SECOND DEGRE (Partie 2)
Comme A < 0 l'équation ne possède pas de solution réelle. II. Factorisation d'un trinôme. Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur ? par.
Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2
2 Factorisation racines et signe du trinôme : DÉFINITION. On appelle discriminant du trinôme ax2 +bx+c (a = 0)
MathACoeur - LE SECOND DEGRÉ
Méthode :Pour factoriser une fonction polynôme du second degré sans identité remarquable et n'ayant aucune racine évidente on calcule son discriminant et
Sans titre
Un trinôme du second degré est un polynôme de degré 2 de la forme Sans utiliser le discriminant factoriser chacun des polynômes suivants et faire un.
Trinômes du second degré
Un trinôme du second degré ax2 + bx + c est factorisé lorsqu'on l'écrit sous la forme On appelle discriminant de cette équation le réel = b² – 4ac.
1 S Exercices sur le second degré
1°) Sans calculer le discriminant expliquer pourquoi l'équation ( )E admet deux racines 1 Le discriminant du polynôme du second degré ( ).
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 (Partie 2)
Les coefficients a x1 et x2 sont des réels avec ?0. A noter : Plus généralement
Trinôme du second degré
Sans utiliser le discriminant factoriser chacun des polynômes suivants et faire un tableau de signe. On précisera les racines.
SECOND DEGRE (Partie 2)
Exemple : L'équation 3x2 ? 6x ? 2 = 0 est une équation du second degré. Définition : On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c le nombre réel
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
- h(x) = 4 ? 2x2. - k(x) = (x ? 4)(5? 2x) sont des fonctions polynômes de degré 2. - m(x) = 5x ? 3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). -
SECOND DEGRÉ - maths et tiques
Partie 1 : Résolution d'une équation du second degré Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme !!"+$"+ =0 où ! $ et sont des réels avec !?0 Exemple : L'équation 3"!?6"?2=0 est une équation du second degré Définition : On appelle discriminant du trinôme !"!+$"+ le nombre D=$?4!
1 FACTORISATIONS - maths et tiques
Pour factoriser il faut trouver dans l’expression un facteur commun Trouver le facteur commun de ces expressions puis factoriser et réduire si possible : A = 35 x – 42 x + 21 x C = 4 x – 4 y + 8 E = 3 t + 9 u + 3
Polynôme du second degré - M Philippe
• Factoriser une fonction polynôme du second degré en diversifiant les stratégies : racine évidente détection des racines par leur somme et leur produit identité remarquable application des formules générales
Comment factoriser les polynômes du troisième degré ?
Les polynômes du troisième degré, contenant donc une inconnue à la puissance 3, sont toujours un peu délicats à manipuler, mais en groupant les termes d’une certaine façon, il est possible de les factoriser afin de résoudre plus facilement des équations. Partagez le polynôme en deux parties.
Comment calculer le discriminant d'un polynôme du second degré ?
Le discriminant d'un polynôme du second degré se calcule à partir des coefficients a, b et c du trinôme. On le note avec la lettre grecque ? (qui se lit delta et qui correspond à notre D français). La formule de calcul du discriminant est :
Comment représenter une fonction polynôme du second degré ?
(a) La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré est une parabole dont les branches sont tournées vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0 .
Quel est le degré d'un polynôme ?
Rappelons nous que le degré d'un polynôme est donné par la puissance la plus élevée des termes en x, donc ici 2 d’où l'expression second degré. Ce qui nous permet de poser une deuxième définition : Un polynôme du second degré est un polynôme où la puissance la plus grande de la variable est 2.
1 Tr (3 min)2012 5);7m020)p3o2
Tirnôme ôdusr
1. Polynôme
Un polynôme de degré n est une fonction définie sur ? qui s"écrit sous la forme 111 0...n n
n nx a x a x a x a- -® + + + + où na, 1na-, ..., 0a sont des nombres réels et 0.n a¹2. Racines
On dit que a est une racine d"un polynôme P si ( ) 0.Pa=3. Factorisation
On dit que P se factorise par
( )xa- si l"on peut trouver un polynôme Q tel que pour tout réel x on a ( ) ( ) ( ).P x x Q xa= -4. Théorème
Un polynôme P se factorise par ( )xa- si et seulement si a est une racine de P.TTircoT ôdurgérsuEô grguxour
1. Trinôme du second degré
Un trinôme du second degré est un polynôme de degré 2 de la forme 2 x ax bx c® + + où a, b et c sont des réels et a est non nul.2. Forme canonique du trinôme du second degré
2 2 .2 4 bax bx c a x a a D3. Racines et signe du trinôme du second degré
Soit P le trinôme du second degré défini par 2( ).P x ax bx c= + + On appelle discriminant de P le nombre24 .b acD = - Alors :
· si 0,D < P n"a pas de racine et ( )P x est toujours du signe de a. De plus, on ne peut pas factoriser P.Trinôme du second degré
2 · Si
0,D = P a une racine double 2
b a - et ( )P x est toujours du signe de a.De plus P se factorise sous la forme
2 ( ).2bP x xaT r= +i nô m
Si 0,D > P a deux racines 12
bx a - - D= et 2.2 bx a - + D= De plus P se factorise sous la forme1 2( ) ( )( ).P x a x x x x= - - Le signe de ( )P x est
celui de a en dehors des racines et celui de a- entre les racines.4. Variation et représentation graphique du trinôme du second degré
· si 0a>
x 2 b a ( )P x 2 bPa -T ri nô m si 0a< x 2 b a ( )P x 2 bPa -T ri nô mOn obtient la représentation graphique de
2x a xa b® - + a partir de celle de
2x ax® par une translation de vecteur .va
bT ri nô m
3Trinôme du second degré
3 g12r131456512r7894r580741Ct41r Parmi les fonctions suivantes, indiquer les polynômes et le cas échéant, donner leur degré. a)33 1x x- + b) 22 1x x+ + c) 32 1x x+ +
d)1xx+ e) 51x x+ + f) ( )
31x+g) ( 1)x x+ h) 21( )x xx-
3333??(??()()?
Sans utiliser le discriminant, factoriser chacun des polynômes suivants et faire un tableau de signe. On précisera les racines. Certains d"entre eux ne peuvent pas être factorisés, expliquer pourquoi. a)2( 1) 9x+ - b) 21x+ c) 210 25x x+ +
d) 2( 3) 5x- - e) 2( 3) 5x- + f) 24( 3) 5x+ -3333??(??()()?
1. Soit P le polynôme défini par 2( ) ( 1) 4.P x x= - + a) Soit u et v deux nombres réels, compléter les trous :1u v< <
... 1 1Û < - < -u v221 ... 1X- -u v car ...
221 ... 1 ...X- + < - +uv
( ) ... ( ).XP u P v b) Que peut-on en déduire sur le sens de variation de P ? c) En vous inspirant de ce qui a été fait précédemment, démontrer que P est décroissant sur ]];1 .-¥ 2. Soit Q définit par 2( ) ( 2) 3.Q x x= + - En vous inspirant de ce qui a été fait à la question1, démontrer que Q est croissant sur [[2;- +¥ et décroissant sur
]]; 2 .-¥ -Trinôme du second degré
4 T TTT2ts)3; ;)2222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22? ?2 1. Soit P le polynôme donné par 2( ) 2 4 6,P x x x= + - montrer que : ( ) 2( 1)( 3).P x x x= - +2. Soit Q le polynôme défini par2( ) 2.Q x x x= + - Déterminer le nombre réel a tel
que ( ) ( 1)( ).Q x x x a= - - Calculer( ).Q a3. Soit F le polynôme défini par 2( ) 2.F x x x= - - Calculer(2).F En déduire une
factorisation de F. TTTT2ts)3; ;)2222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2??2 Compléter les pointillés en utilisant les identités remarquables : a)222 ... ( ...)+ + = +x x x b) 226 ... ( ...)- + = +x x x
c)22... ( ...)+ + = +x x x d) 225 ... ( ...)- + = -x x x
e)222 ... ( ...)+ + = +x x x f) 222 ... ( ...)- + = - +x x x
TTTT2ts)3; ;)22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222? ?2 Mettre sous forme canonique les trinômes suivants en suivant le modèle :26 5x x+ +( )
222 26 3 3 5 3 4.x xx= + + - + = + -
a)26 1x x+ + b) 23 1x x- + c) 212 36x x- +
d)23 6 3x x+ + e) 23 6 3x x+ - f) 23 6 3x x- + +
TTTT2ts)3; ;)222??22 2 2 2 2 2 22
Chacun des polynômes suivants s"écrivent sous la forme 2.ax bx c+ + Reconnaître a, b et c ; calculer le discriminantD et en déduire le nombre de racines.
Polynôme a b c
D Nombre de racines
a) 22 3 3x x+ - b) 23 3x x- + + c) 22 3x x- + + d) 23 2 1x x+ - +Trinôme du second degré
5 TTTT2ts)3; ;)22??2
Déterminer les racines des trinômes suivants et mettre chacun d"eux sous forme factorisée. En déduire un tableau de signe. a)26x x- - b) 215
4x x- - c) 25 132 3x x+ +
d)26 3335 35x x- + + e) 27 3 2x x+ - f) 27 3 2.x x+ +
TTTT2ts)3; ;)222?
?2 Résoudre les équations ou inéquations suivantes. a)23 4 1 0x x+ + =
b)23 4 2 0x x- + + > c) 24 4 0x x+ + >
d)24 4 0x x+ + £ e) 223 4 1 3x x x+ + = +
f)23 4 2 3 1x x x- + + < +
TTTT2ts)3; ;)2422??2
Soit P un polynôme du second degré avec 2( )P x ax bx c= + + et soit D son discriminant. Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes. 1.Si D est positif alors P est positif.
2. Si D est strictement positif alors P n"a pas de racines. 3. Si D est nul alors P est toujours du même signe. 4.Si 0D 5. Si 0P> alors 0.D <
6. Si 0P< alors 0.D >
rrrr2ts)3; ;)2442? A. (Q. C. M.) Soit f le polynôme dont on fournit la représentation graphique suivante, avec 2( )f x ax bx c= + + et soit D son discriminant. Une et une seule
réponse est bonne. Les questions ne sont pas indépendantes. Trinôme du second degré
6 1. a) 0a³ b) 0a£ c) on ne peut pas déterminer le signe de a.
2. a) 0D ³ b) 0D £ c) on ne peut pas déterminer le signe de.D
3. a) 0c³ b) 0c£ c) on ne peut pas déterminer le signe de c.
B. Recommencer le Q.C.M. avec g puis avec h.
TTTT2ts)3; ;)2482??2
Donner les tableaux de variations des trinômes P et Q définis par : 2( ) 3 9 1P x x x= - + - et 2( ) 2 1.Q x x x= + -
rrrr2ts)3; ;)242??2 Soit P et Q deux trinômes du second degré dont on donne les tableaux de variations. x -¥ 2 +¥ ( )P x 3 x -¥ 2 +¥ ( )Q x 5 Trinôme du second degré
7 On sait de plus que
2( )P x ax bx c= + + avec 2a= et que 2( )Q x ux vx w= + +
avec 1.u= Déterminer
P et Q.
iiii ts)3; ;)2422? ?2 1. La parabole au centre est la représentation graphique du trinôme 22 .x Déterminer les formes canoniques des trinômes dont les représentations graphiques sont les deux autres paraboles. 2. Déterminer les formes canoniques des trinômes dont les représentations graphiques sont les paraboles données ci-dessous.
Trinôme du second degré
8 T TTT2ts)3; ;)242??2
Soit P le polynôme défini par 2( ),P x x bx c= + + ou b et c sont des réels. On suppose que
2 et 5- sont les deux racines de P.
Montrer que
3b= et que 10.c= -
TTTT2ts)3; ;)242??2
Déterminer b et c pour que 1 et 2 soient les racines de 2.x bx c+ + iiii ts)3; ;)2422???2 1. Soit Q le polynôme défini par 2( ),Q x x bx c= + + ou b et c sont des réels.
On suppose que Q possède deux racines
1x et 2.x Exprimer, à l"aide de 1x et
2,x la forme factorisée de Q. En déduire que 1 2( )b x x= - + et 1 2.c x x=
2. Soit 1x et 2x deux réels quelconques, on pose 1 2S x x= + et 1 2.P x x= Montrer
que 1x et 2x sont les deux racines de 2( ).Q x x Sx P= - +
3. Justifier que les solutions du système 7
9 x y xy+ =??=? sont également les solutions de 27 9 0.x x- + = Résoudre alors le système.
4. Résoudre le système
2 27.3x y
xy Kūhmsdqqn'0g(e`bhkd>
ts)3; ;)242???? ?2 1. Donner le domaine de définition de f si 2( ) 3 1.f x x x= - + + 2. Résoudre 62.1xx³ ++
3. Factoriser 3 2.x x x- + +
4. Expliquer pourquoi 3 22 5 4 3x x x+ - - est factorisable par 3.x+ ts)3; ;)282? ?????2 En comparant les paraboles les unes par rapport aux autres retrouver les expressions des fonctions u, f, g, h parmi les trinômes suivant (on mettra sous Trinôme du second degré
9 forme canonique les deux trinômes qui ne le sont pas encore). Il n"est pas demandé
de justifier votre réponse. a. 2( 5) 1x- - b. 210 28x x- +
c. 214 52x x- + d. 23( 5) 3x- + Exercice 3 (15 min ; 5 points)
quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37
Si 0P> alors 0.D <
6.Si 0P< alors 0.D >
rrrr2ts)3; ;)2442? A. (Q. C. M.) Soit f le polynôme dont on fournit la représentation graphique suivante, avec2( )f x ax bx c= + + et soit D son discriminant. Une et une seule
réponse est bonne. Les questions ne sont pas indépendantes.Trinôme du second degré
6 1. a)0a³ b) 0a£ c) on ne peut pas déterminer le signe de a.
2. a) 0D ³ b) 0D £ c) on ne peut pas déterminer le signe de.D
3. a) 0c³ b) 0c£ c) on ne peut pas déterminer le signe de c.
B. Recommencer le Q.C.M. avec g puis avec h.
TTTT2ts)3; ;)2482??2
Donner les tableaux de variations des trinômes P et Q définis par :2( ) 3 9 1P x x x= - + - et 2( ) 2 1.Q x x x= + -
rrrr2ts)3; ;)242??2 Soit P et Q deux trinômes du second degré dont on donne les tableaux de variations. x -¥ 2 +¥ ( )P x 3 x -¥ 2 +¥ ( )Q x 5Trinôme du second degré
7 On sait de plus que
2( )P x ax bx c= + + avec 2a= et que 2( )Q x ux vx w= + +
avec 1.u=Déterminer
P et Q.
iiii ts)3; ;)2422? ?2 1. La parabole au centre est la représentation graphique du trinôme 22 .x Déterminer les formes canoniques des trinômes dont les représentations graphiques sont les deux autres paraboles. 2.Déterminer les formes canoniques des trinômes dont les représentations graphiques sont les paraboles données ci-dessous.
Trinôme du second degré
8 TTTT2ts)3; ;)242??2
Soit P le polynôme défini par 2( ),P x x bx c= + + ou b et c sont des réels.On suppose que
2 et 5- sont les deux racines de P.
Montrer que
3b= et que 10.c= -
TTTT2ts)3; ;)242??2
Déterminer b et c pour que 1 et 2 soient les racines de 2.x bx c+ + iiii ts)3; ;)2422???21. Soit Q le polynôme défini par 2( ),Q x x bx c= + + ou b et c sont des réels.
On suppose que Q possède deux racines
1x et 2.x Exprimer, à l"aide de 1x et
2,x la forme factorisée de Q. En déduire que 1 2( )b x x= - + et 1 2.c x x=
2. Soit 1x et 2x deux réels quelconques, on pose 1 2S x x= + et 1 2.P x x= Montrer
que1x et 2x sont les deux racines de 2( ).Q x x Sx P= - +
3. Justifier que les solutions du système 7
9 x y xy+ =??=? sont également les solutions de27 9 0.x x- + = Résoudre alors le système.
4. Résoudre le système
2 27.3x y
xyKūhmsdqqn'0g(e`bhkd>
ts)3; ;)242???? ?2 1. Donner le domaine de définition de f si 2( ) 3 1.f x x x= - + + 2.Résoudre 62.1xx³ ++
3.Factoriser 3 2.x x x- + +
4. Expliquer pourquoi 3 22 5 4 3x x x+ - - est factorisable par 3.x+ ts)3; ;)282? ?????2 En comparant les paraboles les unes par rapport aux autres retrouver les expressions des fonctions u, f, g, h parmi les trinômes suivant (on mettra sousTrinôme du second degré
9 forme canonique les deux trinômes qui ne le sont pas encore). Il n"est pas demandé
de justifier votre réponse. a.2( 5) 1x- - b. 210 28x x- +
c. 214 52x x- + d. 23( 5) 3x- +Exercice 3 (15 min ; 5 points)
quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] quizz environnement avec reponse
[PDF] questionnaire protection de l environnement
[PDF] quizz sur lenvironnement facile
[PDF] questionnaire sur la nature
[PDF] question a poser sur l'environnement
[PDF] quizz pessah
[PDF] mercator ebook gratuit
[PDF] mercator pdf gratuit
[PDF] mercator pdf free download
[PDF] mercator théorie et pratique du marketing pdf gratuit
[PDF] jeux de connaissance 6-12 ans
[PDF] jeu pour se connaitre adulte
[PDF] jeu de connaissance 3-5 ans
[PDF] jeux de connaissance 3-4 ans
