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Thème : Taux d'évolution, suites géométriques

Introduction :

Ce thème est abordé dès la classe de 1ère. En 1ère STG les élèves abordent les taux d'évolution

ainsi que les suites arithmétiques et géométriques, tout comme en 1ère ES. Cette étude se poursuit

en terminale STG où l'on aborde les taux d'évolution moyens et le taux dévolution global. De plus,

ils font le lien entre les suites et les taux d'évolution.

En terminale ES spécialité mathématiques ils étudient les suites géométriques avec des taux

notamment des placements avec intérêts composés.

L'exercice proposé s'inscrit bien dans le thème. En effet, il s'agit d'étudier le taux d'évolution du

nombre d'ordinateurs de 1995 à 2005. Il fait également intervenir le taux moyen ainsi que les taux

d'évolution successifs.

L'originalité de cet exercice porte sur la dernière question où l'élève doit modéliser la situation avec

une suite géométrique, donc faire le lien entre les taux d'évolution et les suites.

Exercice proposé au candidat :

1.Déterminons le taux d'évolution du nombre d'ordinateurs de 1995 à 2005 dans cette

commune sachant qu'en 1995 il y avait 1203 ordinateurs et en 2005 on en dénombrait 3120 : Soit t le taux d'évolution du nombre d'ordinateurs de 1995 à 2005.

1203⇔t=3120

1203-1⇔t=1,59Par conséquent le taux d'évolution est de 159%

2.Il y a 10 ans de 1995 à 2005 donc le problème revient à calculer le taux d'évolution moyen

tM de 10 évolutions successives dont le taux global T est 1,59. Le coefficient multiplicateur moyen est :

1tM=1T1

10 ⇔1tM=11,59 1

10⇔tM=0,1

Par conséquent le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'ordinateurs de 1995 à 2005 dans cette commune est 10%

3.Supposons que le taux d'évolution annuel moyen est de 0,07 de 1995 à 2000.

On cherche le taux d'évolution moyen

tM pour la période 2000-2005. Autrement dit on cherche tMtel que : 11,59=10,075×1tM5. 11,59 10,0751

5-1⇔tM=0,85Par conséquent il y a eu une augmentation de 85% pour la période 2000-2005

4.D'après la question 2) le taux annuel moyen de 1995 à 2005 est tM=0,1

Or le taux annuel moyen reste constant, on reconnaît alors une suite géométrique de premier terme

1203 et de raison 1,1:

un=1203×1,1n

On cherche le plus petit entier n tel queun≥10000:un≥10000⇔ 1203×1,1n≥10000⇔1,1n≥10000

1203

1203

⇔n≥ln10000

1203×1

ln1,1≈22,2

pour n = 23 le nombre d'ordinateurs dépassera 10000 pour la première fois dans cette commune si

tMreste constant. C'est à dire en 2018 car la suite géométrique est strictement croissante.

Méthodes Savoirs

-Modéliser le problème à l'aide des suites -utilisation d'une calculatrice, d'un tableur ou de la fonction logarithme afin de trouver le premier terme d'une suite géométrique qui franchit un seuil donné-définition du taux dévolution -définition du taux moyen d'évolution de n

évolutions successives

-définition d'une suite géométrique de raison q et de premier terme u0-propriétés des fonctions logarithme -définition du multiplicateur 1+t

Deux exercices : l'un destiné à une classe de terminale STG et un autre à une classe terminale ES.

Le premier est assez similaire à l'exercice proposé par le jury mais il est intéressant de voir

que dans cet exercice les élèves sont nettement plus guidés pour la modélisation. Ils vont alors faire

l'étude de la suite et l'utilisation de la calculatrice est demandée dans l'énoncé alors que ce n'était

pas le cas dans l'exercice proposé. La calculatrice sera utile pour déterminer le premier terme de la

suite géométrique qui est supérieur à 163.

Le deuxième permet de comparer deux suites géométriques. Les élèves vont devoir traduire

l'énoncé avec des suites. Pour comparer ces deux suites, ils pourront alors faire une conjecture grâce

à la calculatrice ou à un logiciel traceur de courbes puis le vérifier de manière calculatoire.

Cet exercice est un problème concret puisqu'il fait intervenir un problème de la vie courante.

Exercice 1 :

Tous les 5 ans, on effectue un relevé de la population d'une ville B.

En 1980, ce relevé a donné 125 milliers d'habitants ; les relevés suivants montrent une

augmentation régulière de 3% Soit Rn la valeur (en milliers d'habitants) du relevé de rang n (

R0 = 125 en 1980, R1

relevé en 1985,etc...)

1.Calculer R1,R2 et R3

2.Exprimer Rn1 en fonction de

Rn. En déduire que la suite Rn est géométrique ; on précisera le premier terme et la raison

3.Exprimer Rn en fonction de n

4.Si cette évolution se poursuit, quelle population peut-on prévoir pour 2010 ?

Donner en milliers d'habitants, une valeur approchée à 10-1 près de cette population

5.En utilisant la calculatrice, déterminer le rang du relevé pour lequel la population dépasse

pour la première fois 163 milliers d'habitants.

En déduire l'année correspondante.

Résolution :

1. R1=125×1,03=128,76 ; R2=125×1,032=132,6; R3=125×1,033=136,6 2.

Rn1=Rn×1,03donc Rn est géométrique de premier terme R0=125 et de raison

q=1,03

3.Rn=125×1,03n

4. Sachant que n = 0 correspond à l'année 1980, l'année 2010 correspond au rang n= 6 puisqu'on

effectue un relevé tous les cinq ans.

R6=125×1,036=149,2

5. On cherche le plus petit entier naturel n tel que Rn≥163

Rn≥163

⇔125×1,03n≥163 ⇔1,03n≥163 125

125 ⇔n≥ln163

125×1

ln1,03≈8,9

donc pour n= 9 c'est à dire en 2025 la population dépasse pour la première fois 163 milliers

d'habitants.

Exercice 2 :

Déterminer le placement le plus intéressant en fonction de la durée :

2500 euros au taux annuel de 5% à intérêt composé

2400 euros au taux annuel de 6% à intérêt composé

Résolution :

Soit un=2500×1,05n

vn=2400×1,06nOn cherche le plus petit entier naturel n tel que vn≥un vn≥un 2400

2500≥1,05

1,06n ⇔

ln0,96≥nln1,05

1,06

⇔ ln0,96 ln 1,05 ⇔n≥4,3Donc après 5 ans le deuxième placement sera plus intéressantquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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