[PDF] Plasticité et Rupture - CEL 13 juil. 2012 2.2

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MEC 551

Plasticite et RuptureΓ

c 1 c

2Annee 3

Programmes d'approfondissement:

Mecanique

Innovation Technologique

Energies du XXI

esiecle

Jean-Jacques Marigo

Departement de Mecanique

Edition 2012

2

Table des matieres

I Elasticite et Inelasticite 7

1 Elasticite9

1.1 Les concepts generaux de MMC et d'elasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1 Congurations, deplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2 Deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.3 Tenseur des contraintes et eorts interieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.4 Chargement et equilibre volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.5 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.6 Le comportement elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 Elasticite lineaire sans precontraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Elasticite lineaire avec precontraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Etude du probleme-type d'elastostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.1 Le probleme aux limites type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.2 Proprietes variationnelles du probleme-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 Deplacements et contraintes admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Le PTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Formulation variationnelle du probleme d'elastostatique . . . . . . . . . . . . . 22
Theoreme de l'energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.3 Quelques proprietes qualitatives generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.2.4 Problemes reduits par symetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
Deformations planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Deformations antiplanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2.5 Extension a d'autres types de conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.3 Chargements denis par un nombre ni de parametres . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.3.1 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.3.2 Grandeurs duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1.3.3 Coecients de souplesse et coecients de raideur structurels . . . . . . . . . .

33

2 Introduction au comportement inelastique des materiaux et des structures 37

2.1 Les comportements macroscopiques des materiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2 La ssuration et la rupture des structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.3 Les modeles rheologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.3.1 Les elements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48
3

2.3.2 Quelques assemblages simples avec masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

2.3.3 Quelques assemblages simples sans masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

II Plasticite 53

3 Le comportement elasto-plastique 55

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.1.1 Le modele rheologique patin{ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.1.2 Le modele ressort{patin{ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.2 Les concepts generaux du comportement elasto-plastique . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.2.1 Les deformations plastiques et la relation contrainte-deformation . . . . . . . .

66

3.2.2 Le domaine d'elasticite et le seuil de plasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.2.3 La loi d'ecoulement plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

3.2.4 L'ecrouissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68
Ecrouissage cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Ecrouissage isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Autres types d'ecrouissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3 Les specicites des lois \standards" de plasticite parfaite . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.3.1 Le comportement elastique parfaitement plastique . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.3.2 Le postulat de Drucker-Ilyushin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

3.3.3 Le principe du travail plastique maximal de Hill. . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3.3.4 Lien entre le postulat et le principe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

3.3.5 La convexite du domaine d'elasticite et la regle de normalite . . . . . . . . . .

77

3.3.6 Incompressibilite plastique et non bornitude du domaine d'elasticite . . . . . .

80

3.4 Les lois standards de Von Mises et de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

3.4.1 Le modele standard de Von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81
Le critere de Von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
La loi d'ecoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
La relation contrainte-deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Essai uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Essai bi-axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.4.2 Le modele standard de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88
Le critere de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
La loi d'ecoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Essai uni-axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Essai bi-axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.5 Identication experimentale des criteres de plasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

4 Calcul de structures elasto-plastiques 97

4.1 Cas standard parfaitement plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.1.1 Le probleme d'evolution quasi-statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.1.2 Un exemple 3D : la torsion elasto-plastique d'un arbre cylindrique . . . . . . .

100
Cas d'un cylindre plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4 Cas d'un cylindre creux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

4.1.3 Quelques proprietes qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106
Sur l'unicite des deplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Les charges limites elastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
L'ecrouissage structurel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Les charges limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2 Calcul des charges limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

4.2.1 Charges supportables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

4.2.2 Approche par l'interieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

4.2.3 Approche par l'exterieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115
Presentation de la methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Proprietes et exemples de fonctions d'appui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Exemples d'illustration de l'approche par l'exterieur . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.3 Contraintes residuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

4.3.1 Contraintes residuelles et incompatibilite des deformations plastiques . . . . . .

121

4.3.2 L'exemple de la torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

4.4 Resolution numerique du probleme d'evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

4.4.1 Le probleme incremental en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

4.4.2 Interpretation energetique dans le cas standard . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

4.4.3 Algorithme de resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

4.5 Cas standard avec ecrouissage cinematique lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

4.5.1 Unicite de la reponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

4.5.2 L'exemple de la torsion elasto-plastique d'un arbre cylindrique . . . . . . . . .

131

III Rupture 133

5 Les bases de la Rupture Fragile 135

5.1 Les singularites en elasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

5.1.1 La question des singularites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

5.1.2 La methode de recherche des singularites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

5.1.3 Exemples de singularites en elasticite anti-plane . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

5.1.4 Exemple de singularites en elasticite plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

5.2 Le cadre d'hypotheses de la rupture fragile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146

5.2.1 La description geometrique des ssures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146

5.2.2 Les conditions aux limites sur les levres des ssures . . . . . . . . . . . . . . . .

148
Fissures interieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Fissures sur les bords a deplacements contr^oles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.2.3 Le cadre quasistatique de l'elasticite lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151

5.3 Les singularites en pointe de ssure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

5.3.1 En deformation plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

5.3.2 En deformation anti-plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

5.3.3 En 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

5.3.4 Exemples de valeurs des facteurs d'intensite des contraintes . . . . . . . . . . .

157
5

5.4 La tenacite et le critere de propagation des ssures d'Irwin . . . . . . . . . . . . . . .158

6 Le point de vue energetique 163

6.1 Les grandeurs energetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164

6.1.1 Formulation variationnelle de l'equilibre d'un objet ssure . . . . . . . . . . . .

164

6.1.2 L'energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168

6.1.3 Le taux de restitution d'energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

6.2 Le calcul deGet la formule d'Irwin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173

6.2.1 Une methode de calcul deG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173

6.2.2 La formule d'Irwin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177

6.3 L'hypothese de Grith sur l'energie de ssuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

179

6.3.1 L'energie de ssuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

179

6.3.2 Le taux de creation d'energie de ssuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182

6.4 La loi de propagation de Grith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

183

6.4.1 Les principes sur lesquels s'appuient la loi de Grith . . . . . . . . . . . . . . .

183

6.4.2 Etat de ssuration ne dependant que d'un parametre . . . . . . . . . . . . . . .

184

6.4.3 Etat de ssuration dependant denparametres . . . . . . . . . . . . . . . . . .185

6.4.4 Propagation d'une ssure plane en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185

7 Etude de la theorie de Grith 187

7.1 Exemples de propagation suivant la loi de Grith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188

7.2 Quelques proprietes generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

197

7.2.1 Demarrage de la propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

198

7.2.2 Eets d'echelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

199

7.2.3 Propagation progressive ou propagation brutale . . . . . . . . . . . . . . . . . .

199

7.3 Le trajet des ssures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205

7.3.1 Le Principe de Symetrie Locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

206

7.3.2 Le Critere duG-max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

7.3.3 Comparaison des deux criteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

210

7.4 Au dela de la theorie de Grith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

211

7.4.1 Initialisation de la ssuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

211

7.4.2 Fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

214

A Fiches de synthese 217

B Formulaire233

B.1 Coordonnees cylindriques ou polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
B.2 Coordonnees spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Notations239

Bibliographie243

Index245

6

Premiere partie

Elasticite et Inelasticite

7

Chapitre 1

Elasticite

Ce chapitre ne fait que rappeler un certain nombre de notions introduites et developper dans le cours de deuxieme annee de Mecanique des Milieux Continus (MMC) [20], en particulier celles qui seront d'usage frequent dans ce cours de Plasticite et Rupture. Il est evidemment hors de question

de le faire de facon detaillee et il est indispensable de se reporter au cours de base dans tous les cas

(inevitables) ou le caractere allusif de ces rappels pourrait se reveler insusant.Nous nous placerons toujours en quasi-statique, ce qui veut dire que nous negligerons systema-

tiquement les eets d'inertie en supposant que le systeme est en equilibre a chaque instant dans le referentiel envisage. De plus nous nous placerons toujours dans le cadre des petites perturbations, ce qui conduit a negliger les changements de geometrie dans l'ecriture des equations d'equilibre, a ne pas distinguer les dierents tenseurs des contraintes et a lineariser les relations entre les deplacements et les deformations.1.1 Les concepts generaux de MMC et d'elasticite

1.1.1 Congurations, deplacements

Les notions de deplacements et de deformations servent a comparer deux congurations d'un milieu connu : l'une est appeleeconguration de referenceet est, comme son nom l'indique, la conguration qui sert a reperer les points materiels; l'autre appeleeconguration deformeeest celle reellement ou virtuellement occupee par le milieu au moment de l'etude.

Si on note

le domaine occupe par le milieu dans sa conguration de reference | domainequotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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