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Jules Svartz
Lycée Masséna
Lycée Masséna
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Lycée Masséna
Préambule
Ces notes de cours sont issues du cours d"informatique commune (IPT) subi par les élèves du lycée Masséna des
classes de première année MPSI (831), PCSI (833) et de deuxième année MP*, MP, PC*, PC.Le cours présenté ici est très détaillé, et tous les points ne sont pas nécessairement abordés en classe : il se veut
utile autant pour l"élève qui veut un récapitulatif que pour celui qui souhaite aller plus loin.
Le polycopié se divise en 4 parties, elles-mêmes subdivisées en 13 chapitres. À ceux-ci s"ajoute un dernier chapitre
explicitant brièvement l"usage des modules usuels en Python, notamment Numpy. Les trois premières parties sont
relatives au programme de première année, la quatrième au programme de deuxième année. Le plan choisi est le
suivant :La première partie est dév olueà l" "initiation ». Malgré ce nom, elle est fondamen tale,notammen tles c hapitres
2 et 3. Elle se subdivise en 4 chapitres :
Le c hapitre0 est un c hapitred"in troductionà l"informatique, il présen teun p ointde vue historique sur le
développement de cette discipline, les principaux éléments constitutifs d"un ordinateur et le rôle du système
d"exploitation. Le cours présenté ici est habituellement présenté en fin d"année, par choix pédagogique :
il est en effet plus facile d"expliquer précisément le comportement d"un micro-processeur à des élèves qui
savent déja programmer et ont une connaissance du système de numération binaire.Le c hapitre1 présen tede manière d étailléeles élémen tsau programme concernan tla programmation en
Python. Il est en pratique présenté peu à peu en cours et en TP, parallèlement aux chapitres qui suivent.
L"utilisation des modules n"est pas présentée en détail dans ce chapitre mais reléguée en fin de polycopié.
Le c hapitre2 présen tela représen tationdes nom bres(en tieret flottan ts)dans un ordinateur. Il est plus
détaillé que ce que préconise le programme officiel, mais les algorithmes de changements de base sur les
entiers offrent une bonne introduction à l"algorithmique. L"addition des entiers relatifs sur des registres de
taille fixée permet de plus de comprendre le fonctionnement d"un processeur. Enfin, la représentation des
flottants offre un premier avertissement sur les erreurs d"arrondis.Le c hapitre3 donne les outils p ourl"analyse théorique des algorithmes (terminaison / correction / com-
plexité). C"est un chapitre crucial où sont présentés les algorithmes " basiques » au programme de première
année : parcours de listes, recherche dichotomique ou de motif dans une chaîne de caractères...
La deu xièmepartie e stdév olueà l"analyse n umérique.Elle es ttrès (p eut-êtretrop) détaillée, mais c"es tégalemen t
un choix pédagogique motivé par l"importance qu"occupent les questions d"analyse numérique dans les concours.
Elle se découpe en 5 chapitres.
Le c hapitre4 présen teune sensibilisation aux erreurs n umériqueset fait suite au c hapitre2. P eut-êtreun
peu rébarbative, il explique certains comportements " étranges » observés en TP, à cause de l"utilisation
des nombres flottants.Le c hapitre5 présen teles deux métho desau programme p ourla résolution d"é quationsn umériques: la
méthode de la dichotomie et la méthode de Newton.Le c hapitre6 présen tela résolution d"équations linéaires via l"algorithme du piv otde Gauss. Là encore, on
fait attention aux erreurs d"arrondis.Le c hapitre7 présen tedes métho desd" intégrationde fonctions. Bien que la seule métho deau programme
soit la méthode des rectangles (à gauche), on étudie également des méthodes d"ordre supérieur, notamment
la méthode des trapèzes qui fait des apparitions régulières aux concours.Le c hapitre8 présen tedes mé thodesde résolution d"équations différen tielles.On fait le lien a vecle c ha-
pitre précédent : les méthodes de résolution sont vues comme des applications des méthodes d"intégration
approchée. Là encore, seule la méthode d"Euler (explicite) est au programme, mais d"autres méthodes font
également l"objet de questions aux concours.
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Lycée Masséna
Le c hapitre9, u niquec hapitrede la partie 3 (Bases de données), p résenteles bases de SQL et de l"algèbre
relationnelle. Le choix de présenter l"algèbre relationnelle (pas clairement au programme) est là aussi motivé par
sa présence aux concours. La partie 4 (Algorithmique a vancée)présen tele programme de deuxième année.Le c hapitre10 présen teles algorithmes de tris " naïfs », c"est-à-dire q uadratiques.C "estune b onneo ccasion
de mettre en pratique les concepts introduits au chapitre 3.Le c hapitre11 présen tela structure de pile (seule structure abstraite au programme). P ourjustifier le
chapitre, plusieurs applications sont données. On présente également une autre structure abstraite, celle de
file.Le c hapitre12 in troduitla récursivité, en s"appuy antsur le c hapitreprécéden t.P ourne pas se can tonner
aux exemples " triviaux » d"algorithmes récursifs, on présente notamment un algorithme " Diviser pour
régner ».Enfin, le c hapitre13 pré sente,en lien a vecle c hapitreprécéden t,les deux algorithmes de tri efficaces au
programme : le tri fusion et le tri rapide. On donne également un algorithme de calcul de la médiane en
temps linéaire en moyenne, basé sur une variante du tri rapide.Le c hapitre14, relégué en annexe, donne une présen tationdes mo dulesusuels. Bien que leur connaissance ne
soit pas exigible à l"écrit des concours, les écrits proposent souvent des questions où ils sont utilisés (notamment
Numpy), même si certaines fonctions sont données en formulaire. La connaissance des modules est également
utile pour la deuxième épreuve de mathématiques à l"oral de Centrale, ou encore pour effectuer des modélisations
dans un TIPE.Licence.Cette oeuvre est mise à disposition sous licence Attribution - Partage dans les Mêmes Conditions 2.0 France.
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Creative Commons, PO Box 1866, Mountain View, CA 94042, USA.Svartz Page 4/191
TABLE DES MATIÈRESLycée MassénaTable des matièresI Initiation11
0 Ordinateurs, Systèmes d"exploitation et Python 13
0.1 Qu"est ce qu"un ordinateur? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130.1.1 Turing et ses machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130.1.2 Prémices aux ordinateurs et modèle de Von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150.1.3 Le rôle de chaque élément. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160.1.4 Avantages et inconvénients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170.1.5 De nos jours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170.1.6 Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170.2 Le système d"exploitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180.2.1 Le multitâche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 90.2.2 Identification des utilisateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
190.2.3 Organisation des fichiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200.2.4 Droits d"accès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200.3 Le langage Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211 Programmation en Python23
1.1 Types simples et expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231.1.1 Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231.1.2 Entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241.1.3 Flottants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251.1.4 Booléens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251.2 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261.2.1 Identificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261.2.2 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271.3 Structures de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281.3.1 Python et l"indentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281.3.2 Instruction conditionnelle if/else (si/sinon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281.3.3 Boucle conditionnelle while (tant que) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
291.3.4 Boucle inconditionnelle for... (pour...) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301.3.5 Break et Continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
311.3.6 Boucles imbriquées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
321.4 Structures de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
321.4.1 Listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
321.4.2 Tuples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
351.4.3 Chaînes de caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
361.5 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 81.5.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
381.5.2 Notions et syntaxe de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
381.5.3 Variables locales et globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
411.5.4 Passage par références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
421.5.5 Une fonction : un objet comme les autres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
421.6 Entrées/Sorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
431.6.1 print et input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
431.6.2 Fonctions pour les fichiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRESLycée Masséna2 Entiers, Flottants472.1 Représentation des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
472.1.1 Écriture dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
472.1.2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
482.2 Représentation des entiers relatifs en binaire, additions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
512.2.1 Entiers naturels de taille fixée et additions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
512.2.2 Entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
522.2.3 En pratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
542.3 Représentation des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
552.3.1 Représentations des nombres dyadiques en binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
552.3.2 Nombres flottants normalisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
562.3.3 Exceptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
562.3.4 Arrondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
573 Analyse d"algorithmes59
3.1 Terminaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
593.1.1 Quelques exemples, exponentiation rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
603.1.2 Variant de boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
603.2 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
613.2.1 Correction des boucleswhile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
3.2.2 Correction des bouclesfor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
3.2.3 D"autres exemples : parcours linéaires de listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
633.2.4 Recherche efficace dans une liste triée : recherche dichotomique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
633.3 Complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
643.3.1 Introduction et tri par sélection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 43.3.2 Complexité : définitions et méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 63.3.3 Applications aux algorithmes vus précédemment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
673.3.4 Quelques ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
683.4 Recherche d"un motif dans une chaîne de caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68II Analyse numérique 71
4 Estimation d"erreurs numériques 73
4.1 Rappels sur la représentation des nombres réels : précision absolue et relative . . . . . . . . . . . . . .
734.2 Erreurs sur les sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
734.2.1 Erreur sur la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
734.2.2 Erreur sur le produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
764.3 Phénomènes d"instabilité et remèdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
764.3.1 Phénomènes de compensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
764.3.2 Problèmes mal posés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
785 Résolution d"équations numériques 81
5.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
815.2 Méthode de la dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
815.3 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
835.3.1 Principe et code Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
835.3.2 Convergence de la méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
845.3.3 Variations et extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
856 Pivot de Gauss et résolution de systèmes linéaires 87
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
876.2 Formalisme matriciel et opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
876.2.1 Formalisme matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
876.2.2 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
886.3 L"algorithme du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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