[PDF] Chapitre 4 - Formules de Taylor et développements limités

View - Download Chapitre 4 - Formules de Taylor et développements limités

Previous PDF

Next PDF

Chapitre4

FormulesdeTayloret

d´eveloppementslimit´es

4.1Taylor -Lagrange

Sia,b?R,onn oteI nt(a,b)l' intervalleouvertdontlesbornessontaetb,c' est-`a-direInt(a,b)=]a,b[si n?N.Onsupposequefdecl asseC n etquef (n) d´erivable.Soita,b?]α,β[.Alors,ilexistec?Int(a,b) t.q. f(b)= n k=0 (b-a) k k! f (k) (a)+ (b-a) n+1 (n+1)! f (n+1) (c).(4.1)

Onrappe lleque,parconvention,x

0 =1p ourt outx?Ret0!=1.

D´emonstration:Lad´ emonstrationdeceth´eor`emeconsiste`a appliqu erleth ´eor`emedesaccroissements

finis(ou,plus simplemen t,leth´eor`em e3.1)`aunefonctionconvenablementchoisi e.

Onpose

d= (n+1)! (b-a) n+1 f(b)- n k=0 (b-a) k k! f (k) (a) desorte quef(b)= n k=0 (b-a) k k! f (k) (a)+ (b-a) n+1 (n+1)! d.Il s'agitm aintenantded´e montrerqu'ilexiste c?Int(a,b)t.q.d=f (n+1) (c).

Pourx?]α,β[,onpose

?(x)= n k=0 (b-x) k k! f (k) (x)+ (b-x) n+1 (n+1)! d. 60

Onremar queque?(a)=f(b)(gr ˆaceauchoixded)et?(b)=f(b).Lafonc ti on?estd´eri vablesur]α,β[

etona,pou rt outx?]α,β[, (x)=- n k=1 (b-x) k-1 (k-1)! f (k) (x)+ n k=0 (b-x) k k! f (k+1) (x)- (b-x) n n! d n-1 k=0 (b-x) k k! f (k+1) (x)+ n k=0 (b-x) k k! f (k+1) (x)- (b-x) n n! d= (b-x) n n! (f (n+1) (x)-d).

Onutil isemaintenantleth´eor`e me3.1(th´eor`emedeRolle).La fonction ?estcontinu esurl'intervalle

ferm´edontlesborness ontaetbetd´er ivablesurl'intervalleouvertdon tlesbornes sontaetb(c'est- `a-diresurl'interval leInt(a,b)).Comme?(a)=?(b),Ilex istedon cc?Int(a,b)t.q.? (c)=0, ceq ui donne(commeb-c?=0) d=f (n+1) (c).

Onen d´eduit bienf(b)=

n k=0 (b-a) k k! f (k) (a)+ (b-a) n+1 (n+1)! f (n+1) (c).

4.2Taylor -Young

Notation:Lorquel'on dit qu'unepropri ´et´eestv raie"auvoisi nage"deaouen core"pourxsuffisamment

prochedea",cela signifiequ'il existeγ>0t. q.pourtoutx?[a-γ,a+γ]la propri ´et´eestvraie.

.On supposequefdecl asseC n .Soita?]α,β[.Alors,ona:

1.Pourtoutx?]α,β[,

f(x)= n k=0 (x-a) k k! f (k) (a)+(x-a) n h(x),aveclim x→a h(x)=0 (4.2) (etdo nchcontinueena,sionajout eh(a)=0).Ond itquehestun" peti to"de(x-a)eton noteh(x)=o(x-a).

2.Pourtoutx?]α,β[,

f(x)= n-1 k=0 (x-a) k k! f (k) (a)+(x-a) n H(x),

D´emonstration:Onvad´ emontr erlepremieritemduth´eor`eme 4.2enapp liquantleth´eor`eme4.1` a

l'ordren-1.Soi tx?]α,β[,x?=a.D' apr`esleth´eor`eme4.1il existe c x ?Int(a,x)t.q. f(x)= n-1 k=0 (x-a) k k! f (k) (a)+ (x-a) n n! f (n) (c x n k=0 (x-a) k k! f (k) (a)+(x-a) n h(x), avech(x)= 1 n! f (n+1) (c x )-f (n) (a) 61

Soitmainten antε>0.Com mef

(n) estcontin ueena,ilexisteα>0t.q. (n) (y)-f (n)

Commec

x ?Int(a,x),onadon cau ssi (n) (c x )-f (n)

Cequip rouvebien quelim

x→a h(x)=0. Pourmontrer ledeuxi`emeitem,on remarqu esimplementquepourx?]α,β[,x?=a,

H(x)=h(x)+

1 n! f (n) (a).

Onadonc lim

x→a H(x)= 1 n! f (n) (a),onend ´ed uitque Hestuefonct ionborn´ eeauvoisinagedea.

Remarque4.1

1.Avecleth´e ror`eme 4.2pourn=1,on ret rou velad´efinitiondelad´er iv´ee ,c'est-`a-dire:

f(x)=f(a)+(x-a)f (a)+(x-a)h(x), aveclim x→a h(x)=0. Onr em arquealor squel'hypoth`ese"fdeclass eC 1 "dan sleth´er or`eme4. 2 n'estpasn´ecess aire(il su ffi td efd´erivableena,la contin uit´edef n'estpasn´ecess aire).C eciest g´en´eral,voirl'itemsuivant.

2.Leth ´eror`eme4.2estencorevraiesousl'hy poth`e seplusfaib le(aulieudefdeclass eC

n ):fde classeC n-1 etf (n-1) d´erivableena.

Leth ´eor`eme4.2(Taylor-Young)donneun iqueme nt,pourafix´e,uneinformati onlocalesu rf(c'est-`a-

direuneinform ationsurlec omportementdefauvoi sinagedea).Leth´ eor` eme4.1(Taylor-Lagrange)

donneuneinform ationlocalep luspr´ecise(carildonneune pr´ecisionsurla fonctionh(x)de laform ulede

Taylor-Young),commenousallonslevoirdansl' exemplesuivan t.Ildonne aussiuneinform ationglobal e surf,mˆemesiaestfix´e( voiraussil'exe mplesuivant) .Unetroisi`eme formuledeTaylor,laformulede

Tayloravecreste int´egral,este ncorepluspr´eci se.Ellen´ecessitelaconst ructiondel 'int´egrale,nousl a

verronsdoncauchapitre 5. Exemple4.1(Exemplesd 'applicatio ndesformulesdeTaylor)Nouscomme n¸consparuneappli- cationdelaformu ledeTa ylor-Y oungpuisdecelledeTa ylor-Lagr ange.

1.(ApplicationdeTaylor-Young,n=1)S oit0 <α<1.Laf ormu ledeTaylor-Youngper metde

calculerlalimitedef(x)=(x+3) -(x+1) quandx→∞.(D anslecasparticu lierα=1/2,

uneautred´ emonstrationposs ible,classique,consiste`autiliser l'astucedela"quantit´econju gu´ee".)

dansR,de classeCquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

[PDF] formule de trigonométrie pdf

[PDF] formule de ventura passini

[PDF] formule de wilson pdf

[PDF] formule débit volumique

[PDF] formule degré de liberté mécanique

[PDF] formule degré de signification

[PDF] formule delta maths

[PDF] formule delta put

[PDF] formule des probabilités composées

[PDF] formule des probabilités totales

[PDF] formule des probabilités totales continue

[PDF] formule des probabilités totales exercices corrigés

[PDF] formule développée diazote

[PDF] formule du nivellement barométrique

[PDF] formule du taux de variation du pib