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Agrandissement-Réduction

d'une figure

Un Parcours d'Étude et de Recherche

à partir de la quatrième

Groupe didactique de l'Irem de Bordeaux

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Quelques élèves préfèrent la proportionnalité dans un tableau qui leur évite d'utiliser le vocabulaire

d'agrandissement et réduction.

Après cette première étape, pour inciter les élèves à utiliser l'écriture fractionnaire d'un quotient, le

professeur demande comment obtenir les longueurs du triangle AMN à partir de celles du triangle ABC. Il s'agit d'un agrandissement à l'échelle 4 3. On ne passe pas encore à l'écriture avec les rapports des longueurs AM

AB mais certains élèves

commencent déjà à écrire le coefficient de réduction avec des lettres. Les variables didactiques sont

choisies pour que ce quotient soit rationnel non décimal.

Ceci pourra orienter les élèves vers l'écriture de " rapports » : ils sont incités à vérifier que ce

coefficient, trouvé avec deux longueurs correspondantes, est égal à ceux obtenus avec d'autres

longueurs correspondantes.

La consigne (suite)

Étape 2

" Tracer un triangle DEF avec DE = 7 cm, EF = 9 cm et DF = 8 cm. Sur le segment [DE], placer le point R tel que DR = 3 cm. Sur le segment [DF], placer le point S tel que DS = 3,5 cm. Les droites (RS) et (EF) sont-elles parallèles ? Le prouver ». Le choix des variables didactiques est ici fondamental pour obtenir des droites semblant être parallèles.

Pour prouver leur réponse, les élèves peuvent utiliser " une partie de la contraposée du futur

théorème de Thalès » . Ils peuvent aussi faire une sorte de raisonnement par l'absurde. Le but principal est ici de leur faire écrire des rapports.

Agrandissement-réduction d'une figure, un PER à partir de la quatrième - Groupe didactique de l'Irem de Bordeaux

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La consigne (suite)

Étape 3

" On sait que les points A, D, B et A, E, C sont alignés, que les droites (DE) et (BC) sont parallèles. Quelles conjectures pouvez-vous faire ? » Les conjectures sont alors rapidement énoncées et justifiées : - le triangle ADE est une réduction du triangle ABC, - le triangle ABC est un agrandissement du triangle ADE, - les angles des triangles sont les mêmes.

Le professeur demande alors :

" Écrire, sans mesurer, le coefficient d'agrandissement ».

Certains élèves passent directement à l'écriture de ces rapports mais sans écrire l'égalité qui est loin

d'être évidente pour eux.

D'autres ont besoin du tableau pour se repérer et fournissent ainsi une méthode de recherche à ceux

qui ne trouvent pas ces coefficients. Avec parfois quelques imprécisions sur les opérations...

Agrandissement-réduction d'une figure, un PER à partir de la quatrième - Groupe didactique de l'Irem de Bordeaux

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A DE CB Quelques élèves ont encore du mal à reconnaître une multiplication à trou.

Un seul rapport est obtenu sur certains cahiers, les trois sont parfois proposés mais aucun élève ne

passe à l'égalité des trois directement.

Pour conclure, en présentant aux élèves la figure ci-dessous et en précisant que les lettres

représentent ici les longueurs des côtés, le professeur demande d'écrire de plusieurs façons les

coefficients d'agrandissement et de réduction.

Ce travail pourra être complété en troisième par la situation suivante qui permet d'aborder le cas de

coefficients non rationnels. " Tracer un triangle isocèle ABC,rectangle en A tel que AB = AC = 1dm. Sur la demi-droite [BA) placer un point D tel que BD = BC. La perpendiculaire en D à (BA) coupe (BC) en E.

Quelle est la mesure de BE ? »

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Troisième partie : le parcours

Avant d'aborder ce parcours, pendant le premier trimestre, il est indispensable de travailler avec les

élèves la proportionnalité dans son ensemble et, en particulier, les procédures de calculs d'une

quatrième proportionnelle.quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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