TOPOLOGIE PDF frontière. Définition : Un

Exercices de mathématiques - Exo7

topologie induite par R. Avec A = [0 1. 2. ]

Optimisation topologique de structures élastiques par la méthode

3 mai 2011 ... frontière. La topologie optimale recherchée minimise l'énergie de déformation stockée par le système pour une masse. (ou surface) donnée. L ...

Sur le principe des singularités positives et la topologie de R. S. Martin

harmoniques en P limites du rapport des fonctions de Green. G(M

Quelques propriétés et applications nouvelles de leffilement

Cela nous ramène à étudier directement à la frontière en topologie fine les solutions de problème de Dirichlet et les fonctions surharmoniques ce par quoi

Cours de mathématiques

5 déc. 2020 R 1 – On appelle topologie de (E ·) l'ensemble de ses ouverts. Si N1 est ... 4 Frontière. Définition : Frontière. On appelle frontière de A l ...

Définition et étude dun modèle topologique minimal de

21 jan. 2008 Nous pouvons voir un exemple de graphe topologique des frontières représentant la topologie de notre image segmentée en régions figure 3.4 ...

Les propriétés topologiques du plan euclidien

— On appelle ordre de connexion d'un domaine D dont la frontière est bornée le nombre de composants de la frontière INTRODUCTION A LA TOPOLOGIE DU PXAN.

Eléments de topologie et espaces métriques

Feb 5 2016 4 Intérieur - Adhérence - Frontière - Point d'ac- cumulation. Soient A et B deux parties d'un espace topologique X. 4-a Intérieur.

Chapitre 1 ESPACES TOPOLOGIQUES

(Intérieur adhérence

Exercices de mathématiques - Exo7

(b) Soit E =]???1]?[0

Topologie analyse et calcul différentiel

d'une partie A pour une topologie O lorsque l'on veut préciser la topologie. La frontière de A est l'ensemble

TOPOLOGIE

frontière. Définition : Un point x ? X est un point frontière de A ? X si tout voisinage de x rencontre à la fois. A et son complémentaire ?XA = X A.

1ère partie : ouverts à frontière régulière espaces EmL2 ()

et muni de la topologie définie par les semi-normes. = ~ )f K désignant une base de la famille des compacts de. jR . On a alors le.

Étude comparée des deux types deffilement

la topologie fine de Cartanun outil usuel de la théorie classique théorie classique [12]

Exercices de licence

de X de complémentaire fini définit une topologie sur X. Exercice 5 Soit X un espace topologique et f une application quelconque de X dans un ensemble Y

Introduction a la Topologie - Université Grenoble Alpes

fa?con a ce que le langage de la topologie g en erale ne soit plus un nouvel obstacle a franchir (de plus les topologies non m etrisables arrivent tr es vite : conver-gence simple topologies produit quotient de Zariski ) Nous avons laiss e de c^ot e en le signalant la notion de ltre qui a ce niveau introduirait plus de

Introduction a la Topologie - Université Grenoble Alpes

pour d0: Or ces produits cartésiens forment précisément une base d’ouverts qui dé?nie la topologie produit qui est donc aussi la topologie associée à la métrique d: (b)Soient A ˆE et B ˆF Soit (x;x0) 2A BnFr(A B) dans l’intérieur de A B dans E F: Cet intérieur est un ouvert pour la topologie produit

Fiche résumée du cours de topologie 12 Espaces métriques

Oainsi dé ni est une topologie sur E appellée topologie engendrée par On dit que est une prébase de la topologie O 1 3 2 Dé nition (Base d'ouverts) Soit (E;O) un espace topologique Une base d'ouverts de la topologie Oest une famille B telle que tout ouvert de Osoit réunion d'éléments de B De manière équivalente B base de OB

K R C PROPRIÉTÉ Frontière D Élements de topologie Soit

SoitÉlements de topologie Voisinages Soit a un élément de E DÉFINITION On dit qu’une partie V de E est un voisinage de a s’il existe r > 0 tel que B o(a;r) ˆV Notation On note V E(a) ou V(a) l’ensemble des voisinages de a PROPRIÉTÉ 1 V 2V(a) =)a 2V 2 Pour tout a 2E l’ensemble V(a) 6= ; 3 ˆ V 2V E(a) V ˆW =)W 2V(a) PROPRIÉTÉ

Intérieur et adhérence - Puissance Maths

[http://mp cpgedupuydelome fr]éditéle10juillet2014 Enoncés 1 Intérieur et adhérence Exercice 1 [ 01113 ] [correction] SoientEunespacevectorielnorméetFunsous

Ouverts fermés intérieur adhérence voisinage

base d'une topologie de Eappelée la topologie de l'ordre Démonstration 5 Véri ons que ces ensembles engendrent bien par réunions une topologie de E Exemples 1 (R; 6) peut ainsi être muni d'une topologie qui sera appelée la topologie usuelle de R Remarquons que cette topologie coïncide avec la topologie mé-trique usuelle de R

Topologie - Maths MP Dumont

©LaurentGarcin MPDumontd’Urville Exemple1 2Intervallesde? Lesintervallesouvertsde?(i e delaforme]????????[)sontdesouverts(cesontdesboulesouvertes)demêmequeles

Introduction à la Topologie Générale

Introduction LetomeII:IntroductionàlaTopologieGénéraledel’ou- vrageintituléCoursd’AlgèbreetTopologiegénéralesàl’usage delicencesdeMathématiquesetd

Architecture de Réseaux Pourquoi avait-il accès près de l

Topologie/protocole hiérarchique Redondance Agrégation d’adresses (IGP et BGP) Dimensionnement Frontière Coeur Accès M ult ip env ax dr o c

Topologie courbes et surfaces discrètes - ResearchGate

Topologie courbes et surfaces discrètes 79 3 2 Courbes comme ensembles de pixels DÉFINITION 3 2 Soit d?{23}et soit ??{4861826}une relation d’adjacence sur Zd 1) Une ??courbe

Searches related to frontière topologie filetype:pdf

Remarque Les ouverts de la topologie induite sur A par la topologie de E sont donc les intersections des ouverts de Eavec A Par passage au complémentaire on véri?e facilement que les fermés de Asont aussi les intersections des fermés de Eavec A Exemple 1 6 L’intervalle [01[ est un ouvert de [02] muni de la topologie induite par T u

Quelle est la différence entre topologie et Geometrique?

1En topologie, on prefere parler de points plut^ot que d’elements d’un ensemble. Cette nuance traduit mieux l’intuition geometrique". 2Il n’est pas necessaire de mettre dans la defnition de la distance d(x;y) 2R

Pourquoi la topologie a-t-elle été créée?

Avec ses racines grecques qui signifient "étude de lieux", la topologie a été créée pour résoudre des problèmes où l'analyse et la géométrie étaient intimement liées. Son créateur : Poincaré avait proposé la construction latine "Analysis situ" qui signifie exactement la même chose. Les motivations de

Quelle est la différence entre l’Equivalence topologique et metrique?

L’equivalence topologique est une notion topologique. Des distances topologiquement equivalentes conduisent aux m^emes fonctions continues et aux m^emes suites convergentes. L’equivalence metrique est plus precise et compare vraiment les distances.

Anne Cumenge.

Ces notions ont été dénies à l'aide de celles de distance et de norme, que nous rappelons ci-dessous.

(?1)º(x) = 0 =)x= 0E

Un espace vectoriel normé (plus précisément un K-espace vectoriel normé (en abrégé e.v.n., plus précisément K-

e.v.n.)) est un couple(E;º)??E??? ?? ?????? ??º??? ????? ???E? norme euclidienne :jjxjjeucl=¡nP j=1jxjj2¢1=2;????? ??? ?jjxjj1=max1·j·njxjj?º+(x) =nP j=1jxjj ??????? ????a2X??r????¸0? B(a;r) =fx2X=d(x;a)< rg??? ?? ????? ??????? ?? ??????a?? ?????r B

0(a;r) =fx2X=d(x;a)·rg??? ?? ????? ?????? ?? ??????a?? ?????r

?????? ??????? ?? ??????a?? ????? ? ???]a¡r;a+r[??????[a¡r;a+r]?? En pratique, on suppose toujours qu'un e.v.n. est muni de la distance associée à la norme. ????x= (x1;:::;xn);y= (y1;:::;yn)2Rn? d d +(x;y) =jx1¡y1j+:::+jxn¡ynj d

1(x;y) =max(jx1¡y1j;:::;jxn¡ynj):

1. Structure topologique : dénition par famille d'ouverts.

(O ?? ?????? ??X? exemples :[0;¼]?F=f0g [ f1 n ?;??X???? ??? ??????? (III); 2 F??X2 F? n ;x+1 n ?8V2 V(a) :a2V ???V12 V(a)??V22 V(a)? ?????V1\V22 V(a) ???V2 V(a)??V½B? ?????B2 V(a) ?8V2 V(a);9W2 V(a)jW½V??(8y2W ; V2 V(y))? ?? ??????? ??X????? ??? ? ???8V2 W(a) :a2V ??????V12 W(a)??V22 W(a)? ?????V1\V22 W(a) ???????V2 W(a)??V½B? ?????B2 W(a) ????8V2 W(a);9W2 W(a)jW½V??(8y2W ; V2 W(y))?

V(x) =fV½X =9r >0; B(x;r)½Vg

chacune des familles suivantes est un s.f.v. dex? fB(x;r); r >0g?fB0(x;r); r >0g?fB(x;1 n n Tout espace métrique est à bases dénombrables de voisinages. (a)????? ????? ??????? ?????? ??????? ??X??? ?? ?????? ?????? ?? ????? ? ?? ?? ±A½A??±A??? ?? ???? ????? ?????? ??X?????? ????A?A??? ?????? ???±A=A?±

±A=±A

A½B=)±A½±B?Int(A\B) = IntA\IntB???J??? ??????Int(\j2JAj)½ \j2JIntAj? A?

Remarque : SiS(x)??? ?? ?????? ??x? ????? ?x2

A() 8V2 S(x); V\A6=;?

En particulier, dans un métrique :x2

A() 8" >0;B(x;")\A6=;?

A=±

XA??{X±A=

XA? On déduit alors les propriétés de l'adhérence de celles de l'intérieur : A½ A?? A=A? A= A

A½B=)A½B?A[B=A[B???J??? ??????[j2JA

j½[ ?? ?? ????FrA??@A?

FrA = Fr({XA) =

A\ XA =

An±A?

A=X? ???? ?????? ??X????T1??? ?????? ??X????T2? La relation "est moins ne que" est une relation d'ordre partiel sur l'ensemble des topologies surX? x2X? ?T1????? ??? ???T2() O1½ O2() F1½ F2() V1(x)½ V2(x);8x2X?

Plus la topologie est ne, plus riche est la structure topologique; ainsi, siT1??? ????? ??? ???T2? ????

B½X?? ? ?IntT1B½IntT2B½B½adhT2B½adhT1B? d? n

A???? ??? ?????? ???????

1. Limites de fonctions.

1.1. Généralités

y????? ?? ???????VX(¯)??? ?? ??????SX(¯)? lim x!¯f(x) =y() 8V2 VY(y); f¡1(V)2 VX(¯)? ???A=Xn f¯g? ?? ?????limx!¯ x6=¯f(x) =y?

R=R[f¡1;+1g

8V2 V(`);9n0=n0(V)2N; n¸n0=)xn2V :

R??? ?????? ??? ??????? ?? ?? ??????? ???

V(¡1) =fW½

R;9®2R;[¡1;®[½Wg;V(+1) =fW½

R;9®2R;]®;+1]½Wg?

et pourx2R:V(x) =fW½

R;9" >0;]x¡";x+"[½Wg

Silimx!¯

Remarque : la réciproque est fausse en l'absence d'hypothèse supplémentaire surX? x n!`???????n!+1?n2N? ?? ??? ???`????? ????? ?????? ??(xn)n????X? ??????p=p(n)¸n??? ???xp2V? (en d'autres termes sifj2N;xj2Vg??? ??????? ???J=N? ???J=fj1;:::;jpg??? ???? ?? ???? ?????V0i=Vji????i= 1;:::;p??V0i=Vjp;8i¸p?? (V0i)i2N??? ?????? ?? ????? ??x?? Par ailleurs, la propriété suivante est très utile :

A? ????? ?

lim x!¯

2.1. Continuité ponctuelle.

??limx!af(x) =f(a)? ???8A½X?f(

A)½

f(A) ff(x)>0g??? ?? ?????? ??X??????

X???Y?

R?????? ???'(§1) =§1??'(x) =tg(¼

2 ??([¡1;+1];¿)???(

3.1. Dénition et premières propriétés.

0??y???? ???V\V0=;?

tout sous-espace d'un espace séparé est séparé. tout espace métrique est séparé. de x est réduite au singletonfxg? , et¯?? , alorsfx2X ; f(x) =g(x)g??? ????? ???? ?? ?????f´g??? ??

1. Dénitions. Propriétés métriques.

????a2X??r????¸0? B(a;r) =fx2X=d(x;a)< rg??? ?? ????? ??????? ?? ??????a?? ?????r B

0(a;r) =fx2X=d(x;a)·rg??? ?? ????? ?????? ?? ??????a?? ?????r

S(a;r) =fx2X=d(x;a) =rg??? ?? ?????? ?? ??????a?? ?????r?

Sir= 0? ????? ?S(a;r) =B0(a;r) =fag?B(a;r) =;?

????? ??????? ?????? ??????? ?? ??????a?? ????? ? ???]a¡r;a+r[??????[a¡r;a+r]?? (2)X=

R? ????Ã:

arctg(y)??y6=§1?Ã(¡1) =

¡1; Ã(+1) = +1? ?????? ????x;y2

R? d(x;y) =jÃ(x)¡Ã(y)j? ????? R? Dans un espace métrique discret :B(a;r) =fag??0< r·1?B(a;r) =X??r >1: d e(x;y) =³Pn d +(x;y) =Pn j=1jxj¡yjj d

1(x;y) =max1·j·njxj¡yjj:

0 nX j=1jaj+bjjp1 A1=p ·0 nX j=1jajjp1 A1=p +0 nX j=1jbjjp1 A1=p ? ?? ? ? ? ?? ??????d(x;A) =infa2Ad(x;a)? R +? ???? ? ?supx2A;y2Ad(x;y)?

Remarque : la conservation des distances implique l'injectivité; on pourrait remplacer "bijection" par

"surjection" dans la dénition.

2.1 Dénition. Premières propriétés.

V(x) =fV½X =9r >0; B(x;r)½Vg

fB(x;r); r >0g?fB0(x;r); r >0g?fB(x;1 n n (a)????? ????? ??????? ?????? ??????? ??X??? ?? ?????? ?????? ?? ????? ? ?? ?? ????? ?????? ??? ?? d? ?? ??????? ?? ??????fB(x;");" >0g??? ?? ?? ?? ? ??x? ??? ????? ? f:A¡!(Y;±): y= limx!¯;x2Af(x)???8" >0;9V2 VE(¯); x2A\V=)±(f(x);y)< "?

> Si une suite converge dans X métrique, sa limite est la seule valeur d'adhérence de cette suite.

> Si une suite converge dans un métrique(X;d)? ?? ? ? ??????? ?? ?? ??????? > Soit X espace topologique,A½X?¯2 ?????? ?????x???? ????¯?x??????? ????A? ????? ?????? ??? ??????? fx2X = f(x) =g(x)g??? ????? ???? ??

> Les parties fermées d'un espace métrique sont celles qui contiennent les limites de leurs suites conver-

gentes. y= limx!¯;x2Af(x)() 8(an)n½A????? ???(an)n?? ????¯?(f(an))n?? ????y? x2¹A() 9(an)n½A????limn!+1an=x ()d(x;A) = 0

3.1. Continuité uniforme.

8" >0;9´=´(")>0;8x;x02X;d(x;x0)< ´("))±(f(x);f(x0))< "?

Une application uniformémenr continue sur X est continue en tout point de X; la réciproque est fausse :

Distances bornées uniformément équivalentes à une distance donnée : f

8" >0;9n0(")2N;8n;m¸n0(") :d(xn;xm)< "?

On pose pourf;g2 F(X;Y)?

1(f;g) = sup

2Xd(f(x);g(x))2R+[ f+1g??±(f;g) =min(1;e1(f;g)?

e ?? ??? ???e1??? ?? ????? ???F(X;Y)? ????F(X;Y)? R pr

La topologie produit est la moins ne des topologies sur X rendant continues les projectionsprj: (X1£

2;T1£T2)!(Xj;Tj)? ??????

(2) un ouvert d'un espace produit n'est pas nécessairement un produit d'ouverts.

A=pr1(A)£pr2(A)??

?????? ??X1??X2? ???f!=!1£!22 Bja2!g??? ?????? ?? ? ????X=X1£X2? fV1£V2jVj2 Vj(aj); j= 1;2g??? ?? ?????? ?? ? ????X? SiSj(aj)??? ?? ?????? ??aj????Xj?????S1£ S2:=fW1£W2jWj2 Sj(aj)g??? ?? ?????? ?? ? ???? ?? R 3? et, plus généralement : X un résultat souvent utile sur les coupes : A

1£A2=±A

1£±A

2?? A

1£A2=

A 1£ A 2 Rmq : en général :Fr(A1£A2)6=Fr(A1)£Fr(A2)?

2.1. Applications à valeurs dans un produit.

Proposition 2.1.??? ?????(x(n)

1;x(n)

1)n ??(x(n) (f1(y);f2(y))2X1£X2? ??????f????? ??? ??????`= (`1;`2)????? ? ???? ????¯?? ??????? ????A ???fj?????`j???? ?????? ????? ? ???? ????¯?? ??????? ????A? ??a1??a2? ???????X£X? Y??? ?????? ?? ?????? ??f??? ????? ???? ?? ???????X£Y? j=1Ej? ????x= (x1;:::;xn);y= (y1;:::;yn)2

E? ?? ???? ?

1=max1·j·ndj(xj;yj) ;±e(x;y) =¡nX

j=1(dj(xj;yj))2¢1=2;±+(x;y) =nX j=1d j(xj;yj): j=1Ej x= (xn)n?y= (yn)n2E=Q n2NEn?±(x;y) =P1 n=0d n(xn;yn) 2 ????E=Q

1. Suites de Cauchy. Espaces complets.

8" >0;9n0(")2N;8n;m¸n0(") :d(xn;xm)< "

lim n!+1¡sup p¸0d(xn;xn+p)¢= 0?

Toute suite de Cauchy est bornée

Toute sous-suite d'une suite de Cauchy est elle-même une suite de Cauchy.

Toute suite convergente est de Cauchy.

(a) Si f est uniformément continue de X dans Y et(xn)n??? ????? ?? ?????? ?? ?? ?????(f(xn))n???

1+jxj¡y

???? ??? ????(R;d)? F et f une application de A dans Y. Alors : f admet un point limite quandx!¯?x2A (b) Toute partie fermée d'un métrique complet X est une partie complète de X. Donc dans un métrique complet, les parties complètes sont les parties fermées. ?????? ???±(f;g) =min(1;e1(f;g)? ??e1(f;g) = sup x2Xd(f(x);g(x))2R[ f+1g? ????F(X;Y) Un tel complété est unique à bijection isométrique près. f(®) =®?

0·k <1??? ???±(f(x);f(y))·kd(x;y)???? ????x;y2X?

1. Dénitions. Propriétés générales.

La compacité est une propriété topologique : si deux espaces X et Y sont homéomorphes, X est compact

ssi Y l'est. (cf. thm 4.1. ci-après).

Exemples : Un espace ni séparé est compact. Un espace discret est compact ssi il est ni.Rn????? ???

?? ?????\n2NFn6=;: (b) une suite d'un espace compact converge SSI elle admet une et une seule valeur d'adhérence.

une partie A d'un espace X est compacte SSI A est séparée et pour toute famille(!i)i2I?? ??????? ??X

Remarque : par transitivité des topologies induites, siA½X½Y?A??? ?? ??????? ??X???A??? ?? ??????? ??Y?quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

[PDF] frottis cervico utérin pdf

[PDF] frottis et grossesse

[PDF] frouvelle amic

[PDF] frsm 59/62

[PDF] fruit le plus consommé au monde mangue

[PDF] fruit potager en carré

[PDF] fruit rentable

[PDF] fruits secs bio

[PDF] fs ben msik

[PDF] fs ben m'sik master

[PDF] fs casa ain chock

[PDF] fs el jadida

[PDF] fs fes 2017

[PDF] fs kenitra

[PDF] fs kenitra inscription

[PDF] TOPOLOGIE frontière. Définition : Un

Quelle est la différence entre topologie et Geometrique?

Pourquoi la topologie a-t-elle été créée?

Quelle est la différence entre l’Equivalence topologique et metrique?

Anne Cumenge.

0(a;r) =fx2X=d(x;a)·rg??? ?? ????? ?????? ?? ??????a?? ?????r

1(x;y) =max(jx1¡y1j;:::;jxn¡ynj):

1. Structure topologique : dénition par famille d'ouverts.

V(x) =fV½X =9r >0; B(x;r)½Vg

±A=±A

Remarque : SiS(x)??? ?? ?????? ??x? ????? ?x2

A() 8V2 S(x); V\A6=;?

En particulier, dans un métrique :x2

A() 8" >0;B(x;")\A6=;?

A=±

XA??{X±A=

A½B=)A½B?A[B=A[B???J??? ??????[j2JA

FrA = Fr({XA) =

An±A?

A???? ??? ?????? ???????

1. Limites de fonctions.

1.1. Généralités

R=R[f¡1;+1g

8V2 V(`);9n0=n0(V)2N; n¸n0=)xn2V :

R??? ?????? ??? ??????? ?? ?? ??????? ???

V(¡1) =fW½

R;9®2R;[¡1;®[½Wg;V(+1) =fW½

R;9®2R;]®;+1]½Wg?

R;9" >0;]x¡";x+"[½Wg

Silimx!¯

A? ????? ?

2.1. Continuité ponctuelle.

A)½

X???Y?

R?????? ???'(§1) =§1??'(x) =tg(¼

3.1. Dénition et premières propriétés.

0??y???? ???V\V0=;?

1. Dénitions. Propriétés métriques.

0(a;r) =fx2X=d(x;a)·rg??? ?? ????? ?????? ?? ??????a?? ?????r

Sir= 0? ????? ?S(a;r) =B0(a;r) =fag?B(a;r) =;?

R? ????Ã:

¡1; Ã(+1) = +1? ?????? ????x;y2

1(x;y) =max1·j·njxj¡yjj:

2.1 Dénition. Premières propriétés.

V(x) =fV½X =9r >0; B(x;r)½Vg

3.1. Continuité uniforme.

8" >0;9´=´(")>0;8x;x02X;d(x;x0)< ´("))±(f(x);f(x0))< "?

8" >0;9n0(")2N;8n;m¸n0(") :d(xn;xm)< "?

On pose pourf;g2 F(X;Y)?

1(f;g) = sup

2Xd(f(x);g(x))2R+[ f+1g??±(f;g) =min(1;e1(f;g)?

2;T1£T2)!(Xj;Tj)? ??????

A=pr1(A)£pr2(A)??

1£A2=±A

1£±A

1£A2=

2.1. Applications à valeurs dans un produit.

Proposition 2.1.??? ?????(x(n)

1;x(n)

E? ?? ???? ?

1=max1·j·ndj(xj;yj) ;±e(x;y) =¡nX

1. Suites de Cauchy. Espaces complets.

8" >0;9n0(")2N;8n;m¸n0(") :d(xn;xm)< "

Toute suite de Cauchy est bornée

Toute suite convergente est de Cauchy.

1+jxj¡y

0·k <1??? ???±(f(x);f(y))·kd(x;y)???? ????x;y2X?

1. Dénitions. Propriétés générales.