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Chapitre3

M´ethodesvariation nelles

3.1Exempl esdeprobl`emesvaria tionnels

3.1.1Leprobl `emedeDi richlet

SoitΩunouve rtborn´edeIR

d -Δu=f,dansΩ, u=0sur∂Ω, (3.1) o`uf?C( )etΔu=∂ 2 1 u+∂ 2 2 u,o`ul'ond´esignepar∂ 2 i ulad ´eriv´eepartielled'ordre2parrap ort`alai-`eme variable. D´efinition3.1Onap pellesolutionclassiq uede(3.1)unefonc tionu?C 2 )quiv´erifie(3.1).

Soitu?C

2 )unesol utionclassiquede(3.1), etsoit??C c ),o`uC c )d´esignel'ensembledesfonctions dec lasseC `as upp ort com pac tda nsΩ.Onmultiplie(3.1)par?eto nint`eg resurΩ(onappe lleraparlasuite? "fonctiontest"):onadonc: -Δu(x)?(x)dx= f(x)?(x)dx. deGr een),ona: -Δu(x)?(x)dx=- d i=1 2 i u(x)?(x)dx d i=1 i u(x)?(x)dx+ d i=1 i u·n i (s)?(s)dγ(s) o`un i

d´esignelai-`emecomposa nteduvecteurunitairenormal`al afront i`ere∂ΩdeΩ,etext´erieur`aΩ,etdγ

d´esignelesymboled'int´egrationsur∂Ω.Comme?estnull esur∂Ω,onobtient: d i=1 i u(x)∂ i ?(x)dx= f(x)?(x)dx. cequ is'´ecritenco re: ?u(x)·??(x)dx= f(x)?(x)dx.(3.2)

Donctoute solutionclassiq uede(3.1)satisfait(3.2)

Prenonsmaintenantc ommefonctiontest?,nonplusunefonctiondeC c ),maisunefonctiondeH 1 0 ).On rappellequel'espaceH 1 0 )estd´efi nicommel'adh´erencedeC c )dansH 1 )={u?L 2 );Du?L 2 o`uDud´esignelad´eriv´eefaib ledeu,voirparexemple[1].Onrappellequel'espaceH 1 )munidupro duit scalaire (u,v) H 1= u(x)v(x)dx+ d i=1 D i u(x)D i v(x)dx(3.3) 98

3.1.EXE MPLESCHAPITRE3.M

ETHODESVARIATIO NNELLES

estunesp acedeHil bert.Lesespaces H 1 )etH 1 0 )fontpartiedesespacesdits" deSobolev "(voir[1]pourune introduction). Si??H 1 0 ),pard´efinition,ilexiste(? n n?IN ?C c )telleque n →?dansH 1 lorsquen→+∞,

Soitencor e

n H 1=?? n 2 L 2+ ?D i n -D i 2 L

2→0lorsquen→+∞.

Pourchaqu efonction?

n ?C c )ona par( 3.2): N i=1 i u(x)∂ i n (x)dx= f(x)? n (x)dx,?n?IN.

Orl ai-`emed´eriv´eepartielle∂

i n n x i convergeversD i ?dansL 2 doncdans L 2 faiblelorsquentendvers∞, et? n tendvers?dansL 2 ).Onadonc: i u(x)∂ i n (x)dx→ i u(x)D i ?(x)dxlorsquen→+∞ et f(x)? n (x)dx→ f(x)?(x)dxlorsquen→+∞. L'´egalit´e(3.1.1)estdoncv´er ifi´eepourtoutefonctio n??H 1 0 ).Montronsmaintenantquesiuestsol ution classique(3.1)alorsu?H 1 0 ).Eneffet,siu?C 2 ),alorsu?C( )etdo ncu?L 2 );deplus∂ i u?C( donc∂ i u?L 2 ).Onadoncbienu?H 1 ).Ilreste`amontrerqueu?H 1 0 ).Pourcelaonrappelle(ouon Th´eor`eme3.2( Existenced el'op´erateurtrace)SoitΩunouvert(born´eounonborn´e)deIR d ,d≥1,defronti`ere ∂Ωlipschitzienne,alorsl'espaceC c )desfoncti onsdeclasseC et`asupportcompactdans

Ωestdens e

dansH 1 ).Onpeutdoncd´efinirparconti nuit´el'application"trace",quiestlin´eairecontinue deH 1 )dans L 2 (∂Ω),d´efiniepar:

γ(u)=u|

siu?C c etpa r

γ(u)=lim

n→+∞

γ(u

n )siu?H 1 ),u=lim n→+∞ u n ,o`u(u n n?IN ?C c Direquel' applicati on(lin´eaire)γestconti nueest´equivalent`adirequ'ilexisteC?IR telque ?γ(u)? L 2 H 1 pourt outu?H 1 ).(3.4)

Notonsqueγ(H

1 ))?L 2 ),maisγ(H 1 ))?=L 2 (∂Ω).OnnoteH 1/2 )=γ(H 1

RemarquonsquesiΩestuno uvertbo rn´e,alors

Ωestcomp actetdonctouteslesfo nctionsC

sont`asupp ort compactdans Th´eor`eme3.3( Noyaudel 'op´erateurtrace)SoitΩunouve rtborn´edeIR d defr onti`ere∂Ωlipschitzienne,etγ l'op´erateurtraced´efiniparle th´eor`eme(3.2).Alors Ker

γ=H

1 0 Siu?C 2 )estunes olutionclas siquede(3.1),alorsγ(u)=u| =0doncu?Kerγ,etparleth´eor`eme3.3, cecipr ouvequeu?H 1 0 Nousavons ainsimontr´eque toutesolutionc lassiquede(3.1)v ´erifieu?H 1 0 )etl 'egalit´e(3.2).Cetteremarque

motivel'introdu ctiondesolutionsplusg´n´erales,quipermettentdes'affranchirde lar´eg ularit´eC

2 ,etqu'onappel- lera"solution sfaibles". Analysenum´eriquede sEDP,M199Universit´eAix-Marseille1,R.Her bin,20d´ecembre2011

3.1.EXE MPLESCHAPITRE3.M

ETHODESVARIATIO NNELLES

D´efinition3.4(Formulatio nfaible)Soitf?L

2 ),onditqueuestsol utionfaiblede(3.1)siuestsol utionde u?H 1 0 N i=1 D i u(x)D i ?(x)dx= f(x)?(x)dx,???H 1 0 (3.5) D´efinition3.5(Formulatio nvariation nelle)Soitf?L 2 );onditqueuestsol utionvariationnellede(3.1)si uestsolu tionduprobl`emedem inimis ationsuivant: u?H 1 0 1 0 avecJ(v)= 1 2 ?v(x)·?v(x)dx- f(x)v(x)dx, (3.6) o`uonanot´e: ?u(x)·??(x)dx= d i=1 D i u(x)D i ?(x)dx.

Onch erche`amontrerl'exist encee tl'unicit´edelasoluti onde( 3.5)e t(3.6).Pource la,onuti liseleth´eor `emede

Lax-Milgram,qu'onrappelleici:

Th´eor`eme3.6( Lax-Milg ram)SoitHunes pacedeHilbert,s oitaunefor mebilin´eairecontinue coercivesurH

etT?H .Ilexisteununique´el´ementutelque u?H, a(u,v)=T(v).?v?H. (3.7) Dep lus,siaestsym´etrique,uestl'u niquesolutionduprobl`emedemi nimis ationsuivant: u?H, (3.8) o`uJestd´efiniedeHdansIR N par: J(v)= 1 2 a(v,v)-T(v).(3.9)

D´emonstration:

-Siaestsym´ etriquel'existenceetl'unicit´edeuestimm´ ediateparleth´eor`emederepr´es entation deRies z(car

dansceca saestunp roduit scalaire,etlaformelin´eaired ´efiniepar??→ f(x)?(x)dxestconti nuepourla normeassoci ´ee`aceproduitscalaire.). -Siaestnons ym´etriqu e,onconsid`erel'applicationdeHdansH,qui`auassocieAu,d´efinipar: (Au,v)=a(u,v)?v?H. L'applicationqui`auassocieAuestlin´ eairecontinue,et

caraestconti nue.D'autrepart,parleth´ eor`emederepr´esentationdeRiesz,o naexis tenceetunicit´ed eψ?H

telqueT(v)=(ψ,v),pourtoutv?H.Doncuestsol utiondea(u,v)=T(v),?v?Hsiet seulem entsi Au=ψ.Pourmontrerl'existenceetl'unicit´edeu,ilfautdoncmontrerqueAestbiject if. Montronsd'abordqueAestinj ectif.OnsupposequeAu=0.Ona(Au,u)≥α?u? 2 parcoerc itivit´edeaet comme?Au??v?≥(Au,v),onadonc: ?Au?≥α?u?,

Enco nclusion,siAu=0?u=0.

Analysenum´eriqued esEDP,M1100Universit´eAix-Marseille1,R.Her bin,20d´ecembre2011

3.1.EXE MPLESCHAPITRE3.M

ETHODESVARIATIO NNELLES

MontronsmaintenantqueAestsurj ectif.OnveutmontrerqueAH=H.Pourcela,onvamontrerqueAH estferm´ eetAH ={0}.Soitw?AH;ilexistealorsunesuite(v n n?IN ?Htelleque Av n →wdansH.

Montronsquelasuite(v

n n?IN convergedansH.Ona: ?Av n -Av m ?=?A(v n -v m )?≥α?v n -v m H doncl asuite(v n n?IN estdeCau chy.Onen d´eduitqu'ellecon vergever sun certainv?H.CommeAest continue,onadonc:Av n →AvdansH,etdoncw=Av?AH.

Montronsmaintenantque

AH ={0} Soitv 0 ?AH ,commeaestcoerci ve,ona:

α?v

0 2 0 ,v 0 )=(Av 0 ,v 0 )=0, onen d´eduit quev 0 =0,cequiprouvequeAH ={0}.

Pourconcl urelapreuveduth´eor`eme, ilres te`amontrerquesiaestsym´ etrique,leprobl`emedeminimisation (3.8)

est´equ ivalentauprobl`eme(3.7)Soitu?Hsolutionuniquede(3.7) ;montronsqueuestsolu tionde(3.8).Soit w?H,onvamontrerqueJ(u+w)≥J(u).

J(u+w)=

1 2 a(u+w,u+w)-T(u+w) 1 2 a(u,u)+ 1 2 [a(u,w)+a(w,u)]+ 1 2 a(w,w)-T(u)-T(w) 1 2 a(u,u)+ 1 2quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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