[PDF] le triangle de Pascal - le binôme de Newton - une introduction

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Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

le triangle de Pascal - le binôme de Newton une introduction

J-P SPRIET

2015
1/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

Plan Voici un exposé présentant le triangle de Pascal et une application au binôme de Newton.

1Le triangle de Pascal

2Le binôme de Newton

2/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k Plan

1Le triangle de Pascal

définition propriétés calcul desun,k

2Le binôme de Newton

3/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k On va définir unesuite doubled'entiers que l'on peut ranger dans un tableau 4/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k On va définir unesuite doubled'entiers que l'on peut ranger dans un tableau dont les lignes et les colonnes sont numérotées à partir de 0 comme sur ce dessin : 4/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k On va définir unesuite doubled'entiers que l'on peut ranger dans un tableau dont les lignes et les colonnes sont numérotées à partir de 0 comme sur ce dessin :

012345

0 1 2 3 4 5k n u0,0 u

1,0u1,1

u4,2... u

5,0u5,5

4/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k On va définir unesuite doubled'entiers que l'on peut ranger dans un tableau dont les lignes et les colonnes sont numérotées à partir de 0 comme sur ce dessin :

012345

0 1 2 3 4 5k n u0,0 u

1,0u1,1

u4,2... u

5,0u5,5

u n,kest le terme situé dans la case du tableau situé à la lignen et à la colonnek. 4/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k On va définir unesuite doubled'entiers que l'on peut ranger dans un tableau dont les lignes et les colonnes sont numérotées à partir de 0 comme sur ce dessin :

012345

0 1 2 3 4 5k n u0,0 u

1,0u1,1

u4,2... u

5,0u5,5

u n,kest le terme situé dans la case du tableau situé à la lignen 4/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k La suiteudes termesun,kest construite de la façon suivante : 5/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k La suiteudes termesun,kest construite de la façon suivante : u n,0=1 pour toutn≥0 :

012345

0 1 2 3 4 5k n 1 1u1,1 u4,2... 1 u5,5 5/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k La suiteudes termesun,kest construite de la façon suivante : u n,0=1 pour toutn≥0 :

012345

0 1 2 3 4 5k n 1 1u1,1 u4,2... 1 u5,5 Autrement dit, la première colonne correspondant àk=0 n'est composée que de 1. 5/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k Puis on poursuit la construction des termesun,kde la façon suivante : 6/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k Puis on poursuit la construction des termesun,kde la façon suivante :un,n=1 pour toutn≥0 :

012345

0 1 2 3 4 5k n 1 1 1 u4,2... 1 1 6/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k Puis on poursuit la construction des termesun,kde la façon suivante :un,n=1 pour toutn≥0 :

012345

0 1 2 3 4 5k n 1 1 1 u4,2... 1 1 Autrement dit, la première diagonale n'est composée que de 1. 6/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k Puis on poursuit la construction des termes situés à l'intérieur du triangle : 7/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k Puis on poursuit la construction des termes situés à l'intérieur du triangle :un,k+un,k+1=un+1,k+1pour toutnetktels que

012345

0 1 2 3 4 5k n 1 1 1 .u3,1u3,2... .u4,2... 1 1 7/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k Puis on poursuit la construction des termes situés à l'intérieur du triangle :un,k+un,k+1=un+1,k+1pour toutnetktels que

012345

0 1 2 3 4 5k n 1 1 1 .u3,1u3,2... .u4,2... 1 1 Autrement dit, la somme des deux termes des cases bleues donne le terme de la case rouge. 7/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k Les trois règles précédentes permettent de remplir ligne après ligne le tableau : 8/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k Les trois règles précédentes permettent de remplir ligne après ligne le tableau : les deux premières règles : u n,0=1 pour toutn≥0 u n,n=1 pour toutn≥0 8/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k Les trois règles précédentes permettent de remplir ligne après ligne le tableau : les deux premières règles : u n,0=1 pour toutn≥0 u n,n=1 pour toutn≥0

012345

0 1 2 3 4 5k n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k Les trois règles permettent de remplir ligne après ligne le tableau : 9/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k Les trois règles permettent de remplir ligne après ligne le tableau : la troisième règle : 9/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k Les trois règles permettent de remplir ligne après ligne le tableau : la troisième règle :

012345

0 1 2 3 4 5k n 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 permet de remplir la ligne correspondant àn=2 9/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k la troisième règle : permet de remplir la ligne correspondant àn=3 :

012345

0 1 2 3 4 5k n 1 1 1 1 2 1 131
1 1 1 1 10/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k la troisième règle : permet de remplir la ligne correspondant àn=3 :

012345

0 1 2 3 4 5k n 1 1 1 1 2 1 13 31 1 1 1 1 11/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k la troisième règle : permet de remplir la ligne correspondant àn=4 :

012345

0 1 2 3 4 5k n 1 1 1 1 2 1 13 31 1 1 1 1 12/51

Introduction

Le triangle de Pascal

Le binôme de Newton

définition propriétés calcul desun,k la troisième règle : permet de remplir la ligne correspondant àn=4 :

012345

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