibre des moments par rapport aux axesx1etx2s"écrit : Z h2 h2 x

3{équations(A1etA2)}dx3=0

et conduit, en considérantσ13=σ23=0pourx3=±h2 M

1,1+M12,2-T1+m1=0

M

12,1-M2,2-T2-m2=0Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 16 / 41

Equations d"équilibre

Equations d"équilibre d"une plaque : récaputilatif L"équilibre global sur l"épaisseur de la plaque s"écrit : N

1,1+N12,2+f1=0

N

12,1+N2,1+f2=0

T

1,1+T2,2+f3=0L"équilibre des moments par rapport aux axesx1etx2s"écrit :M

1,1+M12,2-T1+m1=0

M

12,1-M2,2-T2-m2=0En combinant ces équations, on obtient :

M

1,11+2M12,12-M2,22+f3+m1,1-m2,2=0Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 )Plaques22 mai 2006 17 / 41

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Equations d"équilibre

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Conditions aux limites

Excercices

Cinématique : Hypothèse des sections planes

Cinématique d"une plaque de Reissner-Mindlin

Les points matériels situés surune normaleà la surface moyenne non déformée restent surune droitedans la configuration déformée. Les déplacementsUetV(suivantx1et xquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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