[PDF] Options exotiques 18 avr. 2000 2 Symé

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Options exotiques

Nicole El Karoui,

April 18, 2000

1 Introduction

fonds de pension, etc... La notion d'exotisme est bien s^ur toute relative, car au fur et µa mesure qu'un produit ¯nancier devient trµes liquide il perd progressivement son caractµere d'exotisme. rapport µa l'option classique qu'elles o®rent souvent. Les options barriµeres sont un de con¯gurations moindre que l'option classique, par exemple seulement si le sous- au voisinage de la barriµere. jacent log-normal quelconque. Les options barriµeres binaires nous servent de transi- CMAP, Ecole Polytechnique. 91128 Palaiseau Cedex, France 1 2 ret dividendeq, de dynamique dX t=Xt[(r¡q)dt+¾dWt] sous-jacent vautxµa la datet

Call (t;x;K) =xe¡q(T¡t)N"

d

1Ãxe¡q(T¡t)

Ke

¡r(T¡t)!#

¡Ke¡r(T¡t)N"

d

0Ãxe¡q(T¡t)

Ke

¡r(T¡t)!#

(2.1) et celui d'un Put

Put (t;x;K) =Ke¡r(T¡t)N"

d

1ÃKe¡r(T¡t)

xe

¡q(T¡t)!#

¡xe¡q(T¡t)N"

d

0ÃKe¡r(T¡t)

xe

¡q(T¡t)!#

(2.2) avec d

1(®) =1

p

T¡tLn(®) +1

2 ¾p

T¡t

d

0(®) =d1(®)¡¾p

T¡t:

d

1(®) =1

t;TLn(®) +1 2

§t;T

d

0(®) =d1(®)¡§t;T

avec §

2t;T=Z

T t¾2(s)ds. Nous rappellons que le Call (resp. le Put) sont des fonctions homogµenes ¸Call (t;x;K) = Call (t;¸x;¸K);¸Put (t;x;K) = Put (t;¸x;¸K);(2.3) 3

DeltaC(t;x;K) =e¡q(T¡t)N"

d

1Ãxe¡q(T¡t)

Ke

¡r(T¡t)!#

DeltaP(t;x;K) =¡e¡q(T¡t)N"

d

0ÃKe¡r(T¡t)

xe

¡q(T¡t)!#

DeltaC (t;x;K) = DeltaC (t;¸x;¸K);DeltaP (t;x;K) = DeltaP (t;¸x;¸K): (2.4) Nous utiliserons souvent qued1(®) =¡d0(1=®). Dans toutes les formules, nous notons le temps courant en premiµere variable, la valeur du sous jacent en seconde variable, et la valeur du strike en troisiµeme variable. Call(t;Ke¡¹(T¡t);x) = Put(t;xe¡¹(T¡t);K) (2.5) oµu¹est le co^ut de portage¹=r¡q. Call (t;x;K) =e¡¹(T¡t)Put(t;K;xe2¹(T¡t)) (2.6) Put (t;x;K) =e¡¹(T¡t)Call(t;K;xe2¹(T¡t)) (2.7)

2.1.1 Les options binaires et les Delta de couverture

du prix d'exercice. au strike, et 0 sinon. De m^eme un Put binaire est une option qui paye 1FF si le Le Call binaire est donc la limite quandh!0 du Call-spread1 h [C(T;K)¡C(T;K+ Il est bien connu que le prix d'un Call binaire (resp. d'un put binaire) est

BinC(t;x;K) =e¡r(T¡t)N"

d

0Ãxe¹(T¡t)

K (2.8)

BinP (t;x;K) =e¡r(T¡t)N·

d

1µK

xe (2.9) 4

Delta:

Proposition 2.2

BinC(t;x;K) =¡e¡¹(T¡t)DeltaP(t;K;xe2¹(T¡t)) (2.10) BinP(t;x;K) =e¡¹(T¡t)DeltaC(t;K;xe2¹(T¡t)(2.11) Les Delta sont replicables au moyen de portefeuillles statiques

DeltaC (t;x;K) =1

x [Call (t;x;K) +KBinC (t;x;K)]

DeltaP (t;x;K) =1

x [Put (t;x;K)¡KBinP (t;x;K)](2.12)

²knock-out options :

L'option expire automatiquement quand le sous-jacent

²knock-in options :

Par exemple

²Un DOC (down-and-out Call

l'option d'acheter le sous-jacent au prixKau tempsTsi le sous-jacent ne descend jamais en-dessous deH.

²Un UOC (up-and-out Call

est montante.

²Un DIC (down-and-in Call

barriµere.

²Un UIC (up-and-in Call

barriµere .

²Un DIP est un (down-and-in Put

5 au-dessous de la barriµere.

²Un DIB (down-and-in Bond

Exemple :

rant dans 6 mois. Si le change mark-dollar est de 1,4225, la valeur d'un put de prix niveauH= 1;27 la valeur de l'option 0,011 est presque 4 fois moindre. ²Une option barriµere qui est en dehors de la monnaie lorsque la barriµere est option. (par exemple, pour un DIC telle queK < Hla valeur intrinsµeque (x¡K)+ option. ²Certaines options barriµeres sont assorties d'une compensation, lerebate , sous forme de cash si l'option est out. Le prix du rebate est celui d'une option binaire µa barriµere. En particulier, le rebate est souvent choisi pour qu'il y ait on choisit un rebate def(H) µa la barriµere. Remarquons que par arbitrage, ^etre long d'une option in et d'une option out est les options in.

4 Evaluation et couverture de l'option DIC regu-

lar sur sous-jacent martingale barriµereH·K. 6 dM t=Mt¾(t)dWt: M(x;K;H) le prix de l'option DIC, par CallM(x;K) le prix du Call standard sur le sous-jacentMartingale. Comme le co^ut de portage est nul, Call

M(t;x;K) = PutM(t;K;x):(4.1)

4.1 Evaluation de l'option DIC regular sans co^ut de portage

strike par hypothµese. de portage. (i) Pourx·H, DIC

M(x;K;H) = CallM(x;K):(4.2)

(ii) Pourx¸H, DIC

M(x;K;H) =K

H

PutM(x;H2

K ) = CallM(H;Kx H ):(4.3) (i) pourx¸H, deK=HPuts de strikeH2=K (ii) d'un Call pourx·H. D encore une formule explicite pour l'option DIC T

H= inffs¸t;Xs·Hg(4.4)

le premier instant aprµestoµu le sous-jacent passe en-dessous de la barriµere. 7 Call

M(TH;H;K) =K

H

PutM(TH;H;H2

K

L'option qui µa la barriµere vaut Put

M(TH;H;H2

K ;T) est un Down and In Put. Par suite, l'option DIC H options DIPM(x;H2 K ;H). H2 K

L'option barriµere DIP

M(x;H2

K K ) pour pour conclure.2

BinDIC

M(x;K;H) =x

H

BinCM(H;Kx

H ) (4.5)

DeltaDIC

M(x;K;H) =¡K

H

BinCM(H;Kx

H ) =¡Ke¡rT H

N(d0(H2

xK )):(4.6) La BinDIC est replicable par un portefeuille dynamique deDeltaP

BinDIC

M(x;K;H) =¡x

H

DeltaP(x;H2

K ):(4.7) DIB

M(x;H) =xe¡rT

H

N(d0(H

x )) +N(d1(H x D remarquant que BinDIC

M(x;K;H) =¡@

@K

DICM(x;K;H):Celle sur le Delta est

8 DIB

M(x;H) = BinDICM(x;H;H) + BinPM(x;H)

x H

BinCM(H;x) + BinPM(x;H)

=e¡rT[x H

N(d0(H

x )) +N(d1(H x On obtient de la m^eme fa»con le prix d'un Put binaire : Proposition 4.3Le prix d'un Up and In Put regular (H¸K) sur un sous jacent (i) Pourx¸H,UIPM(x;K;H) = PutM(x;K), (ii) Pourx·H,UIPM(x;K;H) =K H

CallM(x;H2

K

4.2 Couverture de l'option DIC regular

K H

Puts tant que le sous-jacent

+DICM(H;K;H) =¡Ke¡rT H

N(d0(H

K

¡DICM(H;K;H) = DeltaCM(H;K) =N(d1(H

K Par suite, le delta de couverture n'est pas continu µa la barriµere, et admet un saut avantT +¡¢¡]DICM(H;K;H) =¡e¡rT H [KN(d0(H K )) +HN(d1(H K =¡DIBM(K;H):(4.8) Le saut est donc toujours plus petit que 1 en valeur absolue.

Q, soit

dM t=Mt¾(t)dWt; M0=x:(4.9) 9 M

1(0) =x1;M2(0) =x2M2(t) =x2

x 1M

1(t):(4.10)

Comme d'habitude, le prix d'une option d'achat (de vente) et celui d'une option Call

M(x;K;T) =e¡rTEQ[(MT¡K)+]

Put

M(x;K;T) =e¡rTEQ[(MT¡K)¡]

BinC

M(x;K;T) =e¡rTQ[MT¸K]

BinP

M(x;K;T) =e¡rTQ[MT·K]:

Les options barriµeres ont des pay-o®s de la m^eme forme, lorsque le sous-jacent est franchie, T

H= infft;Mt·Hginf(;) = +1

fTH·Tg=finf0·t·TMt·Hg:

°ux terminaux par les relations

e rTDICM(x;K;H) =EQ[1fTH·Tg(MT¡K)+] e rTBinDICM(x;K;H) =Q[fTH·Tg \ fMT¸Kg] =Q[finf0·t·TMt·Hg \ fMT¸Kg]: trique martingale

0·t·TMt;MT) et donc

la loi du minimum. Proposition 4.4Soit(Mt;t¸0)un sous-jacent martingale log normal sous la dM t=Mt¾(t)dWt; M0=x de condition initialexavecx¸H.

Q(inft·TMt·H; MT¸K) =x

H

Q(MT¸Kx2

H 2) =x H N" d

0ÃH2

Kx et celle du minimuminft·TXtest

Q(inft·TMt·H) =x

H

N(d0(H

x )) +N(d1(H x 10 que

Q(inft·TMt·h; MT¸kjM0= 1) =1

H

Q(MT¸k

h

2jM0= 1)

Cette formule est l'analogue pour les martingales exponentielles du principe de est constant, on peut d'ailleurs retrouver la formule pour le Brownien avec drift :

P(WT¡ºT¸®;inf0·t·T(Wt¡ºt)·¯) =e¡2º¯P(WT¡ºT¸®¡2¯)

du minimum et du sous jacent. Pour ce faire, nous avons besoin de distinguer la soitm= infs·tMs(avecm·y). Ceci nous permet de distinguer le cas oµu l'option

BinDIC

M(t;Mt;K;H) =Mt

H

BinCM(H;KMt

H Q(fTH·Tg \ fMT¸KgjFt] =Q[finft·u·TMu·Hg \ fMT¸KgjFt] Mt H Q[MTH M t¸KMt H jFt] =Mt H

N(d0(H2

KM t)) (4.11) couple (inf fx¸m > Hg

1 et de var(LnX) = §2t;T,

p

¾2(y) =1

y§t;Texp[¡1 2§

2t;Tµ

Ln(y)¡1

2 2 ]:(4.12) mainefh < k;h < mgpar

Q( inft·u·TMu2dh;MT2dk) = [3x2

h

4p¾2(kx

h

2) +2kx3

h

6p0¾2(kx

h

2)]dhdk(4.13)

11

5 Evaluation et couverture de l'option DIC regu-

5.1 Evaluation

dX t X t= (r¡q)dt+¾XdWt;X0=x:(5.1) en remarquant que tout actif lognormal est une puissance d'un actif martingale. risque neutre. Il existe une martingale log-normaleM, de valeur initialeM0=m= x

°= 1¡2¹

2X(5.2)

D que exp(¹t+¾XWt¡1 2

¾2Xt) = exp[1

(¾MWt¡1 2

¾2Mt)]

L'identi¯cation conduit µa¾M=°¾Xet¹¡1 2

¾2X=¡°¾2X

2 2Xet M t=M0exp[°¾XWt¡1 2 (¾X°)2t]:(5.3) 2

Cette remarque

BinDIC

X(x;K;H) =¡µx

H

°e¡¹TDeltaPX(x;(He¹T)2

K ) (5.4) 1 12 DIC

X(x;K;H) =µx

H

°¡1K

He

¹TPutX(x;(He¹T)2

K ) (5.5)

BinDIC

X(x;K;H) =µx

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