1.8 Le théorème des accroissements finis
Une autre variante du théorème des accroissement finis où l'égalité est rempla- cée par une inégalité sur les normes. 1.8.10 THÉORÈME (L'INÉGALITÉ DES
Exercices corrigés Théor`eme de Rolle accroissements finis
Exercice 1 Démonstration du théor`eme des accroissements finis. Soit f : [a b] ? R
Théorème des accroissements finis
Théorème des accroissements finis. Théorème 4 des ACCROISSEMENTS FINIS ( Joseph Louis Lagrange 1736-?1813). Entre 2 points a et b selon certaines
6.3 Théorème de Rolle et des accroissements finis.
6.3 Théorème de Rolle et des accroissements finis. Définition 6.20. Soit I un intervalle de R et f : I ? R une fonction. On dit que a ? I est un :.
Corollaires des accroissements finis élèves
Corollaires du théorème des accroissements finis. Corollaire 1 Dérivée positive implique f croissante et dérivée négative implique f décroissante.
Fonctions de classe C - Inégalité des accroissements finis.
On a vu que le théorème de. Rolle et donc le théorème des accroissements finis ne sont plus valables pour une fonction de plusieurs variables. L'inégalité des
Inégalité des accroissements finis. Exemples dapplications à létude
18 mai 2009 Inégalité des accroissements finis. Exemples d'applications à l'étude de suites et de fonctions. L'exposé pourra être illustré par un ou des.
Accroissements finis
L'inégalité des accroissements finis et son dessin. Théor`eme IAF. Soit f dérivable sur I := [ab] avec a < b et m et M deux nombres réels. On suppose.
LEÇON 14 THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS
Théorème des accroissements finis - Applications. Remarques: Le théorème des accroissement finis se généralise pour une fonction de classe Cn sous la forme
Théorème des accroissements finis
Théorème des accroissements finis. Exercice 1. 1. Soit f une application réelle continue et dérivable sur ]ab[ telle que f (x) ait une limite quand x.
[PDF] 18 Le théorème des accroissements finis
1 8 Le théorème des accroissements finis Rappelons le résultat classique pour les fonctions d'une variable réelle à valeurs
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Cours : THEOREME DE ROLLE ; THEOREME DES ACCROISSEMENTS FINIS (T A F) PROF: ATMANI NAJIB 2BAC SM BIOF http:// xriadiat e-monsite com 1) Activités
[PDF] 63 Théorème de Rolle et des accroissements finis
L'égalité des accroissements finis (et sa généralisation la formule de Taylor-Lagrange qu'on verra plus tard dans ce cours) nous fournit une méthode utile
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5 2 Théorème de Rolle 5 2 1 théorème des accroissements finis Théorème de Rolle Theoreme Théorème de Rolle Soient (ab) = R² tel que a < b f : [a; b] ?
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Théor`eme de Rolle accroissements finis 1 Enoncés Exercice 1 Démonstration du théor`eme des accroissements finis Soit f : [a b] ? R continue sur [a
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x • Égalité des accroissements finis : Soit I un intervalle f une fonction de I dans R a et b
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On en déduit par l'inégalité des accroissements finis que : ?(x y) ? Donc d'après le théorème d'encadrement un ? ? ?? n?+? 0 ce qui
Comment appliquer le théorème des accroissements finis ?
Fonction d'une variable réelle à valeurs réelles
Graphiquement, le théorème des accroissements finis indique que, pour toute droite sécante en deux points à une courbe différentiable, il existe, entre ces deux points, une tangente parallèle à la sécante.- Le théorème énoncé par Rolle comporte la condition plus restrictive f ( a ) = f ( b ) = 0 , cette dernière égalité n'est pas nécessaire à la démonstration mais ce théorème est souvent utilisé dans des problèmes de séparation des racines : il exprime en effet que, pour une fonction dérivable, les zéros de séparent les
Corrections : F. SarkisExo7
Théorème des accroissements finis
Exercice 1
1.Soit fune application réelle continue et dérivable sur]a;b[telle quef0(x)ait une limite quandx alorsfse prolonge en une fonction continue et dérivable à gauche au pointb. 2.
Soit fune application continue et dérivable sur un intervalleIR, et de dérivée croissante; montrer que
fest convexe surIi.e.f((1t)x+ty)6(1t)f(x)+t f(y)pour tousxMontrer que fetgsont de classeC1.
2. Calculer entoutpoint(x;y)2R2lamatricejacobiennedefnotéeDf(x;y); calculerlamatricejacobienne degau point(0;0)notéeDg(0;0). 3.Montrer qu"il e xister>0 tel que pour tout(x;y)2B
r((0;0))(la boule fermée de centre(0;0)et de rayonr) on ajjDg(x;y)jj612 4. Montrer que la fonction gadmet un unique point fixe dansB r((0;0)). Onconsidèrel"applicationF:R2!R2définieparF(x;y)=(cosxsiny;sinxcosy); onnoteF(k)l"applicationFcomposéek-fois
1.Montrer que jjDF(x;y)jj6p2 pour tout(x;y).
2. En déduire que la suite récurrente définie par x0;y0et pourn>1 x n+1=12 (cosxnsinyn);yn+1=12 (sinxncosyn) converge pour tout(x0;y0). Donnez l"équation que vérifie sa limite ? 1 Soitfune application différentiable de]a;b[RdansRn; on suppose qu"il existek>0 tel que jjf0(x)jj6kjjf(x)jj;8x2]a;b[: Montrer que sifs"annule en un pointx02]a;b[,fest identiquement nulle dans]a;b[(montrer queE=fx2SoitEun espace de Banach,Uun ouvert deEetfune application différentiable deUdansRtelle que l"on ait
jjf0(x)jj6kjf(x)j;8x2U. Montrer que pourxassez voisin dea2U, jf(x)j6ekjjxajjjf(a)j:Onconsidèrel"applicationF:R2!R2définieparF(x;y)=(x2+y2;y2); onnoteF(k)l"applicationFcomposée
k-fois avec elle-même. On considèreW=f(x;y)2R2=limk!¥F(k)(x;y) = (0;0)g. 1.Vérifier que (x;y)2W()F(x;y)2W.
2. Montrer qu"il e xistee>0 tel quejj(x;y)jjF(x;y) = (x2+y2;y2):
SoitW=fp2R2; limk!¥Fk(p) = (0;0)g.
1.Vérifier que p2Wsi et seulement siF(p)2W.
2.Montrer qu"il e xisted>0 tel quekjDF(p)kj<12
sikpkbest que cette dérivée est limx!bf0(x). Pour celà montrons qu"il existe un réelktel que toute suitefxng
tendant versbvérifie limn!¥f(xn) =k. Remarquons que la dérivéef0(x)admettant une limite au pointb, elle
est bornée sur un petit voisinage (à gauche) deb(notonsMce majorant). Soitynune suite convergent versb.
Alors la suitef(yn)est de Cauchy. En effet, pour toute>0, posonse0=e2M. La suitefyngétant de cauchy,
9N2N;p;q>N) jypyqj6e06e2M:
Or d"après les accroissements finis:
f(yp)f(yq) = (ypyq)f0(cp;q)oùcp;q2]yp;yq[:Par conséquent,
tendent versb. De plus, comme on l"a vu,f(yn)tend versket doncf(xn)aussi. Prolongeonsfpar continuité
au pointben posantf(b) =k. On a alors le taux d"accroissement TQuandxtend versb,cxaussi et doncTxftend versl.Correction del"exer cice2 NOn af0(x) =ieix(on peut le vérifier en coordonnées). Si l"égalité des accroissement finis était vérifiée il
existerait c2]0;p[tel quef(p)f(0) = (p0)ieicce qui est impossible car en prenant les modules on trouverait 2=p.Correction del"exer cice3 N1.fest de classeC¥car ses coordonnées le sont (polynômes).gl"est car c"est la composée de deux
fonctionsC¥. 2.La matrice jacobienne de fest:
Df(x;y) =2x1
2x2y D"apès la formule de différentielle d"une composée, on aDg(x;y) =Df(f(x;y))Df(x;y):
Orf(0;0) =0 et
Df(0;0) =01
0 0 et doncDg(0;0) =01
0 0:01
0 0 =0: 33.P arcontinuité de Dg(x;y)à l"origine et en prenante=1=2 on a:
9r>0;jj(x;y)(0;0)jj6r) jjDg(x;y)Dg(0;0)jj61=2
d"où le résultat demandé. 4. D"après les accroissements finis, pour tous X;Y2R2, on a jjg(X)g(Y)jj6sup Z2B r((0;0))jjDg(Z)jj:jjXYjj61=2jjXYjj et doncgest contractante. Le BouleB r((0;0))la bouleB r((0;0))étant compacte et complète, le théorème du point fixe permet de conclure.Correction del"exer cice4 N1.On aDf(x;y) =sinxcosy
cosxsiny On a jjjDf(x;y)jjj=sup pa 2+b2= pa2+b2+2absin(x+y)pa
2+b26r1+2jajjbja
2+b26p2
car (jajjbj)2>0)a2+b2>2jajjbj: 2. Soient Un=(xn;yn)etG(x;y)=1=2F(x;y), alorsjjjGjjj6p2 2 etUn+1=G(Un). D"aprèslesaccroissementsfinis,Gest contractante et donc le théorème du point fixe donne le résultat demandé.Correction del"exer cice9 NAppliquerlethéorèmedesaccroissementsfinisàg(x)=f(x)Df(a)xenremarquantquelamatricejacobienne
deDf(a)xest la matriceDf(a).4quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] théorème des accroissements finis démonstration
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