[PDF] Rappels de cours dalg`ebre linéaire et bilinéaire pour le CAPES

View - Download Rappels de cours dalg`ebre linéaire et bilinéaire pour le CAPES

Previous PDF

Next PDF

Rappels de cours d'algebre lineaire et bilineaire

pour le CAPES

Table des matieres

1 Espaces vectoriels2

1.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Espaces vectoriels de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Matrices et applications lineaires 6

2.1 Proprietes elementaires et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Structures d'espace vectoriel et d'algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Operations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Exemples remarquables (culture) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Determinant12

3.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Applications multilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Le determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Systemes lineaires16

4.1 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Resolution d'un systeme lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Reduction20

5.1 Valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.2 Polyn^omes d'endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.3 Diagonalisation et trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.4 Exemples d'utilisation de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Espaces euclidiens et hermitiens 24

6.1 Formes bilineaires et quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.2 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.3 Espaces hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1

Chapitre 1

Espaces vectoriels

Dans tout ce chapitreKdesignera un corps commutatif.

1.1 Generalites

Denition 1.1.1Un espace vectoriel surKest un ensembleEmuni d'une loi interne \+" et d'une loi externe \" deKEdansEveriant :

1. (E,+) est un groupe abelien

2. Pour tout(;)2KK, pour tout(x;y)2EE

(x) = ()x (+)x=x+y (x+y) =x+y 1x=x

On omettra desormais le \" pour la loi externe.

Consequences immediates: Pour tout couple (;) d'elements deKet tout couple (x;y) de vecteurs deE

1. 0x= 0E

2.0E= 0E

3.(x) =x

4. (1)x=x

5.x= 0E,= 0 oux= 0E

Denition 1.1.2SoitEun espace vectoriel surKetFune partie non vide deE. On dit queFest un sous-espace vectoriel deEsi pour tout(;)2KK, pour tout(x;y)2FF,x+y2F.

Fest alors un espace vectoriel surK.

SiFetGsont des sous-espaces vectoriels deEalorsF\Gest un sous-espace vectoriel de E; mais en generalF[Gn'est pas un sous-espace vectoriel de E (le demontrer). 2 Denition 1.1.3SoientE1etE2deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectorielE. On appellesomme deE1etE2l'ensemble E

1+E2=fx1+x2;x12E1;x22E2g:

L'ensembleE1+E2est un sous-espace vectoriel deE. C'est le plus petit sous-espace vectoriel deEqui contientE1etE2. On dit que que la somme estdirectesiE1\E2=f0g, on la note alorsE1LE2.

On dit queE1etE2sontsupplementairessiE=E1LE2.

Proposition 1.1.4On aE=E1LE2si et seulement si pour toutx2E, il existe un unique couple (x1;x2)2E1E2tel quex=x1+x2. Proposition 1.1.5SoitEun espace vectoriel etFun sous-espace vectoriel deE. On peut munir le groupe

quotientE=Fd'une structure d'espace vectoriel.E=Fest alors appele espace vectoriel quotient de E par F.

Theoreme 1.1.6Tout sous-espaceFd'un espace vectorielEadmet un supplementaire (on n'a pas unicite du supplementaire).

La preuve de ce theoreme en general necessite l'application du lemme de Zorn, on peut s'en passer si l'on

sait queEpossede une partie generatrice nie.

1.2 Applications lineaires

Denition 1.2.1SoitEetE0deux espaces vectoriels sur K. Une applicationf:E!E0est une application lineaireouhomomorphisme d'espaces vectorielssi pour tout2Ket tousx;y2E, f(x+y) =f(x) +f(y) f(x) =f(x):

On a alorsf(0E) = 0E0.

Uneforme lineaireest une application lineaire deEdansK. Proposition et denition 1.2.2SoitEetE0deux espaces vectoriels etfune application lineaire deE dansE0. L'ensembleKerf=f1(f0g) =fx2E;f(x) = 0gest appelenoyaudef. C'est un sous-espace vectoriel deE. L'ensembleImf=f(E) =ff(x);x2Egest appeleimagedef, c'est un sous-espace vectoriel deE0. Proposition 1.2.3Soit f une application lineaire deEdansE0, alorsfest injective si et seulement si

Kerf=f0g.

Proposition 1.2.4SoitEetE0deux espaces vectoriels surK. L'ensemble des applications lineaires de

EdansE0, noteL(E;E0)est un espace vectoriel surK.

Notations: On noteL(E) =L(E;E), l'espace vectoriel des endomorphismes deE. On noteE=L(E;K), l'espace vectoriel des formes lineaires surE;Eest appele le dual deE.

On noteGL(E) l'ensemble des automorphismes deE.

3 Proposition 1.2.5(GL(E);)est un groupe (en general non commutatif) appele legroupe lineairede E

1.3 Bases

Denition 1.3.1Une famille(xi)i2Id'elements d'un espace vectoriel E est appelefamille generatricede Esi tout element deEs'ecrit comme combinaison lineaire d'un nombrenid'elements de la famille; i.e. pour toutx2E, il existe une partie nieJIet une famille(j)j2Jd'elements deKtelles que x=P j2Jjxj. Denition 1.3.2Une famille(xi)i2Id'elements d'un espace vectoriel E est appelefamille libredeEsi pour toute partie nieJdeIet tout famille(j)j2Jd'elements deK X j2J jxj= 0)(8j2J; j= 0): Denition 1.3.3Une famille(xi)i2Id'elements d'un espace vectoriel E estune basedeEsi elle est libre et generatrice. Theoreme 1.3.4Une famille(xi)i2Id'elements d'un espace vectoriel E est une base deEsi et seulement si tout element deEs'ecritde maniere uniquecomme combinaison lineaire d'un nombre ni d'elements de cette famille. Theoreme 1.3.5Tout espace vectorielEnon reduit au vecteur nul admet une base. Plus precisement, soitLune famille libre deEetGune famille generatrice contenantL, il existe une baseBdeEtelle que

L B G.

De m^eme que le theoreme 1:6, ce theoreme necessite, en general, l'application du lemme de Zorn. Theoreme 1.3.6SoitEetE0deux espaces vectoriels surKetfune application lineaire deEdansE0.

Soit(ei)i2Iune base deE, alors

1.fest injective si et seulement si(f(ei))i2Iest une famille libre deE0.

2.fest surjective si et seulement si(f(ei))i2Iest une famille generatrice deE0.

3.fest bijective si et seulement si(f(ei))i2Iest une base deE0.

1.4 Espaces vectoriels de dimension nie

Denition 1.4.1SoitEun espace vectoriel surK. On dit queEest dedimension niesiEadmet au moins une famille generatrice nie. Theoreme 1.4.2SoitE6=f0gun espace vectoriel de dimension nie. Alors tout famille libre deEest nie. 4 Theoreme 1.4.3SoitE6=f0gun espace vectoriel de dimension nie. AlorsEadmet au moins une base nie. De plus toutes les bases deEsont nies et ont m^eme cardinal; ce nombre est appeledimensionde

Eet notedimE.

On convient quedimf0g= 0.

Corollaire 1.4.4SoitEun espace vectoriel de dimensionn. Alors tout famille libre deEaau plusn elements. Toute famille generatrice deEaau moinsnelements. Theoreme 1.4.5SoitEun espace vectoriel de dimensionnetFune famille deEpossedantnelements. Alors les propositions suivantes sont equivalentes : (i)Fest une partie generatrice deE. (ii)Fest une partie libre deE. (iii)Fest une base deE. Proposition 1.4.6Deux espaces vectoriels de dimensions nies sont isomorphes si et seulement si ils ont m^eme dimension. En particulier sidimE=nalorsEest isomorphe aKn. Proposition 1.4.7SoitFun sous-espace d'un espace vectorielEde dimension nie, alors dimFdimE. De plusdimE=dimFsi et seulement siE=F. Proposition 1.4.8SoitE1etE2, deux sous-espaces d'un espace vectorielE. Alors dim(E1+E2) =dimE1+dimE2dim(E1\E2)

Par consequent,dim(E1LE2) =dimE1+dimE2.

Proposition 1.4.9SoitFun sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension nieE. On a dimE=dimF+dimE=F. Tout supplementaire deFdansEest isomorphe aE=F. Theoreme 1.4.10SoitEetE0deux espaces vectoriels de dimensions nies etfune application lineaire deEdansE0. AlorsdimE=dim(Kerf) +dim(Imf) Corollaire 1.4.11SoitEetE0deux espaces vectoriels de m^eme dimension etf2L(E;E0)alors les propositions suivantes sont equivalentes (i)fest injective. (ii)fest surjective. (iii)fest bijective. 5

Chapitre 2

Matrices et applications lineaires

2.1 Proprietes elementaires et vocabulaire

Denition 1Une matriceAanlignes etpcolonnes et a coecients dans un corpsKest la donnee de npscalaires (c'est a dire d'elements deK) indices :(aij)16i6n;16j6p. En cas d'ambigute, on separe les indices par une virgule, par exempleai;j+1. L'ensemble de ces matrices est noteMnp(K).

Quelques cas particuliers :

{ les elements deMn1sont ditesmatrices colonnes { les elements deM1nsont ditesmatrices lignes { les elements deMnn, note simplementMnsont ditesmatrices carrees { une matriceAtelle queaij= 0 des quei > j(resp.i < j) est ditetriangulaire superieure(resp. inferieure) { souvent cette notion s'applique aux matrices carrees mais pas exclusivement, cf. pivot de Gauss). { Une matrice carree triangulaire superieureetinferieure est ditediagonale; notamment la matrice identite deMn, noteeI, Id ouIn. Produit de matrices : siA= (aij)2 Mnp;B= (bij)2 Mpq, on denitC=AB2 Mnqpar c ij=Pp k=1aikbkj. Notation graphique et mnemotechnique pour le produit : en ecrivant les matricesA;B

decalees, la matriceCpossede les bonnes dimensions et le termecijse voit comme le produit scalaire de

lai-ieme ligne de la matriceApar laj-ieme colonne de la matriceB. q z}|{ 0 B @b 1j... b pj1 C A9 ;p n 8 >>>>:0 ai1aip1 A |{z} p0 cij1 A 6 Calcul par blocs.Si l'on decompose les deux matricesM;Nen sous-matrices alors le produit s'ecrit en comme si les sous-matrices etaient des scalaires : A B C D A0B0 C 0D0 =AA0+BC0AB0+BD0 CA

0+DC0CB0+DD0

en tenant compte des contraintes evidentes : les tailles des sous-matrices doivent se correspondre (par exempleA2 Mn1p1;A02 Mp1q1) pour que les produits soient denis; le produit entre matrices est non commutatif (AA06=A0Aen general, a supposer que cela ait m^eme un sens).

Il n'y a aucune autre contrainte, en particulier les matrices ne sont pas necessairement carrees, ni decoupees

en le m^eme nombre de blocs (

1). Voir aussi le calcul de determinant par blocs (page 15). On dira aussi

qu'un matrice est triangulaire par blocs (inferieure ou superieure) ainsi que diagonale par blocs.

2.2 Structures d'espace vectoriel et d'algebre

Algebre des matrices.L'ensemble des matrices de taillepq,Mnp(K), possede une structure d'espace vectoriel pour les lois suivantes. SiA= (aij);B= (bij)2 Mnp(K) et2KalorsA+B= (aij+bij)2 Mnp(K). Cet espace vectoriel est de dimension nie egale anp, avec une base canonique (Eij)1in;1jp, la matrice nulle sauf en positionijou elle vaut 1. On peut noter que (Eij)ab=iajb (symbole de Kronecker), mais aussi que l'endomorphisme correspondant est deni par e b7!eisib=j

0 sinonou encoreEijX=Eij0

B @X 1... X p1 C A=0 Xj1 A eni-eme position: La structure d'espace vectoriel correspond evidemment a celle deL(Kp;Kn) (plus generalement aL(E;F), voir plus bas). Le produit matriciel est un produitbilineairedeMnp Mpq! Mnq.

Exercice 1Dans le cas des matrices carrees, montrer queEijEk`=jkEi`, par deux methodes : les coecients,

les vecteurs de base (e1;:::;en). Cas carre.Sin=p, le produit est donc une loi interne deMn MndansMn. Cela denit

exactement une algebre multiplicative (associative et unitaire maisa priorinon commutative !) (2) (3).

Le groupe (multiplicatif) des inversibles est note GL n(K). On peut aussi denir la puissance d'une matrice : A k=AAk1avec laconventionA0=Imatrice identite, et quandAest inversible,A1l'inverse deAet1

Cette approche n'est pas seulement formelle mais correspond aux decompositions des espaces vectoriels en somme

directe. Ainsi sif2 L(E;F), (e1;:::;ep) est une base deEet (f1;:::;fn) deF,M= Matfdans ces bases; alors on

peut decomposerE= Vect(e1;:::;ep1)Vect(ep1+1;:::;ep) etF= Vect(f1;:::;fn1)Vect(fn1+1;:::;fn). Le bloc

A= (aij)16i6n1;16j6p1est la matrice defjVect(e1;:::;ep1)ouest la projection deFsur Vect(f1;:::;fn1).A l'inverse

des que l'on a une decomposition en somme directe, on a une decomposition par bloc correspondante (m^eme sans parler de

base). L'ecriture matricielle n'est autre que la decomposition en les blocs les plus petits possibles, les scalaires.

2yon pourrait aussi dire que queMnest un anneau, mais cela occulterait la structure de multiplication externe par les

scalaires.

3dans les cas reel et complexe, on munit aisementMnd'une structure d'algebrenormee.

7 A k= (A1)k= (Ak)1. De m^eme pour les polyn^omes de matrices, en notant queAcommute avec ses puissances. Nilpotence : une matrice estnilpotentes'il existe un entier tel queAr= 0; le plus petitrpossible est appele l'ordre de nilpotence.

Exercice 2Montrer que les seules matrices commutant avec toutes les autres (ce qu'on appelle lecentredeGLn)

sont les matrices multiples de l'identite. Correspondance entre matrices et applications lineaires, changement de base.Un choix de base (par denition il en existe toujours en dimension nie) revient a identier un espace vectorielEde dimensionpa l'espace modeleKp. Les applications lineaires deKpdansKns'identient naturellement aux matrices. On peut parler de la matrice d'une application lineaireu:E!F, (evaluee) dansdeuxbases (ej)1jpdeEet (fi)1indeF, noteeA= Mate;fu, c'est a direaij=fi(u(ej)) (4). Concretement laj-eme colonne contient les composantes suivant la base (fi) du vecteuru(ej). Attention : pour un endomorphismefon choisit en general la m^eme base au depart et a l'arrivee (mais ce choix n'a rien d'obligatoire, voir ci-dessous les relations d'equivalence et de similitude). Le choix de deux bases engendre donc un isomorphisme (non canonique)Mnp(K)' L(E;F). Pro-

priete fondamentale (bien qu'evidente) : le produit matriciel correspond a la composition des applications

lineaires. Autrement dit, c'est un isomorphisme d'algebre. Changement de base : soitf0une nouvelle base (deF); on appelle matrice de passage la matriceP= Mat

0ff, en ecrivant les nouveaux vecteurs dans l'ancienne base. C'est aussi Matf;f0id pour l'application

lineaire identite. Les coordonnees dansFchangent suivant la formule suivante X=PX0 (voir le lien avec la reduction de Gauss, page 25).

Clairement Mat

f0f= (Matff0)1et si l'on fait jusqu'a deux changement de base, alors, si l'on note

A= Mate;fuetA0= Mate0;f0u, on a

A

0= Mate0;f0u= Matf0fMate;fuMatee0=P1AP:

Attention au contexte : tant^ot deux matrices dierentes correspondent au m^eme endomorphisme dans des

bases dierentes, tant^ot ce sont deux objets dierents dans la (les) m^eme(s) base(s). Relations d'equivalence et de similitudePour compenser l'ambigute du choix de la base qui fait que la matrice associee a un endomorphisme n'est pas unique, on denit surMnpune relation :Mest equivalenteaNsi elles correspondent au m^eme endomorphisme dans des bases dierentes, autrement il existeQ2GLn(K) etP2GLp(K) tels queN=Q1MP. C'est evidemment une relation d'equivalence. Theoreme 1Toute matriceM2 Mnp(K)est equivalente a une matriceNnulle sauf pour les termes n ii,16i6r, qui valent 1 : N0 B BB@1 11 C CCA4

rappel :fi(v) est lai-eme coordonnee devdans la base (f1;:::;fn), l'applicationfi:F!Kest uneforme lineaire;

attention elle depend de la base entiere et pas seulement du vecteur de basefi! Exercice : le prouver par un dessin.

8 Le nombrerde termes non nuls est exactement le rang de la matrice (considere comme endomorphisme,

ce qui permet de demontrer que le rang ne varie pas par equivalence). Reciproquement, deux matrices sont

equivalentes si et seulement si elles ont m^eme rang. Exercice 3Determiner les classes d'equivalence de cette relation. Dans le cas carre, on peut denir la matrice d'un endomorphisme dansune seule base(ei)1inxee. Si le changement de base estP= Matee0, les coordonnees des vecteurs dans la nouvelle base satisfont X=PX0, etM0=P1MP. Cela denit une autre relation d'equivalence :MestsemblableaNs'il existeP2GLn(K) tel queP1MP(5). Cette relation est au coeur de la theorie de la reduction.

2.3 Operations sur les matrices

Transposition.Denition (tA)ij=Aji(6). C'est une operation lineaire deMnpdansMpn. Trans- position et produit : t(AB) =tBtA,t(A1) = (tA)1. Dans le cas carre, on denit le sev des matrices symetriquesSn=fA2 Mn(K);tA=Ag, et antisymetriquesAn=fA2 Mn(K);tA=Ag. On a une decomposition en somme directeMn(K) =S(n) A(n) (7). Exercice 4Expliciter les projections dans cette somme directe.

Une base typique deSnest (Eij+Eji2

)1ijn, donc dimSn=n(n+1)2 ; pourAnon prend (Eij E ji)1iRang d'une matrice : c'est le rang de l'application lineaire associee. Corollaire : le rang est le nombre

de colonnes independantes. En utilisant le theoreme precedent, on deduit que le rang de tMest le rang deM, donc le nombre de lignes independantes = nombre de colonnes independantes. Autre

caracterisation : le rang est le plus grand entierrtel qu'il existe une matrice extraiterrinversible.

A contrario, sis > ralorstoutesles matricesssextraites sont non-inversibles (singulieres). Voir l'utilisation du determinant. Calcul du rang : le rang d'une matrice ne change pas lors des operations suivantes : permutation de lignesLi !Lj, addition entre lignes dierentesLi Li+Ljet multiplication d'une ligne par un scalaire (non nul)Li Li; idem avec les colonnes. Attention : non commutativite des operations (L2 L2+L1suivi deL3 L3+L2n'est pas equivalent aux m^emes operations dans l'ordre inverse). Utilisation du pivot de Gauss : on obtient en n le rang comme nombre de lignes non nulles.5

(yy) si deux matrices sont semblables, certains invariants sont les m^emes, comme la trace et le determinant; la reciproque

est un peu plus compliquee et fait intervenir la diagonalisation.

6Pour des raisons typographiques certains textes notent la transposeeAt.

7(y) siK=R, la somme est orthogonale quand on munitMndu produit scalaire canonique

8(yy) il y a aussi une interpretation abstraite de la transposition dans le cas general, comme matrice de latransposee

quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

[PDF] étapes simples pour protéger vos smartphones Android - Trend Micro

[PDF] Télécharger le dossier de presse - SIAE 2017

[PDF] Nouveau et gratuit ! ViaMichelin lance une nouvelle application de

[PDF] Titre document - ViaMichelin

[PDF] Dossier de conception - Toubkal-it

[PDF] Développer des applications Windows Forms avec Visual Basic

[PDF] MODELISATION FINANCIERE ET APPLICATIONS Financial

[PDF] Applied Spatial Analysis with R - HSU 's Geospatial Curriculum

[PDF] Pourcentages et coefficients multiplicateurs

[PDF] Official I-94 Fact Sheet - ICE

[PDF] Le guide nutrition pendant et après la grossesse - Livret d - Inpes

[PDF] Les apports du décret n° 2-12-349 du 20 mars 2013 - Fichier-PDFfr

[PDF] Appréciations des bulletins

[PDF] Classe agréable, dynamique, intéressée Bonne ambiance générale

[PDF] Bulletin du 1er Trimestre