[PDF] PROJECTION CARTOGRAPHIQUE MERCATOR TRANSVERSE

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SERVICE DE GEODESIE

ET NIVELLEMENT

NOTES TECHNIQUES

NT/G 76

S G N 2 7 8 1

5PROJECTION CARTOGRAPHIQUE

MERCATOR TRANSVERSE

Algorithmes

1

ère édition

Janvier 1995

ããã INSTITUT GEOGRAPHIQUE NATIONAL

2-4, AVENUE PASTEUR - 94165 SAINT MANDE CEDEX

ALGORITHMES NECESSAIRES

A LA

PROJECTION CARTOGRAPHIQUE

MERCATOR TRANSVERSE

SOMMAIRENOMBRE de PAGES

ALG00012

ALG00023

ALG00252

ALG00262

ALG00282

ALG00292

ALG00303

ALG00313

ALG00523

APPLICATIONCONSTANTES DE PROJECTION UTM1

ALG0001 1/2

CALCUL DE LA LATITUDE ISOMETRIQUE.

Numéro :ALG0001.

Description :

Calcul de la latitude isométrique sur un ellipsoïde de première excentricité e au point de latitude j.

Variables :

- paramètres en entrée : j : latitude. e : première excentricité de l"ellipsoïde. - paramètre en sortie : L : latitude isométrique.

Schéma séquentiel :

E : j , e.

S : L E L = ln( tan ( p 4 + j 2 ) × ( 1 - e × sin j

1 + e × sin j ) e

2 ) S

ALG0001 2/2

CALCUL DE LA LATITUDE ISOMETRIQUE.

Jeux d"essai :

j j j j (rad)0,872 664 626 00-0,300 000 000 000,199 989 033 70 e0,081 991 889 980,081 991 889 980,081 991 889 98 LLLL1,005 526 536 49-0,302 616 900 630,200 000 000 009

Remarque :

On notera LLLL(jjjj,e) la valeur de la latitude isométrique sur l"ellipsoïde de première excentricité e au point de latitude jjjj.

ALG0002 1/3

CALCUL DE LA LATITUDE A PARTIR DE LA LATITUDE ISOMETRIQUE.

Numéro :ALG0002.

Description :

Calcul de la latitude j à partir de la latitude isométrique L.

Variables :

- paramètres en entrée : L : latitude isométrique. e: première excentricité de l"ellipsoïde. e: tolérance de convergence. - paramètre en sortie : j: latitude en radian.

ALG0002 2/3

CALCUL DE LA LATITUDE A PARTIR DE LA LATITUDE ISOMETRIQUE.

Schéma séquentiel :

E : L , e , e.

S : j.

E j 0 = 2 × arctan( exp ( L ) ) - p 2 i

¬ 0

j i - j i - 1 á e oui non j i = 2 × arctan( ( 1 + e × sin j i - 1 1 - e × sin j i - 1 ) e

2 × exp ( L ) ) - p 2

i ¬ i + 1

ALG0002 3/3

CALCUL DE LA LATITUDE A PARTIR DE LA LATITUDE ISOMETRIQUE.

Schéma séquentiel (suite) :

j = j i S

Jeux d"essai :

LLLL1,005 526 536 48-0,302 616 900 600,200 000 000 0 e0,081 991 889 980,081 991 889 980,081 991 889 98 eeee1.10-111.10-111.10-11 jjjj (rad)0,872 664 626 00-0,299 999 999 970,199 989 033 69

Remarque :

On notera LLLL-1(LLLL,e) la valeur de la latitude à partir de la latitude isométrique LLLL pour un ellipsoïde de première excentricité e.

ALG0025 1/2

COEFFICIENTS POUR ARC DE MERIDIEN.

Numéro :ALG0025.

Description :

Calcul des coefficients pour arc de méridien.

Variables :

- paramètre en entrée : e : première excentricité de l"ellipsoïde. - paramètre en sortie :

C : tableau de 5 coefficients.

Schéma séquentiel :

E : e.

S : C.

E C 1 [ ] = 1 - 1

4 e 2 - 3

64e 4 - 5

256 e 6 - 175

16384 e 8

C 2 [ ] = - 3

8 e 2 - 3

32e 4 - 45

1024e 6 - 105

4096e 8

C 3 [ ] = 15

256 e 4 + 45

1024e 6 + 525

16384 e 8

C 4 [ ] = - 35

3072e 6 - 175

12288 e 8

C 5 [ ] = 315

131072e 8

S

ALG0025 2/2

COEFFICIENTS POUR ARC DE MERIDIEN.

Jeux d©essai :

e0,081 991 889 980 000

C[1]0,998 317 208 056

C[2]-0,002 525 251 627

C[3]0,000 002 661 520

C[4]-0,000 000 003 491

C[5]0,000 000 000 005

ALG0026 1/2

Numéro :ALG0026.

Description :

Calcul de l©abscisse curviligne sur l©arc de méridien pour une latitude j sur un ellipsoïde donné, de demi-grand axe unitaire.

Variables :

- paramètres en entrée : j : latitude. C : tableau de 5 coefficients pour arc de méridien. - paramètre en sortie : b * : arc de méridien sur un ellipsoïde de demi-grand axe unitaire.

Autre algorithme utilisé :

ALG0025 : Coefficients pour arc de méridien.

DEVELOPPEMENT DE L"ARC DE MERIDIEN.

ALG0026 2/2

Schéma séquentiel :

E : j , e.

S : b*.

E

C = c (e)ALG0025

b * = C 1 × j + C k + 1 × sin ( 2 × k × j ) k = 1 4 S

Jeux d©essai :

e0,081 991 889 980,081 819 191 043 jjjj (rad)0,785 398 163 401,570 796 326 79 bbbb* (rad)0,781 551 253 5611,568 164 140 908

Remarque :

On notera bbbb*(jjjj,e) la valeur de l"abscisse curviligne sur l"arc de méridien pour une latitude jjjj sur un ellipsoïde donné, de demi-grand axe unitaire.

DEVELOPPEMENT DE L"ARC DE MERIDIEN.

ALG0028 1/2

COEFFICIENTS DE PROJECTION

Projection Mercator Transverse (sens direct).

Numéro :ALG0028.

Description :

Calcul des coefficients pour la projection Mercator Transverse (sens direct).

Variables :

- paramètre en entrée : e : première excentricité de l"ellipsoïde. - paramètre en sortie :

C : tableau de 5 coefficients.

Schéma séquentiel :

E : e.

S : C.

E C 1 [ ] = 1 - 1

4 e 2 - 3

64e 4 - 5

256 e 6 - 175

16384 e 8

C 2 [ ] = 1

8 e 2 - 1

96e 4 - 9

1024e 6 - 901

184320e 8

C 3 [ ] = 13

768 e 4 + 17

5120e 6 - 311

737280e 8

C 4 [ ] = 61

15360 e 6 + 899

430080e 8

C 5 [ ] = 49561

41287680e 8

S

ALG0028 2/2

COEFFICIENTS DE PROJECTION

Projection Mercator Transverse (sens direct).

Jeux d©essai :

e0,081 991 889 980 000

C[[[[1]]]]0,998 317 208 056

C[[[[2]]]]0,000 839 860 299

C[[[[3]]]]0,000 000 766 015

C[[[[4]]]]0,000 000 001 211

C[[[[5]]]]0,000 000 000 002

ALG0029 1/2

COEFFICIENTS DE PROJECTION

Projection Mercator Transverse (sens inverse).

Numéro :ALG0029.

Description :

Calcul des coefficients pour la projection Mercator Transverse (sens inverse).

Variables :

- paramètre en entrée : e : première excentricité de l"ellipsoïde. - paramètre en sortie :

C : tableau de 5 coefficients.

Schéma séquentiel :

E : e.

S : C.

E

C 1 [ ]

= 1 - 1

4 e 2 - 3

64e 4 - 5

256 e 6 - 175

16384 e 8

C 2 [ ]

= 1

8 e 2 + 1

48e 4 + 7

2048e 6 + 1

61440 e 8

C 3 [ ]

= 1

768 e 4 + 3

1280e 6 + 559

368640e 8

C 4 [ ]

= 17

30720 e 6 + 283

430080e 8

C 5 [ ]

= 4397

41287680e 8

S

ALG0029 2/2

COEFFICIENTS DE PROJECTION

Projection Mercator Transverse (sens inverse).

Jeux d©essai :

e0,081 991 889 980 000

C[[[[1]]]]0,998 317 208 056 0

C[[[[2]]]]0,000 841 276 339 1

C[[[[3]]]]0,000 000 059 561 9

C[[[[4]]]]0,000 000 000 169 5

C[[[[5]]]]0,000 000 000 000 2

ALG0030 1/3

TRANSFORMATION DE COORDONNEES

llll , jjjj ¾ ® ¾ ¾ ¾ Mercator Transverse X , Y.

Numéro :ALG0030.

Description :

Transformation de coordonnées géographiques en coordonnées dans le système de projection Mercator Transverse.

Variables :

- paramètres en entrée : l c : longitude origine par rapport au méridien origine. n : rayon de la sphère intermédiaire.

Xs, Ys : constantes sur X,Y.

e : première excentricité de l"ellipsoïde. l : longitude. j : latitude. - paramètres en sortie : X, Y : coordonnées en projection Transverse Mercator.

Autres algorithmes utilisés :

ALG0001 : calcul de la latitude isométrique L au point de latitude j sur l"ellipsoïde de première excentricité e. ALG0028 : coefficients de la projection Mercator Transverse (sens direct). Algorithme dont les résultats sont utilisés en entrée : ALG0052 : détermination des paramètres de calcul lc, n, Xs, Ys en fonction des paramètres de définition usuels.

ALG0030 2/3

TRANSFORMATION DE COORDONNEES

llll , jjjj ¾ ® ¾ ¾ ¾ Mercator Transverse X , Y.

Schéma séquentiel :

E : lc , n , Xs , Ys , e , l , j.

S : X , Y.

E a r c s i n ( s i n ( ) a r c t a n ( ( ) c o s ( ) ) ) L L L L L L L = = + = - j l l l l e c h s h z i i s s

A L G 0 0 0 1

A L G 0 0 0 1

F F L L 2 0 1 ) c c

C = c ( e ) A L G 0 0 28

Z = n × C 1 × z + n × C k + 1 × sin ( 2 × k × z ) k = 1 4

X = Im(Z) + Xs

Y = Re(Z) + Ys

S

ALG0030 3/3

TRANSFORMATION DE COORDONNEES

llll , jjjj ¾ ® ¾ ¾ ¾ Mercator Transverse X , Y.

Schéma séquentiel (suite) :

Notation utilisée :

L (j,e) : latitude isométrique au point de latitude j sur l©ellipsoïde de première excentricité e.

Jeux d©essai :

llllc (rad)0,052 359 877 56-0,052 359 877 56-0,034 906 585 04 n (m)6 375 836,644 86 375 697,845 66 375 020,481 3

Xs (m)500 000,000 0500 000,000 0400 000,000 0

Ys (m)0,000 00,000 0-5 527 063,815 0

e0,081 991 889 980,082 483 400 040,081 673 373 82 l l l l (rad)0,095 993 108 90-0,095 993 108 900,000 000 000 00 j j j j (rad)0,850 848 010 300,606 501 915 100,907 571 211 00

X (m)683 770,885 1271 145,459 5537 281,172 8

Y (m)5 402 786,997 63 847 883,538 5235 442,150 1

ALG0031 1/3

TRANSFORMATION DE COORDONNEES

X , Y Mercator Transverse ¾ ® ¾ ¾ ¾ ¾ llll , jjjj

Numéro :ALG0031.

Description :

Transformation de coordonnées en projection Mercator Transverse, en coordonnées géographiques.

Variables :

- paramètres en entrée : l c : longitude origine par rapport au méridien origine. n : rayon de la sphère intermédiaire.

Xs,Ys : constantes sur X, Y.

e : première excentricité de l"ellipsoïde.

X,Y : coordonnées en projection du point.

e : tolérance de convergence. - paramètres en sortie : l : longitude. j : latitude.

Autres algorithmes utilisés :

ALG0001 : calcul de la latitude isométrique L au point de latitude j sur l"ellipsoïde de première excentricité e. ALG0002 : calcul de la latitude j à partir de la latitude isométrique L. ALG0029 : coefficients de la projection Mercator Transverse (sens inverse). Algorithme dont les résultats sont utilisés en entrée : ALG0052 : détermination des paramètres de calcul lc, n, Xs, Ys à partir des paramètres de définition usuels.

ALG0031 2/3

TRANSFORMATION DE COORDONNEES

X , Y Mercator Transverse ¾ ® ¾ ¾ ¾ ¾ llll , j.j.j.j.

Schéma séquentiel :

E : lc , n , Xs , Ys , e , X , Y, e

S : l , j

E ( i = - 1 ) 2

¢ z = Y - Y s

n

× C 1

+ i ( X - X s n

× C 1 )

C = c ( e ) A L G 0 0 2 9

z = z - C k + 1 × sin ( 2 × k × ¢ z ) k = 1 4 L = Rez L s = Imz

ALG0001

ALG0002

l = l c + arctan( shL s cos L )

F = arcsin( sin L

chL s ) L = L ( F , 0 ) j = L - 1 ( L , e ) S Explication des notations utilisées à la page suivante.

ALG0031 3/3

TRANSFORMATION DE COORDONNEES

X , Y Mercator Transverse ¾ ® ¾ ¾ ¾ ¾ llll , jjjj

Schéma séquentiel (suite) :

Notations utilisées :

L (j,e):latitude isométrique L au point de latitude j sur l©ellipsoïde de première excentricité e, calculée avec la tolérance e. L -1(L,e):latitude j à partir de la latitude isométrique L sur l"ellipsoïde de première excentricité e, calculée avec la tolérance e.

Jeux d©essai :

llllc (rad)0,052 359 877 56-0,052 359 877 56-0,034 906 585 04 nquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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