III INTERPOLATION ET APPROXIMATION DE FONCTIONS PDF

I. Interpolation

2) la fonction f(x) n'est pas connue on ne conna?t que les valeurs dans certains points xi. Les quantités données f(xi) = yi peuvent être par example des

Chapitre II Interpolation et Approximation

Probl`eme de l'interpolation : on recherche des fonctions “simples” Théor`eme 1.2 (formule de Newton) Le polynôme d'interpolation de degré n qui passe ...

III INTERPOLATION ET APPROXIMATION DE FONCTIONS

Par exemple la fonction p peut être polynomiale : Prenons l'exemple d'une interpolation linéaire n = 1. ... Interpolation par fonctions splines.

Interpolation par des fonctions radiales

11 mai 2019 10 Interpolation de f1 et de f2 à l'aide de fonctions radiales gaussiennes ... 15 Comparaison des interpolations en fonction de ? et de ? .

Sur lerreur dinterpolation des fonctions de plusieurs variables par

Sur l'erreur d'interpolation des fonctions de plusieurs variables par les Dm-splines. RAIRO. Analyse numérique tome 12

Chapitre II Interpolation et Approximation

Interpolation et Approximation. Le probl`eme de l'interpolation consiste `a chercher des fonctions “simples” (polyn?mes poly-.

Approximation et interpolation des fonctions différentiables de

Approximation et interpolation des fonctions différentiables de plusieurs variables. Annales scientifiques de l'É.N.S. 3e série tome 83

Interpolation de fonctions peu régulières : interpolé de Clément

Interpolation de fonctions peu pas définir l'interpolé de Lagrange de cette fonction. Et dans ce cas ... Nous introduisons l'opérateur d'interpolation.

Méthode des éléments finis

26 nov. 2008 où u?(M) représente la valeur de la fonction approchée en tout point M de l'élément et N la matrice ligne des fonctions d'interpolation de l' ...

Sur lerreur dinterpolation des fonctions de plusieurs variables par

Sur l'erreur d'interpolation des fonctions de plusieurs variables par les Dm-splines. RAIRO – Analyse numérique tome 12

Chapitre 2 Interpolation polynomiale - univ-toulousefr

Interpolation polynomiale 2 1 Motivations En analyse num´erique une fonction f inconnue explicitement est souvent –connueseulementencertainspointsx 0 x 1 x d; –ou´evaluableuniquementaumoyendel’appel`auncodecoˆuteux Mais dans de nombreux cas on a besoin d’e?ectuer des op´erations (d´erivation int´egration ) sur la

Chapitre 1 : Polynôme d’interpolation de - LIMSI

I Interpolation Cours de Claudia NEGULESCU Le probl`eme de l’approximation d’une fonction f intervient dans plusieurs situations comme par exemple : 1) la fonction f(x) est connue mais di?cile `a manipuler L’approximation a pour but de remplacer f par une fonction plus simple ?(f) qui est plus accessible pour l’int´egration

Chapter 3 Interpolation - MathWorks

Interpolation Interpolation is the process of de?ning a function that takes on speci?ed values at speci?ed points This chapter concentrates on two closely related interpolants: the piecewise cubic spline and the shape-preserving piecewise cubic named “pchip ” 3 1 The Interpolating Polynomial

INTERPOLATION - University of Iowa

INTERPOLATION Interpolation is a process of ?nding a formula (often a polynomial) whose graph will pass through a given set of points (xy) As an example consider de?ning x0 =0x1 = ? 4x2 = ? 2 and yi=cosxii=012 This gives us the three points (01) µ ? 4 1 sqrt(2) ¶ ³ ? 20 ´ Now ?nd a quadratic polynomial p(x)=a0 + a1x

Chapitre II Interpolation et Approximation

l’accoutume´e Newton refusa de le publier (voir citation) Cotes le publia comme dernier chapitre Methodus differentialis du livre Analysis per quantitatum series ?uxiones ac differentia s Londini 1711 (voir fac-simile´ en ?gure II 2 1) FIG II 2: Fac-simile´ du calcul de Newton pour le proble`me de l’interpolation

Pourquoi utiliser une fonction d’interpolation?

Une fonction d’interpolation ne sert pas juste à reconstruire la fonction entre des points où on connait la valeur. ou pour une intégrale Ceci nous donne des formules très utiles, qui constituent le point de départ d’un très grand nombre de méthodes numériques utilisées en physique pour résoudre des EDO, EDP, équation intégrales ...

Comment calculer l’interpolation d’une courbe?

Voici l’interpolation def(x) =1 1+8x2pourn= 7,10,18. La zone centrale de la courbe est bien interpolée mais autour de 1 et +1, des «bosses» apparaissent. Ces bosses deviennent de plus en plus grandes en se décalant vers CALCUL FORMEL9. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES50 les extrémités. Il y a convergence simple mais pas convergence uniforme.

Comment calculer l’interpolation d’un signal?

1Créer un signal (aléatoire ou autre) de taille N = 16. 2Dé?nir une fonction interp_trigo(u,x) qui évalue Re(p(x)) et véri?er sur un graphe que l’on a bien une interpolation. 3On considère un entier r > 2, et on pose on dé?nit v 2RrNle rN-échantillonné de p: v

Comment calculer les points d’interpolation?

is’appellent les points d’interpolationet les valeurs f isont les valeurs interpol´ees. Lorsque f i= f(a i), f est la fonction interpol´ee.L’uniquepolynˆomep ?P dtel que p(a i)=f(a i), ?i =0,1,...,ds’appelle alors le polynˆome d’interpolation de Lagrangede f aux points a

III

INTERPOLATION ET APPROXIMATION

DE FONCTIONS

Analyse Numerique

Tronc Commun

Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation1

Un exemple

Evolution de la population en FranceOn considere l'evolution de la population francaise depuis 1936 :

193641183000

194639848000

195442781000

196246459000

196849655000

197552599000

198254296000

199056652000

199958521000

200560825000

Peut-on

estimer le nomb red'habitants p endantles ann eeso uil n'y a pas eu de recensement?Peut-on predire le nombre d'habitants en 2010? Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation2

Un exemple

Evolution de la population en FranceOn considere l'evolution de la population francaise depuis 1936 :

193641183000

194639848000

195442781000

196246459000

196849655000

197552599000

198254296000

199056652000

199958521000

200560825000

Peut-on

estimer le nomb red'habitants p endantles ann eeso uil n'y a pas eu de recensement?Peut-on predire le nombre d'habitants en 2010? Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation2

Un exemple

Evolution de la population en FranceOn considere l'evolution de la population francaise depuis 1936 :

193641183000

194639848000

195442781000

196246459000

196849655000

197552599000

198254296000

199056652000

199958521000

200560825000

Peut-on

estimer le nomb red'habitants p endantles ann eeso uil n'y a pas eu de recensement?Peut-on predire le nombre d'habitants en 2010? Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation2 Interpolation polynomiale en 6 points193019401950196019701980199020002010 4 4.5 5 5.5 6x 10

7Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation3

Interpolation lineaire par morceaux193019401950196019701980199020002010 4 4.5 5 5.5 6x 10

7Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation4

Moindres carres (Regression lineaire)193019401950196019701980199020002010 4 4.5 5 5.5 6x 10

7Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation5

Interpolation de Lagrange

On considere

( n+ 1)p ointsdans le plan (d'abscisses distincts) (x0;y0);(x1;y1);:::;(xn;yn)

(donnees experimentales, statistiques, ...)On cherche une fonctionsimple,p(x)facile a evaluer,passant pa rces p oints:

p(xi) =yii= 0;1;:::;nPar exemple, la fonctionppeut ^etre polynomiale : p(x) =a0+a1x+a2x2+:::+anxnAnalyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation6

Interpolation de Lagrange

On considere

( n+ 1)p ointsdans le plan (d'abscisses distincts) (x0;y0);(x1;y1);:::;(xn;yn)

(donnees experimentales, statistiques, ...)On cherche une fonctionsimple,p(x)facile a evaluer,passant pa rces p oints:

p(xi) =yii= 0;1;:::;nPar exemple, la fonctionppeut ^etre polynomiale : p(x) =a0+a1x+a2x2+:::+anxnAnalyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation6

Interpolation de Lagrange

On considere

( n+ 1)p ointsdans le plan (d'abscisses distincts) (x0;y0);(x1;y1);:::;(xn;yn)

(donnees experimentales, statistiques, ...)On cherche une fonctionsimple,p(x)facile a evaluer,passant pa rces p oints:

p(xi) =yii= 0;1;:::;nPar exemple, la fonctionppeut ^etre polynomiale : p(x) =a0+a1x+a2x2+:::+anxnAnalyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation6

Remarque

On obtient le systeme lineaire d'ordre

( n+ 1)suivant : a

0+x0a1+x20a2+:::+xn0an=y0

0+x1a1+x21a2+:::+xn1an=y1

0+xna1+x2na2+:::+xnnan=ynLa resolution de ce systeme peut ^etre en general co^uteuse et n'est pas recommandee.

Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation7

Remarque

On obtient le systeme lineaire d'ordre

( n+ 1)suivant : a

0+x0a1+x20a2+:::+xn0an=y0

0+x1a1+x21a2+:::+xn1an=y1

0+xna1+x2na2+:::+xnnan=ynLa resolution de ce systeme peut ^etre en general co^uteuse et n'est pas recommandee.

Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation7

Bases de Lagrange

Prenons l'exemple d'une interpolation lineairen= 1. On veut : a

0+a1x0=y0

0+a1x1=y1On denit la fonction

p(x) =y0xx1x

0x1+y1xx0x

1x0 =y0L0(x) +y1L1(x)On verie quepest un polyn^ome de degre1 et que p(x0) =y0;p(x1) =y1

Doncpest le polyn^ome recherche.D

efinitionOn dit quepest lep olyn^omed'interp olationde Lagr angeasso cieaux p oints( x0;y0), (x1;y1).Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation8

Bases de Lagrange

Prenons l'exemple d'une interpolation lineairen= 1. On veut : a

0+a1x0=y0

0+a1x1=y1On denit la fonction

p(x) =y0xx1x

0x1+y1xx0x

1x0 =y0L0(x) +y1L1(x)On verie quepest un polyn^ome de degre1 et que p(x0) =y0;p(x1) =y1

Doncpest le polyn^ome recherche.D

efinitionOn dit quepest lep olyn^omed'interp olationde Lagr angeasso cieaux p oints( x0;y0), (x1;y1).Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation8

Bases de Lagrange

Prenons l'exemple d'une interpolation lineairen= 1. On veut : a

0+a1x0=y0

0+a1x1=y1On denit la fonction

p(x) =y0xx1x

0x1+y1xx0x

1x0 =y0L0(x) +y1L1(x)On verie quepest un polyn^ome de degre1 et que p(x0) =y0;p(x1) =y1

Doncpest le polyn^ome recherche.D

efinitionOn dit quepest lep olyn^omed'interp olationde Lagr angeasso cieaux p oints( x0;y0), (x1;y1).Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation8

Bases de Lagrange

Prenons l'exemple d'une interpolation lineairen= 1. On veut : a

0+a1x0=y0

0+a1x1=y1On denit la fonction

p(x) =y0xx1x

0x1+y1xx0x

1x0 =y0L0(x) +y1L1(x)On verie quepest un polyn^ome de degre1 et que p(x0) =y0;p(x1) =y1

Doncpest le polyn^ome recherche.D

efinitionOn dit quepest lep olyn^omed'interp olationde Lagr angeasso cieaux p oints( x0;y0), (x1;y1).Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation8

Bases de Lagrange

On denit les polyn^omes

L i(x) =(xx0)(xx1):::(xxi1)(xxi+1):::(xxn)(xix0)(xix1):::(xixi1)(xixi+1):::(xixn)=Y j6=ixxjx ixjL iest un polyn^ome de degrenet on a L i(xj) =( 0 si i6=j; 1 si i=jMontrons que les polyn^omesLisont lineairement independants :