[PDF] [PDF] Exercice : coupes du cube Solution

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Exercice : coupes du cube Soit ABCDEFGH un cube. Dans les trois cas suivants (K appartient au segment [FG], K appartient

au segment [GH], K appartient au segment [HE]), tracer les sections du cube par le plan (IJK) (I

appartient au segment [BF] et J appartient au segment [EF]) en perspective cavalière. Solution : coupes du cube Le traitement du premier exemple est fort simple. La coupe du cube par un plan est le triangle IJK.

Le traitement du second exemple reste encore relativement simple. Il suffit de remarquer que les plans (EFG) et (CFG) se coupent selon la droite (FG) pour construire

le point Q. La coupe du cube par un plan est le quadrilatère IJKL. Le traitement du dernier exemple requiert une petite gymnastique. Il suffit de remarquer que les plans (EFG) et (CFG) se coupent selon la droite (FG) pour construire le point Q. Aussi, les plans (ABC) et (ABF) se coupent selon la droite (AB) pour construire le point R. Et encore, les plans (BCG) et (HCG) se coupent selon la droite (CG) pour construire le point S. La coupe du cube par un plan est l'hexagone IJKLMN.

Remarque : en déplaçant quelque peu le point I on aurait également pu voir une coupe pentagonale.Remarque : au lieu de ne considérer ce problème que comme un problème d'intersection, j'aurais pu

aussi utiliser la propriété qui dit qu'un plan coupe des plans parallèles en des droites parallèles. Exercice [Lyon, 2004]

On fixe un cube ABCDEFGH, d'arête 1. Une représentation du cube en perspective cavalière et son

patron sont donnés sur le document-réponse que l'on remettra avec la copie. Par exemple, le

sommet A du cube est représenté par les points A1, A2, A3 du patron.On appelle "distance" entre deux points M et N de la surface du cube, la longueur du plus court

chemin tracé sur la surface du cube et qui relie ces deux points. Pour ne pas confondre la "distance"

avec la distance usuelle, on la notera d(M,N). Par exemple, la "distance" de G à C est 1, car le plus

court chemin qui les relie est l'arête [GC]. En revanche, la "distance" de G à A est strictement plus

grande que la longueur usuelle de la diagonale [AG] du cube.1) Compléter le patron en nommant tous les sommets du cube. (On ne demande pas de justifications

pour cette question.)2) a) Tracer, en rouge sur le patron, l'ensemble des points qui représentent des points de la ligne

brisée ACG (réunion des segments [AC] et [CG]).

2) b) Calculer la longueur l de la ligne brisée ACG.

2) c) Soit J le point de la ligne brisée ACG qui est à mi-chemin de A et G, c'est-à-dire tel que d(A,J)

= AJ = l/2.

Décrire, justifier et effectuer une construction du point J sur le patron.3) Décrire et représenter sur le patron l'ensemble des points M de la surface du cube qui sont à la

même "distance" de G que C, c'est-à-dire tels que d(G,M) = d(G,C).

4) a) Parmi les chemins qui relient les sommets A et G, et qui sont totalement contenus dans les

faces ABCD et CDHG, on considère le plus court. Le tracer en bleu sur le patron, puis sur le cube

en perspective, en précisant chaque étape de la construction.4) b) Quelle est la longueur de ce chemin ?Document-réponse à rendre avec la copieSolution [Lyon, 2004]

1) Compléter le patron en nommant tous les sommets du cube. (On ne demande pas de justifications

pour cette question.)Je peux compléter face par face ...

2) a) Tracer, en rouge sur le patron, l'ensemble des points qui représentent des points de la ligne

brisée ACG (réunion des segments [AC] et [CG]).

Je dois donc juste tracer chacun des segments [AC] et [CG] sur le patron.2) b) Calculer la longueur l de la ligne brisée ACG.

2) c) Soit J le point de la ligne brisée ACG qui est à mi-chemin de A et G, c'est-à-dire tel que d(A,J)

= AJ = l/2.

Décrire, justifier et effectuer une construction du point J sur le patron.Algorithme de construction (construction en vert).Je trace le petit arc de cercle Γ de centre C et de rayon [CG1] et d'extrémités G1 et G2.

Je prolonge le segment [A2C] de manière à construire le point Ω comme point de concours de Γ et

de la droite (A2C). J'ai ainsi construit un segment [A2Ω] de longueur l. A la règle et au compas, je construis le milieu J du segment [A2Ω].

J'ai ainsi construit un point J qui est tel que d(A,J) = AJ = l/2 et qui appartient à la ligne brisée ACG

même "distance" de G que C, c'est-à-dire tels que d(G,M) = d(G,C). J'ai d(G,C)=1. On me demande donc l'ensemble des points tels que d(G,M) = 1.

Il suffit de réduire l'étude à chacune des faces du cube et d'utiliser la définition du cercle, à savoir

"le cercle de centre G et de rayon 1 est l'ensemble des points du plan en question qui sont à distance

(usuelle) de G égale à 1.

L'ensemble M de la surface du cube qui sont à la même "distance" de G que C est la réunion des

trois petits arcs de cercles suivants (représentation en rose) : le petit arc de cercle de centre G1 et de rayon 1 et d'extrémités F1 et C,

le petit arc de cercle de centre G2 et de rayon 1 et d'extrémités C et H, le petit arc de cercle de centre G1 et de rayon 1 et d'extrémités H et F2.

4) a) Parmi les chemins qui relient les sommets A et G, et qui sont totalement contenus dans les

faces ABCD et CDHG, on considère le plus court. Le tracer en bleu sur le patron, puis sur le cube

en perspective, en précisant chaque étape de la construction.Algorithme de construction (construction en bleu).

Sur le patron ...

Je trace le segment [A2G2].

Soit Θ le point de concours des droites (CD) et (A2G2). En utilisant le théorème de Thalès avec les

droites parallèles (BA2) et (CΘ) (qui sont parallèles comme côtés opposés du carré ABCD) et les

sécantes (A2G2) et (BG2) (la droite (BG2) passe par C car BCG2=BCD+DCG2= 90° +

90° = 180° comme somme d'angles de carrés), on démontre que CΘ = 1/2 et donc Θ est milieu du

segment [CD].

Sur la perspective ...

A la règle et au compas, je construis le milieu Θ du segment [CD].

Je trace ensuite les segments [AΘ] et [ΘG].

4) b) Quelle est la longueur de ce chemin ?Le théorème de Pythagore appliqué au triangle A2BG2, rectangle en B (car

A2BG2= 90° comme

angle d'un carré), donne que la longueur du chemin concerné qui n'est autre que A2G2 se calcule par

Exercice [Martinique, 2000] On considère une famille (F) de quadrilatères définie comme suit : Un quadrilatère ABCD appartient à (F) s'il est convexe et si ses diagonales [AC] et [BD]

sont perpendiculaires.

1. Pour chacune des affirmations suivantes dire si elle est vraie ou fausse. Argumenter la réponse. 1.a) Tous les rectangles appartiennent à (F).

1.b) Certains éléments de (F) sont des parallélogrammes. 2. On considère un quadrilatère ABCD de (F). Soient E, F, G et H les milieux respectifs de [AB],

[BC], [CD] et [DA].

2.a) Quelle est la nature du quadrilatère EFGH ? Le démontrer. 2.b) Quelle est la condition supplémentaire à imposer à ABCD pour que EFGH soit un carré ?

Le justifier. 3. On considère un quadrilatère ABCD de (F) tel que AC = BD = 10 cm, AB = 6 cm et l'angle

ABCest droit. 3.a) Construire à la règle et au compas, le quadrilatère ABCD.

3.b) Si O est le point d'intersection des diagonales [AC] et [BD], calculer BC puis BO.

3.c) La figure obtenue est le début d'un patron d'un tétraèdre BADC dont ABC et ACD

représentent deux faces perpendiculaires (si ACD est la base, [OB] est la hauteur du

tétraèdre). 3.c)i) Montrer que le triangle BOD est rectangle. En utilisant les résultats précédents, déduire

une construction, en vraie grandeur, de la longueur de l'arête [BD] du tétraèdre BACD.

3.c)ii) Terminer le patron, avec règle et compas, en laissant apparaître les traces justificatives

des constructions. Solution [Martinique, 2000]

1. Pour chacune des affirmations suivantes dire si elle est vraie ou fausse. Argumenter la réponse. 1.a) Tous les rectangles appartiennent à (F).

1.b) Certains éléments de (F) sont des parallélogrammes. 1.a) est FAUX. En général, un rectangle n'a pas ses diagonales perpendiculaires. Lorsque les

diagonales sont perpendiculaires, le rectangle est alors un carré. 1.b) est VRAI. Le losange est un parallélogramme qui possède des diagonales perpendiculaires. 2.a) Quelle est la nature du quadrilatère EFGH ? Le démontrer. 2.b) Quelle est la condition supplémentaire à imposer à ABCD pour que EFGH soit un carré ? Le

justifier. Je commence par tracer la figure. EFGH est le parallélogramme de Varignon du quadrilatère ABCD (voir exercice : le

parallélogramme de Varignon). Ainsi, EFGH est un rectangle. Si, de plus, les diagonales de ABCD sont de même mesure, EFGH est un carré.

3.a) Construire à la règle et au compas, le quadrilatère ABCD.

Je trace un segment [AC] tel que AC = 10 cm ; je place le point I, milieu du segment [AC], donc le point I tel que AI = IC = 5 cm ; soit C1 le cercle de centre A et de rayon 6 cm et soit C2 le cercle de centre I et de rayon 5 cm ; soit B l'un des points de concours des cercles C1 et C2 (l'angleABCintercepte le diamètre [AC] et

est, par conséquent, droit) et soit B' l'autre ; je trace la droite (BB') qui est perpendiculaire à la droite (AC) (en effet, (AC) est la médiatrice du

segment [BB'] car AB = AB' et IB = IB') ; je place le point D sur la droite (BB') de telle façon que les points D et B soient de part et d'autre de

la droite (AC) et que BD = 10 cm ; je trace le quadrilatère ABCD.

Je propose la figure ... 3.b) Si O est le point d'intersection des diagonales [AC] et [BD], calculer BC puis BO.

Par application du théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B, je trouve AC2 = AB2

Pour trouver OB, je calcule de deux manières l'aire du triangle ABC : Aire(ABC) = (BA x BC)/2 = (AC x OB)/2 pour déduire que OB = (BA x BC)/AC = (6 x 8)/10 cm = 4,8 cm.

3.c)i) Montrer que le triangle BOD est rectangle. En utilisant les résultats précédents, déduire une

construction, en vraie grandeur, de la longueur de l'arête [BD] du tétraèdre BACD.

L'énoncé nous dit que [OB] est hauteur du tétraèdre BADC, ce qui implique que la droite (OB) est

orthogonale à toute droite du plan (ACD). En particulier, la droite (OB) est perpendiculaire à la

droite (OD) et le triangle OBD est rectangle en O.

Construction utilisant règle non graduée et compas de BD : je trace un cercle, un diamètre [MN] de ce cercle et je prends un point O sur ce cercle distinct de M

et de N (l'angleMONest alors un angle droit car il intercepte un diamètre de ce cercle) ; je place B sur la demi-droite [OM) en reportant à l'aide du compas la longueur OB depuis la figure

initiale ; je place D sur la demi-droite [ON) en reportant à l'aide du compas la longueur OD depuis la figure

initiale ; je trace le segment [BD].

3.c)ii) Terminer le patron, avec règle et compas, en laissant apparaître les traces justificatives des

constructions. Les tracés relatifs à cette question sont portés en rouge.

Exercice [Limoges, 1998] D'après Maths CM2 - Nouvelle Collection -, Thevenet, Bordas, 1996, p. 117. 16 Observe le patron A quelle figure correspond ce patron ? A un prisme ? A une pyramide ? A un cube ? 1. Comment reconnaître que la figure ci-dessus, composée de quatre triangles, ne peut pas être le

patron d'un prisme, ni celui d'un cube ? 2. On admettra qu'il s'agit d'un patron de pyramide et on considérera que ce patron est constitué à

partir d'un carré ABCD, dont les côtés mesurent 4 cm. Dire, en justifiant votre réponse, où doivent

être placés le point E sur le segment [BC] et le point F sur le segment [CD] pour qu'on ait bien

affaire à un patron de pyramide. 3. Etablir quelle est la nature précise de chacune des quatre faces de la pyramide. 4. Appelons K le sommet du solide où se rejoignent les points B, C et D du patron. On obtient ainsi

la pyramide AEFK.

4.a) Montrer que l'on peut faire coïncider la pyramide avec le coin d'un cube de côté 4 cm.

Représenter un cube en perspective cavalière et y tracer une représentation de la pyramide. 4.b) Calculer le volume de la pyramide [V = (1/3) x b x h où b désigne l'aire de la base et h

désigne la hauteur correspondante]. 5. Calculer l'aire du triangle AEF.

6. Soit H la projection orthogonale de K sur le plan (AEF). Calculer KH.

7. Montrer que dans le patron ci-dessus, les droites (AE) et (BF) sont perpendiculaires. 8. Montrer que H est l'orthocentre du triangle AEF.

Solution [Limoges, 1998]

1. Comment reconnaître que la figure ci-dessus, composée de quatre triangles, ne peut pas être le

patron d'un prisme, ni celui d'un cube ? Un prisme (à priori oblique) possède au moins une face en forme de parallélogramme, ce qui n'est

pas le cas ici. Par conséquent, ce n'est pas le patron d'un cube non plus car tout cube est un prisme. 2. Dire, en justifiant votre réponse, où doivent être placés le point E sur le segment [BC] et le point

F sur le segment [CD] pour qu'on ait bien affaire à un patron de pyramide. Pour qu'on ait bien affaire au patron d'un tétraèdre, il faut qu'on puisse faire coïncider par pliage le

segment [EB] et le segment [EC], et donc que EB = EC (i.e. E milieu du segment [BC]). De même,

il faut qu'on puisse faire coïncider par pliage le segment [FC] et le segment [FD], et donc que FC

= FD (i.e. F milieu du segment [CD]). appliqué au triangle FCE rectangle en C).

4.a) Montrer que l'on peut faire coïncider la pyramide avec le coin d'un cube de côté 4 cm.

Représenter un cube en perspective cavalière et y tracer une représentation de la pyramide. Les anglesEKF,EKAetFKAsont tous droits, on peut donc faire coïncider les faces (EKF),

(EKA) et (FKA) du tétraèdre AEFK avec les faces (LKN), (LKA) et (NKA) d'un cube ABCDKLMN où les angles la hauteur correspondante]. Aire(EFK) = (KE x KF)/2 = 2 cm2. Volume(KAFE) = (KA x Aire(EFK))/3 = 8/3 cm3 ((KA) est bien orthogonale au plan (KEF) car orthogonale aux droites (KE) et (KF)).

5. Calculer l'aire du triangle AEF.

Aire(AEF) = Aire(ABCD) - Aire(ADF) - Aire(ABE) - Aire(CEF) (d'après le découpage du carré

ABCD).

Puis, Aire(AEF) = AB x AD - (AD x DF)/2 - (AB x BE)/2 - (CE x CF)/2 = (4 x 4 - (4 x 2)/2 - (4 x 2)/2 - (2 x 2)/2) cm2 = 6 cm2.

6. Soit H la projection orthogonale de K sur le plan (AEF). Calculer KH.

Un nouveau calcul du volume du tétraèdre KAFE me permet de déduire la hauteur KH du tétraèdre. Volume(KAFE) = (KH x Aire(AEF))/3 = (KH x 6)/3 cm2 = 8/3 cm3.

Je conclus que KH = 8/6 cm = 4/3 cm.

7. Montrer que dans le patron ci-dessus, les droites (AE) et (BF) sont perpendiculaires. Soit r la rotation de centre O (centre du carré ABCD) et qui envoie A sur B, B sur C, C sur D et D

sur A (propriété concernant les isométries du carré). Alors, l'image du milieu du segment [BC], E, est le milieu du segment [CD], F.

Puis, les droites (AE) et (BF) sont perpendiculaires car r((AE)) = (BF) et puisqu'une droite et son image forment entre elles l'angle de la rotation qui est de 90°.

8. Montrer que H est l'orthocentre du triangle AEF.

Soit X l'orthocentre du triangle AEF.

Voici la figure ... Je vais tout d'abord essayer de déterminer les longueurs A'X et E'Y. Je pose donc A'X = x cm et E'Y

= y cm. Détermination de AA', EE' et FF'.

Retour sur la pyramide et le point H.

Le triangle AHK est rectangle en H. On peut donc lui appliquer le théorème de Pythagore pour

segment [EF] comme axe de symétrie et comme le triangle AEH est également isocèle admettant la

médiatrice du segment [EF] comme axe de symétrie, la droite (HA) est donc une hauteur du triangle

AEF (car la médiatrice de la base principale d'un triangle isocèle est aussi hauteur issue du sommet

le point H est l'orthocentre du triangle AEF.

Note : je pourrais expliquer aussi que lors du pliage autour de la droite (AE), le point B est toujours

inclus dans un plan orthogonal à la droite (AE) pour conclure que la droite (BK) est orthogonale à la

droite (AE) sur le patron. Etc. Mais ceci était-il un argument qui aurait convaincu le jury ? Exercice [Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, La

Réunion, 2000] On considère une pyramide SEFG. Les points I, J, K, L et M sont les milieux respectifs de [SE],

[SG], [GF], [EF] et [EG].

1. Prouver que (IL)//(JK) et que IJKL est un parallélogramme. 2. On suppose, seulement dans cette section, que SF = EG. Quelle est la nature de IJKL ? 3. On suppose, seulement dans cette section, que (SF) est orthogonale au plan (EFG). Démontrer

que IJKL est un rectangle.

4. Quelle condition suffit-il d'imposer au triangle SEG pour que le quadrilatère SIMJ soit un losange

? 5. Quelle condition suffit-il d'imposer au triangle SEG pour que le quadrilatère SIMJ soit un

rectangle ? 6. Dessiner le patron d'une pyramide SEFG telle que SIMJ soit un carré et IJKL un rectangle. Solution [Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, La

Réunion, 2000]

1. Prouver que (IL)//(JK) et que IJKL est un parallélogramme. Je trace d'abord la figure ... Le théorème de la droite des milieux appliqué dans le triangle SEG avec I milieu du segment [SE]

et J milieu du segment [SG] donne (IJ)//(EG) et IJ = EG/2.

Le théorème de la droite des milieux appliqué dans le triangle FEG avec L milieu du segment [FE]

et K milieu du segment [FG] donne (LK)//(EG) et LK = EG/2. Ainsi (IJ)//(EG)//(LK) et les droites (IJ) et (LK) sont parallèles.

De plus, IJ = EG/2 = LK et IJ = LK.

Le quadrilatère (convexe) IJKL a ses côtés opposés [IJ] et [LK] égaux (en mesure) et parallèles, est,

par conséquent un parallélogramme.

2. On suppose, seulement dans cette question, que SF = EG. Quelle est la nature de IJKL ? De la même manière que pour la question 1, je sais que (IL)//(SF)//(JK) et que IL = SF/2 = JK.

Ainsi, si SF = EG, je déduis que IL = SF/2 = EG/2 = IJ.

Le parallélogramme IJKL possède donc deux côtés consécutifs [IJ] et [IL] égaux (en mesure) et

IJKL est un losange.

3. On suppose, seulement dans cette section, que (SF) est orthogonale au plan (EFG). Démontrer

que IJKL est un rectangle. Je sais que (SF) ┴ (EFG), mais je sais également que (IL)//(SF). Je déduis alors que (IL) ┴ (EFG).

Puis, que la droite (IL) est orthogonale à toute droite du plan (EFG) et en particulier à la droite

(LK).

Le parallélogramme IJKL possède donc deux côtés consécutifs [IL] et [LK] perpendiculaires et

IJKL est un rectangle.

4. Quelle condition suffit-il d'imposer au triangle SEG pour que le quadrilatère SIMJ soit un losange

? Le théorème de la droite des milieux appliqué dans le triangle SEG avec I milieu du segment [SE]

et M milieu du segment [EG] donne (IM)//(SG) et IM = SG/2. Or J est milieu du segment [SF], donc SJ = SG/2.

Le quadrilatère (convexe) SIMJ a ses côtés opposés [IM] et [SJ] égaux (en mesure) et parallèles,

est, par conséquent un parallélogramme.

Pour que le parallélogramme SIMJ soit un losange, il suffit qu'il ait deux côtés consécutifs égaux

(en mesure), par exemple SI = SJ (i.e. SE = SF car SI = SE/2 = SF/2 = SJ).

Sous la condition "le triangle SEF est isocèle en S", le quadrilatère IJKL est donc un losange.

5. Quelle condition suffit-il d'imposer au triangle SEG pour que le quadrilatère SIMJ soit un

rectangle ?Pour que le parallélogramme SIMJ soit un losange, il suffit qu'il ait deux côtés consécutifs

perpendiculaire, par exemple (SI) ┴ (SJ) (i.e. (SE) ┴ (SF)).

Sous la condition "le triangle SEF est rectangle en S", le quadrilatère IJKL est donc un rectangle.

6. Dessiner le patron d'une pyramide SEFG telle que SIMJ soit un carré et IJKL un rectangle. Si le triangle SEG est isocèle rectangle en S, le quadrilatère SIMJ est à la fois losange (question 4) et

rectangle (question 5), donc un carré. Si (SF) est orthogonale au plan (EFG), alors le quadrilatère IJKL est un rectangle (question 3). Ainsi, il s'agit ici de tenir compte de ces deux conditions : SFE et SFG sont deux triangles rectangles en F (ils sont isométriques), EFG est un triangle isocèle en F,

SEG est un triangle isocèle rectangle en S.

Je peux obtenir plusieurs tétraèdres différents. En effet, le point F peut se déplacer sur le demi-cercle de diamètre [SE] extérieur au trianggle EGS (cependant sans trop se rapprocher du point E)...EG

S F1F2 F3

Exercice [Lyon, 1998] On dispose d'un parallélipipède rectangle dont les côtés ont pour longueurs respectives AB = a, AD

= AA' = a/2. Soient I, J, I' et J' les milieux respectifs des segments [AB], [AD], [A'B'] et [A'D']. On considère le solide S de sommets B, D, J, I, B', D', J' et I'.

On admettra que les quadrilatères BDD'B' et IJJ'I' sont des rectangles. Dans les constructions demandées ci-dessous, on prendra pour longueur a, le segment ci-dessous : 1. Construire le quadrilatère BDJI à la règle non graduée et au compas. Indiquer sa nature. Calculer

son aire en fonction de a.

2. Construire un patron du solide S, à la règle graduée et au compas. Ecrire le programme de

construction. 3. Quelle est l'aire totale de ce solide exprimée en fonction de a ? 4. Quelle proportion du volume du parallélépipède initial représente le volume de ce solide S ? Solution [Lyon, 1998]

Je commence par tracer le solide BDJIB'D'J'I' en perspective cavalière.

1. Construire le quadrilatère BDJI à la règle non graduée et au compas. Indiquer sa nature. Calculer

son aire en fonction de a.

Dans l'ordre et en bref l'explication de la construction de la figure ... a) construction du segment [AB] de longueur a ; b) construction du milieu I du segment [AB] (construction de la médiatrice (M1M2) du

segment [AB]) ; c) construction de la perpendiculaire à la droite (AB) passant par A (construction du

symétrique I' de I par rapport au point A, puis construction de la médiatrice (N1N2) du

segment [II']) ; d) construction du point D ; e) construction du milieu J du segment [AD] (construction de la médiatrice (N1N2) du

segment [AD]) ; f) construction du point O, centre du carré (comme intersection des médianes [M1M2] et

[N1N2]) ; g) construction du symétrique C de A par rapport au point O. Les étapes f) et g) sont inutiles pour l'obtention du quadrilatère BDJI.

Pour montrer que le quadrilatère BDJI est un trapèze, il suffit d'utiliser le théorème de la droite des

milieux dans le triangle ABD où I est milieu du segment [AB] et où J est milieu du segment [AD]

pour obtenir (IJ)//(BD). Calcul de l'aire du trapèze BDJI : Aire(BDJI) = Aire(BAD) - Aire(IAJ) = (AB x AD)/2 - (AI x AJ)/2 = (3 x a2)/16.

2. Proposer un patron du solide S.

3. Quelle est l'aire totale de ce solide exprimée en fonction de a ? Il s'agit donc de l'aire du patron proposé. Aire totale = Aire(IBB'I') + Aire(BDD'B') + Aire(DJJ'D') + Aire(JII'J') + Aire(BDJI) +

Aire(B'D'J'I').

Le théorème de la droite des milieux dans le triangle ABD où I est milieu du segment [AB] et où J

Retour sur la calcul d'aire (avec toutes les conditions admises sur certaines faces, il s'agit bien d'un

4. Quelle proportion du volume du parallélépipède initial représente le volume de ce solide S ? Volume(BDJIB'D'J'I') = Aire(BDJI) x BB' = (3 x a2/16) x a/2 = 3 x a3/32.

Volume(ABCDA'B'C'D') = Aire(ABCD) x BB' = AB x AC x BB' = a3/4. Le rapport des volumes se calcule aisément : Volume(BDJIB'D'J'I')/Volume(ABCDA'B'C'D') = (3 x a3/32)/(a3/4) = 3/8. Exercice [Bordeaux, Clermont, Nantes, Poitiers, Ile de la Réunion (2), 1999]

Reproduire sur votre copie le tableau ci-dessous et le compléter en répondant par oui ou par non.

Pour la dernière ligne, on nommera un triangle autre que ceux qui figurent dans le tableau.Justifier vos affirmations concernant la nature des triangles AFC et EHG.

2. On considère que la figure ci-dessus représente un cube en bois (de 10 cm d'arête). On le partage en deux morceaux à l'aide d'une scie, qu'on suppose sans épaisseur réalisant une

coupe plane passant par les trois points R, S et T.

Le point R est à 6 cm du sommet E, sur l'arête [EH]. Le point S est à 3 cm du sommet E, sur l'arête

[EA]. Le point T est à 6 cm du sommet E, sur l'arête [EF]. On applique une des deux surfaces obtenues sur un tampon encreur et on imprime cette section RST

sur une feuille. 2.a) Sans faire de calcul, dessiner en taille réelle à l'aide de la règle et du compas le contour de la

surface imprimée. On utilisera des constructions géométriques annexes (les faire figurer sur la

copie). Expliquer succinctement la construction géométrique. 2.b) Calculer la dimension exacte de la longueur TR.

2.c) Calculer l'aire exacte en cm2 de la section obtenue. Solution [Bordeaux, Clermont, Nantes, Poitiers, Ile de la Réunion (2), 1999]

1. Reproduire sur votre copie le tableau ci-dessous et le compléter en répondant par oui ou par non.

Pour la dernière ligne, on nommera un triangle autre que ceux qui figurent dans le tableau. Il ne semble utile de justifier les réponses. Aussi, je me contente de remplir le tableau. Justifier vos affirmations concernant la nature des triangles AFC et EHG.

Le triangle EHG est isocèle rectangle en H (car EFGH est un carré). Le triangle AFC est équilatéral (en effet, si a est le côté du cube, d'après le théorème de Pythagore

non rectangle. 2.a) Sans faire de calcul, dessiner en taille réelle à l'aide de la règle et du compas le contour de la

surface imprimée. On utilisera des constructions géométriques annexes (les faire figurer sur la

copie). Expliquer succinctement la construction géométrique. Le triangleEst-il rectangle ?Est-il isocèle ?Est-il équilatéral ?

DJH ACG AFC EHG

OuiNonNon

Le triangleEst-il rectangle ?Est-il isocèle ?Est-il équilatéral ?

DJHNonOuiNon

ACGOuiNonNon

AFCNonOuiOui

EHGOuiOuiNon

OuiNonNonACJ ou ...

Je pense à tracer les triangles ERS, EST et ERT pour construire les longueurs RS, ST et RT.

Je construis un segment [R1T] qui mesure 12 cm. Je construis la médiatrice (d) du segment [R1T] (à l'aide de la règle non graduée et du compas) qui

coupe le segment [R1T] en le point E (tel que R1E = ET = 6 cm). Sur la droite (d), je place les points S et R2 tels que le point E appartienne au segment [R2S], que

R2E = 6 cm et que ES = 3 cm. Je trace le cercle C1 de centre S et de rayon [SR1] et le cercle C2 de centre T et de rayon [TR2]. Ces

cercles C1 et C2 se coupent en deux points dont l'un que je nomme R.

2.b) Calculer la dimension exacte de la longueur TR.

2.c) Calculer l'aire exacte en cm2 de la section obtenue. De la même manière, le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle TES rectangle en E donne

TRS est isocèle en S). Le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle SHT rectangle en H

Exercice [Besançon, 1998] ABCDEFGH est un prisme droit de "hauteur" AE = 5 cm. Les faces ABCD et EFGH sont des

trapèzes rectangles isométriques avec AD = AB = 6 cm, BC = 12 cm etDAB=ABC= 90

degrés. On place sur l'arête [DA], le point I tel que DI = 2 cm et sur l'arête [DC], le point I tel que

DJ = DC/3.

1. Calculer DC.

2. Calculer la longueur de chacune des arêtes de la pyramide DIJH.

3. Construire au compas et à la règle (règle graduée et non graduée) le triangle IJH en vraie

grandeur en laissant apparents les traits de construction. 4. Calculer l'aire du triangle ACD. En déduire celle du triangle IJD.

5. Quel est le volume du solide DIJH ? Solution [Besançon, 1998]

1. Calculer DC.

Soit H1 le pied de la hauteur du triangle BCD issue de D.

Le quadrilatère ABH1D est alors un rectangle car il possède trois angles droits (en A, en B et en H1).

2. Calculer la longueur de chacune des arêtes de la pyramide DIJH.

Les six arêtes de la pyramide DIJH sont [DI], [DJ], [DH], [IJ], [IH] et [JH].

Ainsi, d'après la réciproque du théorème de Thalès, j'obtiens (IJ)//(AC) et IJ/AC = 1/3. Le théorème

3. Construire au compas et à la règle (règle graduée et non graduée) le triangle IJH en vraie

[UV] qui se coupent en deux points dont un que je baptise W. En posant I = R, H = U et J = W, j'obtiens le triangle IJH.

4. Calculer l'aire du triangle ACD. En déduire celle du triangle IJD.

Soit H2 le pied de la hauteur du triangle ACD issue de C.

Le quadrilatère ABCH2 est est alors un rectangle car il possède trois angles droits (en A, en B et en

H2). Par suite, CH2 = BA = 6 cm, AH2 = BC = 12 cm. J'ai Aire(ACD) = (AD x CH2)/2 = (6 x 6)/2 cm2 = 18 cm2.

Comme ID/AD = JD/CD = IJ/AC = 1/3, je déduis que le triangle IDJ est une réduction du triangle

ADC de rapport 1/3.

Or, le réduction agit au simple sur les longueurs, au carré sur les aires et au cube sur les volumes,

donc Aire(IDJ) = (1/3)2 x Aire(ADC) = 2 cm2.

5. Quel est le volume du solide DIJH ? Volume(DIJH) = (Aire(DIJ) x DH)/3 = 10/3 cm3 ([DH] étant une hauteur du prisme, est encore une

hauteur du solide DIJH).

Exercice [Corse, 1998] 1. Quelle est la nature du triangle HBC ? Justifier votre réponse. 2. On étudie le triangle HDB.

2.a) Calculer les mesures exactes DB et HB. (Tous les calculs doivent être justifiés.) 2.b) Démontrer que les droites (KI) et (HB) sont parallèles. En déduire KI.

2.c) Dessiner le triangle HDB en vraie grandeur. 3. On considère la pyramide de sommet H ayant pour base le triangle BCD.

3.a) En dessiner un patron à l'échelle 1:2.

3.b) Calculer le volume de cette pyramide. Solution [Corse, 1998]

1. Quelle est la nature du triangle HBC ? Justifier votre réponse. Le triangle HBC est rectangle en C car la droite (BC) est orthogonale au plan (DCG). En effet, la

droite (DC) est perpendiculaire à la droite (BC) (vu que le quadrilatère ABCD est un carré) et car la

droite (GC) est perpendiculaire à la droite (BC) (vu que le quadrilatère BCGF est un carré). Ainsi, la

droite (BC) est perpendiculaire à toute droite du plan (DCG) et en particulier à la droite (CH).

2. On étudie le triangle HDB.

2.a) Calculer les mesures exactes DB et HB. (Tous les calculs doivent être justifiés.) 2.b) Démontrer que les droites (KI) et (HB) sont parallèles. En déduire KI.

2.c) Dessiner le triangle HDB en vraie grandeur. De la même façon que pour la première question, je montrerais que le triangle HDB est rectangle en

D. [DB] est une diagonale du carré ABCD. Une application directe du théorème de Pythagore me

Dans le triangle HDB, I est milieu du segment [DB] et K est milieu du segment [DH]. Le théorème

de la droite des milieux me permet de déduire que les droites (IK) et (BH) sont parallèles. De plus,

La question portant sur le dessin du triangle HDB ne requiert, a priori, pas de construction. Il me

suffit donc de fournir un dessin sans explication ... 3. On considère la pyramide de sommet H ayant pour base le triangle BCD.

3.a) En dessiner un patron à l'échelle 1:2.

3.b) Calculer le volume de cette pyramide. Là encore, il me suffit de fournir un dessin sans explication ...

Et le volume de cette pyramide ... Volume(BCDH) = (Aire(BCD) x DH)/3 = (BC x CD x DH)/6 = 36 cm3 ([HD] étant une hauteur du

cube, est encore une hauteur de la pyramide BCDH). Exercice [Aix, Marseille, Corse, Montpellier, Nice, Toulouse, 2004]

On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous, de côté 4 cm. I, J, K et L sont les milieux respectifs

des côtés [BC], [EH], [AD] et [FG].

1) Le point D appartient-il au segment [IG] ? Expliquer.2) a) Justifier que AC = CH = HF = FA.

2) b) Peut-on dire que ACHF est un losange ? Expliquer.3) Démontrer que les quadrilatères AICK, CKJG et AIGJ sont des parallélogrammes.4) Démontrer que AIGJ est un losange.5) Le quadrilatère AIGJ est-il un carré ? Justifier.

6) Construire, à la règle et au compas, le losange AIGJ en vraie grandeur en laissant visibles tous les

traits de construction. La description de la procédure de construction n'est pas demandée.Solution [Aix, Marseille, Corse, Montpellier, Nice, Toulouse, 2004]

1) Le point D appartient-il au segment [IG] ? Expliquer.Les apparences peuvent être trompeuses ...Le segment [IG] est inclus dans le plan (BCG) et le point D appartient au plan (ADH). Or, les plans

(BCG) et (ADH) sont parallèles et n'ont par conséquent aucun point en commun ; le point D n'appartient donc pas au segment [IG].

2) a) Justifier que AC = CH = HF = FA.

Facile !Les segments [AC], [CH], [HF] et [FA] sont des diagonales de carrés isométriques. Donc, AC =

les plans (BCG) et (ADH) sont parallèles et n'ont, par conséquent, aucun point en commun ; les segments [CF] et [AH] ne sont donc pas coplanaires, ce qui induit que le quadrilatère ACHF n'est pas un losange.

3) Démontrer que les quadrilatères AICK, CKJG et AIGJ sont des parallélogrammes.Soit O le centre du carré ABCD et sO la symétrie de centre O.

Je sais que sO(A)=C et que sO(D)=B, donc, sO([AD])=[CB] et, la symétrie centrale conservant les milieux, sO(K)=I.

Ensuite, le quadrilatère ICKA admet O comme centre de symétrie et est donc un parallélogramme

(car un quadrilatère possédant un centre de symétrie est un parallélogramme).Je sais que la droite (CG) est orthogonale au plan (BCD), donc la droite (CG) est orthogonale à

toute droite du plan (BCD) et, en particulier à la droite (CK), ce qui induit que l'angle estKCGdroit.De même, je sais que la droite (CG) est orthogonale au plan (FGH), donc la droite (CG) est

orthogonale à toute droite du plan (FGH) et, en particulier à la droite (GJ), ce qui induit que l'angle

CGJest droit.De plus, les droites (DH) et (KJ) sont parallèles car, comme les droites (KD) et (JH) sont parallèles,

comme KD = JH = 2 cm, et comme le quadrilatère KDHJ est convexe, le quadrilatère KDHJ est un

parallélogramme.Puis, comme les droites (DH) et (CG) sont parallèles, les droites (CG) et (KJ) sont aussi parallèles

(transitivité du parallélisme) (de là, les points C, G, K et J sont coplanaires).La droite (KJ) est donc aussi orthogonale au plan (BCD), donc la droite (KJ) est orthogonale à toute

droite du plan (BCD) et, en particulier à la droite (KC), ce qui induit que l'angle

CKJ est droit.Le quadrilatère CGJK possède donc trois angles droits et est, par conséquent, un rectangle (et aussi

un parallélogramme).Les droites (AI) et (KC) sont parallèles et AI = KC car le quadrilatère AICK est un parallélogramme.

D'autre part, les droites (KC) et (JG) sont parallèles et KC = JG car le quadrilatère CKGJ est un

parallélogramme. Ainsi, comme les droites (AI) et (JG) sont parallèles (par transitivité du

parallélisme) (de là, les points A, I, G et J sont coplanaires), comme AI = JG (= KC) et comme le

quadrilatère AIGJ est convexe, le quadrilatère AIGJ est un parallélogramme.

Autre démonstration : Les triangles AEJ et ILG sont isométriques car ils possèdent deux mesures de côté et un angle en

commun : EJ = LG = 2 cm ;AE = IL = 4 cm (car IL = BF puisque, comme les droites (BI) et (FL) sont parallèles, comme BI =

FL = 2 cm, et comme le quadrilatère BILF est convexe, le quadrilatère BILF est un

parallélogramme) ;AEJ= ILG= 90° (car le parallélogramme BILF est aussi un rectangle puisqu'il possède un

angle droit en B).

Les triangles AEJ et ILG sont isométriques et sur des faces parallèles (ADH) et (BCG). Le polyèdre

AEJILG est donc un prisme (oblique) et les faces latérales AICK, CKJG et AIGJ sont des parallélogrammes. conséquent, un losange.

(BCD), donc la droite (KJ) est orthogonale à toute droite du plan (BCD) et, en particulier à la droite

(KI), ce qui induit que l'angle

JKIest droit.KJ = CG = 4 cm car le quadrilatère CKJG est un rectangle.AE = KJ = 4 cm puisque, comme les droites (AK) et (EJ) sont parallèles, comme AK = EJ = 2 cm,

carré.6) Construire, à la règle et au compas, le losange AIGJ en vraie grandeur en laissant visibles tous les

traits de construction. La description de la procédure de construction n'est pas demandée.En noir, ce qui est directement repris de la figure.En rouge, la construction de la longueur AJ.

En vert, la construction du triangle AHG rectangle en H. En bleu, la construction du losange AIGJ qui utilise le report du segment [AG], puis le report de la

longueur AJ comme rayon de chacun des deux cercles.Exercice [Toulouse, 1999] ABCD est un rectangle tel que AB = 24 cm, BC = 16 cm, E est le milieu de [AB], F est le milieu de

[CD], G est le projeté orthogonal de E sur la droite (AF).

1. Montrer que AECF est un parallélogramme. 2. Déterminer l'aire du parallélogramme AECF.

3. Calculer la longueur AF.

4. En déduire la longueur EG.

5. On découpe le parallélogramme AECF et on l'enroule sur lui-même de telle sorte que A vienne en

F et E en C. On forme ainsi la face latérale d'un cylindre de révolution. 5.a) Calculer la valeur exacte du rayon de la base, puis en donner une valeur approchée à un

mm près par défaut. 5.b) Calculer la valeur exacte de son volume, puis en donner une valeur approchée à un mm3

près. Solution [Toulouse, 1999]

1. Montrer que AECF est un parallélogramme. Je commence par tracer la figure ...

Le quadrilatère ABCD est un rectangle, donc les droites (AE) et (FC) sont parallèles et de plus, AB

= CD, donc AE = AB/2 = CD/2 = FC. Ainsi, AECF est un quadrilatère (convexe) ayant ses côtés opposés [AE] et [FC] égaux en mesure et parallèles et est un parallélogramme.

2. Déterminer l'aire du parallélogramme AECF.

Aire(AECF) = AE x BC = 192 cm2.

3. Calculer la longueur AF.

Le théorème de Pythagore appliqué au triangle ADF rectangle en D (puisque le quadrilatère ABCD

4. En déduire la longueur EG.

Je calcule l'aire du parallélogramme AECF d'une seconde façon Aire(AECF) = AF x EG = 192 cm2. Puis, connaissant AF, je déduis EG = 192/20 cm = 9,6 cm.

5.a) Calculer la valeur exacte du rayon de la base, puis en donner une valeur approchée à un mm

près par défaut. Le cercle de base a donc un périmètre de 20 cm (son périmètre coïncide avec la mesure su segment

[AF]). Le rayon r de ce cercle est donc r= 20/(2π) cm = 10/π cm.

10/3,14 < 3,2 et une valeur approchée de r au millimètre près par défaut est 3,1 cm.

5.b) Calculer la valeur exacte de son volume, puis en donner une valeur approchée à un mm3 près. Volume(cylindre) = π x r2 x EG = π x (10/π)2 x 9,6 cm3 = 960/π cm3 (EG est bien la hauteur du

960/3,141593 < 960/π < 960/3,141592 < 305,578 et une valeur approchée de Volume(cylindre) au

millimètre cube près par défaut est 305,577 cm3.

Exercice : Patrons inachevés

1. Complète les deux figures suivantes de manière à ce que les figures obtenues soient patrons de

pyramides ont la base soit un carré (les deux pyramides sont différentes).

2.Complète les deux figures suivantes de manière à ce que les figures obtenues soient patrons de

pyramides dont la base soit un hexagone régulier (les deux pyramides sont différentes). Solution : Patrons inachevés

Les points sont nommés pour pouvoir expliquer le raisonnement ... Il s'agit de tracer un patron de la

pyramide ABCDS, de sommet S (le sommet S est déjà représenté deux fois sur le patron inachevé :

par S2 et S4). En d'autres termes, il manque deux représentants de S sur la figure : S1 et S3.

Pour ce premier patron inachevé, une procédure est ici fort simple à trouver, puisqu'il s'agit de

tracer les triangles SAB et SCD et qu'on connaît toutes les dimensions de ces triangles : - pour SAB, AB est donné, SA est représenté par S4A, et SB est représenté par S2B, ce qui fournit le

point S1 comme intersection de deux cercles (en rose dans la figure ci-dessous),- pour SCD, CD est donné, SC est représenté par S2C, et SD est représenté par S4D, ce qui fournit le

point S3 comme intersection de deux cercles (en vert dans la figure ci-dessous).

Les points sont nommés pour pouvoir expliquer le raisonnement ... Il s'agit de tracer un patron de la

pyramide ABCDS, de sommet S (le sommet S est déjà représenté deux fois sur le patron inachevé :

par S3 et S4). En d'autres termes, il manque deux représentants de S sur la figure : S1 et S2.

Pour ce deuxième patron inachevé, une procédure est plus difficile à trouver, puisqu'il s'agit de

tracer les triangles SAB et SBC mais que la longueur SB n'est pas explicitement donnée sur la figure

de départ. J'utilise alors le raisonnement suivant : "Si je considère que je laisse la base de la pyramide dans le même plan, complètement inchangé, et

que je rabats les faces triangulaires vers le "haut", je me rends compte, que le sommet S d'un des triangles rabattus (qui est aussi, accessoirement ,le sommet de la pyramide) reste dans un plan quiquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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