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Chapitre 5. Application à la théorie des coques élastiques minces.117

CHAPITRE 5.

APPLICATION A LA

THEORIE DES COQUES

ELASTIQUES MINCES.

5.1 MODELE BIDIMENSIONNEL LINEARISE DE COQUES DE W. T. KOITER ET

SA FORMULATION VARIATIONNELLE.

Nous rappelons brièvement dans cette section des éléments de la théorie linéaire des coques élastiques minces et de leur comportement lorsque leur épaisseur tend vers zéro. Nous choisissons de nous placer, comme dans [Sanchez-Palencia,89], dans le cadre de la théorie linéarisée du modèle bidimensionnel de coques élastiques de W. T.

Koiter.

Soit une coque élastique Se d"épaisseur e > 0, elle est définie à partir d"une surface S donnée par une carte (W,r) avec r de classe C2 et où W est un domaine convexe de R2 : []{}S, où - 2 3 123
2W, où a3 désigne le vecteur normal unitaire à S, en chaque point.

Figure 5.1.1.

2e

Une coque de surface moyenne S.

S

118 Daniel CHOÏ, Thèse de doctorat de l"université Paris VI, 1995.

En appliquant sur la coque Se un champ de forces extérieures F, le problème mécanique consiste à trouver le champ de déplacement ue de la surface S. On suppose que les forces extérieures sont suffisament faibles ou petites, de sorte que la théorie reste dans un cadre linéarisé par rapport au déplacement ue. Cela revient à minimiser l"énergie de déformation dans une classe de fonctions satisfaisant aux conditions aux limites cinématiques (telles la fixation ou l"encastrement d"une partie du bord de la coque) ; s"il n"y a pas de condition aux limites, nous supposerons naturellement que le torseur des forces extérieures appliquées à la coque est nul pour que le problème demeure statique. Pour simplifier, nous exposons directement le modèle bidimensionnel de Koiter. Le modèle de Koiter est un modèle bidimensionnel, c"est à dire qu"un déplacement sur la coque peut être défini à partir d"un déplacement sur la surface moyenne. Cela découle des hypothèses que formule W. T. Koiter, voir [Bernadou et

Ciarlet,76] :

- Les normales à la surface moyenne non-déformée sont encore normales à la surface moyenne après déformation. - Au cours de la déformation, les contraintes sont approximativement planes et parallèles au plan tangent à la surface moyenne. Si bien que le problème mécanique tridimensionnel sur la coque se réduit à un problème bidimensionnel sur la surface moyenne. Ainsi, suivant le modèle de Koiter, le problème mécanique revient à trouver une solution au problème : pour un espace V fonctionnel (défini sur S et à préciser) et pour F dans le dual V" (l"ensemble des formes linéaires continues sur V) : (5.1.1)trouver un déplacement dans tel que uV (u,v)(F,v)vVV/V e eeb="Î qui, de manière classique, est équivalent à un problème de minimisation : (5.1.2)trouver qui minimise la fonctionnelle dans , uV (v)(v,v)(F,v)V e e eIb

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où la forme bilinéaire symétrique d"énergie de déformation be sur la surface moyenne se

décompose : Chapitre 5. Application à la théorie des coques élastiques minces.119 (5.1.3)beaeaemf(u,v)(u,v)(u,v)=+3, où am et af sont respectivement les formes bilinéaires symétriques d"énergie de déformation membranaire et en flexion , indépendantes de l"épaisseur e. En désignant par Aablm, les coefficients d"élasticité de la coque indépendants de e : (5.1.4)Aablmalbmamblablm n n n=+++-

Eaaaaaa21

2 1() où E est le module de Young et n le coefficient de Poisson du matériau (ce sont des coefficients strictement positifs) et où les aab sont les coefficients contravariants de la première forme fondamentale, cf. (2.1.9). L"expression de la forme bilinéaire d"énergie de déformation membranaire am est : (5.1.5)adm(u,v)(u)(v)=òAablm ablmggWW où les gab sont les composantes (covariantes) du tenseur de déformation de S : (5.1.6)gg(u) = du.dr, qui expriment les variations de la première forme fondamentale, i.e. des longueurs. En composantes covariantes, nous avons (cf. l"expression du système de flexion en coordonnées covariantes (3.2.9)) : (5.1.7) g g g l lquotesdbs_dbs2.pdfusesText_4

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