[PDF] Séance 4: Analyse Factorielle des Correspondances Multiples

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S

´eance 4: Analyse Factorielle des

Correspondances MultiplesR

´evisionsS

´ebastien GadatLaboratoire de Statistique et Probabilit

´es

UMR 5583 CNRS-UPSwww.lsp.ups-tlse.fr/gadat

S´ebastien GadatS´eance 4: Analyse Factorielle des Correspondances Multiples

Codages de Variables qualitatives

AFC du tableau disjonctif complet relatif

`a 2 variablesAnalyse Factorielle des Correspondances Multiples

Interpr

´etationQuatri

`eme partie IVAnalyse Factorielle des Correspondances

Multiples

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´etationTableau disjonctif complet

G ´en´eralisation de l"AFC pourp>2observ´ees surnindividusParfois utilis ´ee pour la construction de "scores" afin d"effectuer une m ´ethode de classificationXvariable`acmodalit´es, on d´efinit lavariable indicatricecomme

?k? {1...c}X(k)(i) =1siX(i) =Xket 0 sinonOn notenkl"effectif deXkLa matrice des indicatrices deXest donn´ee par son terme

g

´en´eral

x ki=X(k)(i)♣ n? i=1x ki=...♣c? k=1x ki=...S´ebastien GadatS´eance 4: Analyse Factorielle des Correspondances Multiples

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´etationTableau disjonctif complet

On consid

`erepvariables not´eesX1,...Xpc jest le nombre de modalit´es deXjLe nombre de modalit ´es totalcest donn´e parc=...Letableau disjonctif completXde taillen×cest obtenue par concat

´enation

X=|X1|...|Xp|Chaque sous-matriceXjest obtenue comme pr´ec´edemmentXv´erifie♣ n? i=1p k=1x ki=...♣p? k=1x ki=...S´ebastien GadatS´eance 4: Analyse Factorielle des Correspondances Multiples

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´etationTableau de Burt

On construit

`a partir deXletableau de Burt:

B=X?XBa pour taillec×cOn peut

´ecrireB= (Bj,l),j,l=1...pLa taille deBj,lestcj×cl B j,l=X?jXlSij?=l,Bj,lest latable de contingencecroisantXjavecXlSij=l,Bj,jestdiagonalev

´erifiant

B j,j=diag(nj

1,...njc

j)Bestsym

´etrique, d"effectifs marginauxnljpet d"effectif totalnp2S´ebastien GadatS´eance 4: Analyse Factorielle des Correspondances Multiples

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´etationD

´emarcheOn s"int

´eresse aux r´esultats fournis par l"AFC r´ealis´ee sur|X1|X2| (table de contingence relative `a 2 variables qualitatives)On g ´en´eralise les propri´et´es obtenues dans ce cas`a un nombre plus important de variables (p)On d

´efinit ainsi l"AFCMS´ebastien GadatS´eance 4: Analyse Factorielle des Correspondances Multiples

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´etationD

´emarcheT=X=|X1|X2|rvaleurs pourX1etcpourX2Matrice despoids¯ P=1/nIn(cas´equipond´er´e)La matrice de lam

´etrique¯Dest donn

´ee par

D=12 D10 0D2? =12

ΔLe tableau des profils lignes est donn

´e par

PL=12

X?Le tableau des profils colonnes est donn

´e par

PC=1n XΔ-1S´ebastien GadatS´eance 4: Analyse Factorielle des Correspondances Multiples

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´etationACP du Profil Ligne

L"ACP du profil ligne issue de l"AFC r

´ealis´ee surTconduit`a

l"analyse spectrale de A I c?Lesr+cvaleurs propres sont k=1+⎷λ k2 o`uSp(¯PlׯPc) = (λk)k≥0M=diag(μ1,...μr+c)Les vecteurs

¯Dnorm´es se mettent sous la forme

12 U V? o

`uUetVvecteurs propres obtenus en diagonalisantABetBA.Dans la pratique, on ne garde queinf(r-1,c-1)axesLa matrice des composantes principales vaut

Cr=12 (X1Cr+X2Cc)Δ-1/2 C

retCccomposantes principales de l"AFC classiqueS´ebastien GadatS´eance 4: Analyse Factorielle des Correspondances Multiples

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´etationACP du Profil Colonne

On obtient des r

´esultats similaires en op´erant une AFC sur les profils colonnesOn diagonalise la matrice ¯PCׯPLLesr+cvaleurs propres non nulles sont lesμkLes vecteurs propres associ

´es se mettent sous la forme

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