[PDF] Analyse Numérique Algorithme de substitution rétrograde





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Analyse Numérique

Un des buts de l'analyse numérique consiste justement à évaluer ces erreurs de discrétisation pour chaque algorithme mis en place.



Chapitre 1 : Introduction à LAnalyse Numérique

Plan du cours. 1. Introduction à l'analyse numérique. 2. Interpolation et approximation. 3. Intégration numérique. 4. Résolution de systèmes linéaires.



Analyse numérique

Le but de ce cours et s'initier aux bases de l'analyse numérique en espérant 1.6 Méthodes numériques de calcul de valeurs propres et vecteurs propres .



Analyse Numérique

analyse numérique. Le but de ce chapitre est d'étudier des méthodes de résolution numérique d'un linéaire Ax = b o`u A est une matrice carrée inversible.



Méthode danalyse numérique.

12 sept. 2006 Méthodes d'analyse numérique. Cours du DEA“Modélisation Dynamique et. Statistique des Syst`emes Complexes”. Pascal Viot.



Méthodes et Analyse Numériques

18 janv. 2011 Méthodes et Analyse Numériques. ... METHODES ANALYSE ET CALCULS. NUMERIQUES ... La stabilité numérique d'une méthode de calcul.



Analyse Numérique

Algorithme de substitution rétrograde x1 = x2 = x3 = 1. 8. Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL). Analyse Numérique. Page 46. Point de vue numérique : 



ANALYSE NUMÉRIQUE ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

de techniques fondamentales de l'Analyse Numérique : interpolation polynomiale intégration numérique



ANALYSE NUMERIQUE Mazen SAAD

Devoir surveillé d'Analyse Numérique (2010) et son corrigé. Algorithme numérique méthodes numériques pour la résolution de syst`emes linéaires.



Python MP PC

TSI Oral

Analyse Numérique

Analyse Numerique

Thomas Cluzeau

Ma^tre de Conferences

Ecole Nationale Superieure d'Ingenieurs de Limoges Parc ester technopole, 16 rue d'atlantis 87068 Limoges Cedex thomas.cluzeau@unilim.fr Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Maths a l'ENSIL en TC1

Harmonisationen fonction du test de la rentr eeAnalyse

Algebre lineaire

Tronc Commun (TC) - 1iere anneeMathematiques pour l'ingenieur (TC1 - S1)

Analyse numerique (TC1 - S2)

Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Analyse Numerique : organisation et evaluation

Organisation :Cours : 7 seances d'1h30

TDs et TPs : 12h

4 seances de TDs d'1h30

3 seances de TPsMatlab: 1 de 3h et 2 d'1h30.

Evaluation: Note du TP de 3h (Compte rendu) - 1=4 note nale1 examen nal de 1h30 avec documents - 3=4 note naleThomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Plan du cours

1Arithmetique des ordinateurs et analyse d'erreurs

2Resolution d'un systeme d'equations lineaires (Partie 1) :

methodes directes3Conditionnement d'une matrice pour la resolution d'un systeme lineaire4Resolution d'un systeme d'equations lineaires (Partie 2) : methodes iteratives5Interpolation polynomiale

6Integration numerique

7

Resolution d'equations et de systemes d'equations non lineairesThomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Chapitre 1

Arithmetique des ordinateurs et

analyse d'erreurs Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Arithmetique

ottante Comment les reels sont-ils representes dans un ordinateur ?Theoreme (Systeme des nombres a virgule ottante)Soitun entier strictement superieur a1. Tout nombre reelxnon nul peut se representer sous la forme x=sgn(x)eX k1d k k; ousgn(x)2 f+;gest le signe dex, lesdksont des entiers tels que02;5 = 2;499999:::).Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Exemples

Systeme decimal := 10 etdk2 f0;1;2;3;4;5;6;7;8;9g0;0038 = 0;38:102= +102(310 +810
2)1 7 = 0;142857:::= +100(110 +410
2+210 3+810

4+).Developpement decimal d'un nombre rationnel est periodique :

17 = 0;142857142857142857::: p2 =1;4142:::=101(110 +410
2+110 3+410

4+)= 3;14159:::= +101(310

+110
2+410 3+110 4+)

Historiquement,= 10 car nous avons 10 doigts !

Ordinateurs: = 2(num erationbinaire), = 8(num. o ctale), ou encore= 16(num. he xadecimale)

Unicite basee surd16= 0 :

0;0038 = 0;38:102= +102(310

+810
2) = 0;038:103= +101(010 +310
2+810

3)Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Le systemeF(1)On denit l'ensembleFRpar :

F= y2Rjy=ed1 +d2 2++dt t ;emineemax ou encore

F=y2Rjy=met;emineemax

Ceci correspond aux deux ecritures :0;0038 = +102(310 +810

2)0;0038 = +38:104

avec= 10,e=2,t= 2,et=4 ms'appellela mantisse . Notation :m=d

1d2:::dt

Notons que 0=2F.Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Le systemeF(2)Poury6= 0, on a

met=e(d1 +d2 2++dt t)e1 =)mt1 m=d

1d2:::dt=d1t1++dtkk++dt1+dt< t

On a donc montre quet1m< t:

Fest unsyst emede nomb res avirgule

ottante ( oating p oint number system). Notation :F(;t;emin;emax).

Il depend de quatre parametres :1la base(chires utilises 0;1;:::; 1),2la precisiont(# chires utilises pour representer la mantisse),3e

minetemaxqui denissentle domaine des exp osants.Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Exemple :F(2;3;1;3)Un reely2F(2;3;1;3) s'ecrit :

y= 2e12 +d24 +d38 ;1e3;d2;d32 f0;1g00;250;512345678

Ecart entre deux nombres consecutifs2 a chaque puissance de 2Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Standard IEEE 754 et epsilon machine

Dans le standard IEEE 754 utilise parMatlab, on a= 2 et :en simple precision :t= 24,emin=125,emax= 128,en double precision :t= 53,emin=1021,emax= 1024.Denition

On appelle

epsilon machine et on note Mla distance de1au nombre ottant suivant.Par exemple, pourF(2;3;1;3), on aM= 0;25 DansMatlab, c'est la variableeps.Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Ecart entre deux nombres consecutifsProposition

PourF(;t;emin;emax), on aM=1t.Proof.

On a 1 =

1 =10:::0.

Nombre suivant :10:::1= (1

+1 t)= 1 +1t:Lemme

Dans le systeme de nombres a virgule

ottanteF(;t;emin;emax), l'ecartjyxjentre un nombre ottantx(non nul) et un nombre

ottanty(non nul) adjacent verie1Mjxj jyxj Mjxj.Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Representation physique et arrondi

Representation physique: simple precision 32 bits(bit = bina rydigit), 8 bits sont r eserves

a l'exposant et 24 bits (dont 1 pour le signe) a la mantisse.double precision 64 bits, 11 bits sont reserves a l'exposant et

53 bits (dont 1 pour le signe) a la mantisse.

Arrondi: 1

par troncature : pa rexemple avec 3 chires, 0 ;8573:::devient

0;857.2au plus pres: 0 ;8573:::devient 0;857.3au representant le plus proche dont la derniere decimale est

paire

(rounding to even) : 0 ;8573:::devient 0;858.Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Formalisation

Denition

SoitG=G(;t) =fy2Rjy=metgsans conditions sur

l'exposante. L'application :R!G;x7! (x)est appelee operation d'arrondi. Etant donne un domaineF(;t;emin;emax), il y a alors depassement de capacite si : 1j (x)j>maxfjyj jy2Fg. On parle d'over ow2j (x)jErreur d'arrondi

Denition

Soitxun reel etxune valeur approchee dex.

L' erreur absolueeest deni pare=jxxj. L' erreur relative est jex j. Le p ourcentaged'erreur

est l'erreur relative multipli eepa r100.En pratique, on ne connait en general pas la valeur exactexmais

on peut souvent avoir une idee de l'erreur maximaleeque l'on a pu commettre : dans ce cas, on majo rela quantit ejex jThomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique Estimation de l'erreur d'arrondi - unite d'erreur d'arrondi

Theoreme

Soitxun reel. Sixest dans le domaineF(;t;emin;emax), alors ilexiste2RavecjjMtel que (x) =x(1+).L'erreur relative sur l'arrondi est egale ajjModele de l'arithmetique ottante

Modele Standard( utilisepa rle standa rdIEEE) :

Soitx;y2F(;t;emin;emax). Pourop2 f+;;;;pg, on

denit xopy= (xopy) = (xopy)(1 +);jjNous allons maintenant nous interesser auxerreurs faites pa ropThomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Analyse d'erreurs : non-associativite

Contrairement aop,l'op erationopn'est pas associative: (xopy)opz6=xop(yopz)

Ceci est d^u aux erreurs d'arrondi !

Par exemple, supposons que les reels soient calcules avec 3 chires signicatifs et arrondis a la decimale la plus proche et cherchons a calculer la sommex+y+zavecx= 8;22,y= 0;00317 et

z= 0;00432.x+y= 8;22 donc( x+y) +z= 8;22y+z= 0;01 doncx+(y+z) = 8;23Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Analyse d'erreurs : erreurs d'arrondi sur une somme

CalculerS=u1+u2++undansF(;t;emin;emax)

On calcule alors lessommes pa rtiellesSipar la recurrenceS0= 0,

Si=Si1+ui

Siuiconnus exactement, alors leserreurs d'a rrondi Sicommises sur le calcul des sommes partiellesSiverient

SiSi1+(Si1+ui) = Si1+Si;jj L' erreur globale surS=Snverie donc S(S2++Sn);

S(un+ 2un1+ 3un2++ (n1)u2+ (n1)u1):

Erreur minimale en sommant d'abord les termes les plus petitsThomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Analyse d'erreurs : erreurs d'arrondi sur un produit

CalculerP=u1u2:::undansF(;t;emin;emax)

On calcule alors lesp roduitsPipar la recurrenceP0= 1, P i=Pi1ui Siuiconnus exactement, alors leserreurs d'a rrondi Picommises sur le calcul desPiverient

Pi(Pi1)ui+(Pi1ui) = Pi1ui+Pi;jj

L'erreur globale surP=Pnverie donc

P(k1)Pn:

Contrairement au cas de l'addition, la majoration de l'erreur ne depend pas de l'ordre des facteurs.Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Phenomenes de compensation (1)

Phenomenes qui se produisent lorsque l'on tente de soustraire des nombres tres proches

Exemple 1 :E=px+ 1pxavecx>0

SousMatlab, on obtient :pourx= 109,E= 1;5811:105pourx= 1016,E= 0 !

Si l'on remarque queE=1px+1+px

, alors, en utilisant cette

nouvelle formule, on trouvera :pourx= 109,E= 1;5811:105pourx= 1016,E= 5;000:109!Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Phenomenes de compensation (2)

Phenomenes qui se produisent lorsque l'on tente de soustraire des nombres tres proches Exemple 2 : equation du second degrex21634x+ 2 = 0. Supposons que les calculs soient eectues avec 10 chires signicatifs. Les formules habituelles donnent

0=16342

2

2 = 667487;p

0= 816;9987760

x

1=16342

+p

0= 817 + 816;9987760 = 1633;998776;

x

2=16342

p

0= 817816;9987760 = 0;0012240:

perte de 5 chires signicatifs surx2! Pour y remedier, on peut utiliser la relationx1x2= 2et c alculer x 2=2x

1=21633;998776= 0;001223991125:Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Phenomenes d'instabilite numerique (1)

Phenomenes d'amplication d'erreur d'arrondi : se produisent pour des calculs recurrents ou iteratifs

Exemple 1 : calcul deIn=R1

0xn10+xdx;n2N

Calcul direct :

I

0=ln1110

;In=1n 10In1 calcul deInpar recurrence

Numeriquement, resultats tres mauvais !

Explication :erreur d'a rrondi Inverie In10In1etcroit exponentiellement : l'erreur surI0est multipliee par 10nsurIn. Cette formule de recurrence ne peut pas nous permettre de calculer la valeur deI36par exempleThomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

Phenomenes d'instabilite numerique (2)

Phenomenes d'amplication d'erreur d'arrondi : se produisent pour des calculs recurrents ou iteratifs

Exemple 1 : calcul deIn=R1

0xn10+xdx;n2N

Pour remedier a ce probleme, on peut renverser la recurrence : I n1=110 1n In: on obtient alors In1110 In.

1010 +x11 =)111(n+ 1)In110(n+ 1)

ApproximationIn111(n+1) valeur de depart pour notre recurrence renversee. Exemple,I46111(46+1) , on obtient pourI36 une erreur relative meilleure que 10 10.

Importance du coecient d'amplication d'erreurThomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique

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