Analyse Numérique
Un des buts de l'analyse numérique consiste justement à évaluer ces erreurs de discrétisation pour chaque algorithme mis en place.
Chapitre 1 : Introduction à LAnalyse Numérique
Plan du cours. 1. Introduction à l'analyse numérique. 2. Interpolation et approximation. 3. Intégration numérique. 4. Résolution de systèmes linéaires.
Analyse numérique
Le but de ce cours et s'initier aux bases de l'analyse numérique en espérant 1.6 Méthodes numériques de calcul de valeurs propres et vecteurs propres .
Analyse Numérique
analyse numérique. Le but de ce chapitre est d'étudier des méthodes de résolution numérique d'un linéaire Ax = b o`u A est une matrice carrée inversible.
Méthode danalyse numérique.
12 sept. 2006 Méthodes d'analyse numérique. Cours du DEA“Modélisation Dynamique et. Statistique des Syst`emes Complexes”. Pascal Viot.
Méthodes et Analyse Numériques
18 janv. 2011 Méthodes et Analyse Numériques. ... METHODES ANALYSE ET CALCULS. NUMERIQUES ... La stabilité numérique d'une méthode de calcul.
Analyse Numérique
Algorithme de substitution rétrograde x1 = x2 = x3 = 1. 8. Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL). Analyse Numérique. Page 46. Point de vue numérique :
ANALYSE NUMÉRIQUE ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
de techniques fondamentales de l'Analyse Numérique : interpolation polynomiale intégration numérique
ANALYSE NUMERIQUE Mazen SAAD
Devoir surveillé d'Analyse Numérique (2010) et son corrigé. Algorithme numérique méthodes numériques pour la résolution de syst`emes linéaires.
Python MP PC
TSI Oral
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Analyse Numerique
Thomas Cluzeau
Ma^tre de Conferences
Ecole Nationale Superieure d'Ingenieurs de Limoges Parc ester technopole, 16 rue d'atlantis 87068 Limoges Cedex thomas.cluzeau@unilim.fr Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse NumeriqueMaths a l'ENSIL en TC1
Harmonisationen fonction du test de la rentr eeAnalyseAlgebre lineaire
Tronc Commun (TC) - 1iere anneeMathematiques pour l'ingenieur (TC1 - S1)Analyse numerique (TC1 - S2)
Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse NumeriqueAnalyse Numerique : organisation et evaluation
Organisation :Cours : 7 seances d'1h30
TDs et TPs : 12h
4 seances de TDs d'1h30
3 seances de TPsMatlab: 1 de 3h et 2 d'1h30.
Evaluation: Note du TP de 3h (Compte rendu) - 1=4 note nale1 examen nal de 1h30 avec documents - 3=4 note naleThomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique
Plan du cours
1Arithmetique des ordinateurs et analyse d'erreurs
2Resolution d'un systeme d'equations lineaires (Partie 1) :
methodes directes3Conditionnement d'une matrice pour la resolution d'un systeme lineaire4Resolution d'un systeme d'equations lineaires (Partie 2) : methodes iteratives5Interpolation polynomiale6Integration numerique
7Resolution d'equations et de systemes d'equations non lineairesThomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique
Chapitre 1
Arithmetique des ordinateurs et
analyse d'erreurs Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse NumeriqueArithmetique
ottante Comment les reels sont-ils representes dans un ordinateur ?Theoreme (Systeme des nombres a virgule ottante)Soitun entier strictement superieur a1. Tout nombre reelxnon nul peut se representer sous la forme x=sgn(x)eX k1d k k; ousgn(x)2 f+;gest le signe dex, lesdksont des entiers tels que0Exemples
Systeme decimal := 10 etdk2 f0;1;2;3;4;5;6;7;8;9g0;0038 = 0;38:102= +102(310 +8102)1 7 = 0;142857:::= +100(110 +410
2+210 3+810
4+).Developpement decimal d'un nombre rationnel est periodique :
17 = 0;142857142857142857::: p2 =1;4142:::=101(110 +4102+110 3+410
4+)= 3;14159:::= +101(310
+1102+410 3+110 4+)
Historiquement,= 10 car nous avons 10 doigts !
Ordinateurs: = 2(num erationbinaire), = 8(num. o ctale), ou encore= 16(num. he xadecimale)Unicite basee surd16= 0 :
0;0038 = 0;38:102= +102(310
+8102) = 0;038:103= +101(010 +310
2+810
3)Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique
Le systemeF(1)On denit l'ensembleFRpar :
F= y2Rjy=ed1 +d2 2++dt t ;emineemax ou encoreF=y2Rjy=met;emineemax
Ceci correspond aux deux ecritures :0;0038 = +102(310 +8102)0;0038 = +38:104
avec= 10,e=2,t= 2,et=4 ms'appellela mantisse . Notation :m=d1d2:::dt
Notons que 0=2F.Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse NumeriqueLe systemeF(2)Poury6= 0, on a
met=e(d1 +d2 2++dt t)e1 =)mt1 m=d1d2:::dt=d1t1++dtkk++dt1+dt< t
On a donc montre quet1m< t:
Fest unsyst emede nomb res avirgule
ottante ( oating p oint number system). Notation :F(;t;emin;emax).Il depend de quatre parametres :1la base(chires utilises 0;1;:::; 1),2la precisiont(# chires utilises pour representer la mantisse),3e
minetemaxqui denissentle domaine des exp osants.Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique
Exemple :F(2;3;1;3)Un reely2F(2;3;1;3) s'ecrit :
y= 2e12 +d24 +d38 ;1e3;d2;d32 f0;1g00;250;512345678Ecart entre deux nombres consecutifs2 a chaque puissance de 2Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique
Standard IEEE 754 et epsilon machine
Dans le standard IEEE 754 utilise parMatlab, on a= 2 et :en simple precision :t= 24,emin=125,emax= 128,en double precision :t= 53,emin=1021,emax= 1024.Denition
On appelle
epsilon machine et on note Mla distance de1au nombre ottant suivant.Par exemple, pourF(2;3;1;3), on aM= 0;25 DansMatlab, c'est la variableeps.Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse NumeriqueEcart entre deux nombres consecutifsProposition
PourF(;t;emin;emax), on aM=1t.Proof.
On a 1 =
1 =10:::0.Nombre suivant :10:::1= (1
+1 t)= 1 +1t:LemmeDans le systeme de nombres a virgule
ottanteF(;t;emin;emax), l'ecartjyxjentre un nombre ottantx(non nul) et un nombreottanty(non nul) adjacent verie1Mjxj jyxj Mjxj.Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique
Representation physique et arrondi
Representation physique: simple precision 32 bits(bit = bina rydigit), 8 bits sont r eservesa l'exposant et 24 bits (dont 1 pour le signe) a la mantisse.double precision 64 bits, 11 bits sont reserves a l'exposant et
53 bits (dont 1 pour le signe) a la mantisse.
Arrondi: 1
par troncature : pa rexemple avec 3 chires, 0 ;8573:::devient0;857.2au plus pres: 0 ;8573:::devient 0;857.3au representant le plus proche dont la derniere decimale est
paire(rounding to even) : 0 ;8573:::devient 0;858.Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique
Formalisation
Denition
SoitG=G(;t) =fy2Rjy=metgsans conditions sur
l'exposante. L'application :R!G;x7! (x)est appelee operation d'arrondi. Etant donne un domaineF(;t;emin;emax), il y a alors depassement de capacite si : 1j (x)j>maxfjyj jy2Fg. On parle d'over ow2j (x)jDenition
Soitxun reel etxune valeur approchee dex.
L' erreur absolueeest deni pare=jxxj. L' erreur relative est jex j. Le p ourcentaged'erreurest l'erreur relative multipli eepa r100.En pratique, on ne connait en general pas la valeur exactexmais
on peut souvent avoir une idee de l'erreur maximaleeque l'on a pu commettre : dans ce cas, on majo rela quantit ejex jThomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique Estimation de l'erreur d'arrondi - unite d'erreur d'arrondiTheoreme
Soitxun reel. Sixest dans le domaineF(;t;emin;emax), alors ilexiste2RavecjjMtel que (x) =x(1+).L'erreur relative sur l'arrondi est egale ajjModele Standard( utilisepa rle standa rdIEEE) :
Soitx;y2F(;t;emin;emax). Pourop2 f+;;;;pg, on
denit xopy= (xopy) = (xopy)(1 +);jjNous allons maintenant nous interesser auxerreurs faites pa ropThomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse NumeriqueAnalyse d'erreurs : non-associativite
Contrairement aop,l'op erationopn'est pas associative: (xopy)opz6=xop(yopz)Ceci est d^u aux erreurs d'arrondi !
Par exemple, supposons que les reels soient calcules avec 3 chires signicatifs et arrondis a la decimale la plus proche et cherchons a calculer la sommex+y+zavecx= 8;22,y= 0;00317 etz= 0;00432.x+y= 8;22 donc( x+y) +z= 8;22y+z= 0;01 doncx+(y+z) = 8;23Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique
Analyse d'erreurs : erreurs d'arrondi sur une sommeCalculerS=u1+u2++undansF(;t;emin;emax)
On calcule alors lessommes pa rtiellesSipar la recurrenceS0= 0,Si=Si1+ui
Siuiconnus exactement, alors leserreurs d'a rrondi Sicommises sur le calcul des sommes partiellesSiverientSiSi1+(Si1+ui) = Si1+Si;jj L' erreur globale surS=Snverie donc S(S2++Sn); S(un+ 2un1+ 3un2++ (n1)u2+ (n1)u1):
Erreur minimale en sommant d'abord les termes les plus petitsThomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique
Analyse d'erreurs : erreurs d'arrondi sur un produitCalculerP=u1u2:::undansF(;t;emin;emax)
On calcule alors lesp roduitsPipar la recurrenceP0= 1, P i=Pi1ui Siuiconnus exactement, alors leserreurs d'a rrondi Picommises sur le calcul desPiverientPi(Pi1)ui+(Pi1ui) = Pi1ui+Pi;jj L'erreur globale surP=Pnverie donc
P(k1)Pn:
Contrairement au cas de l'addition, la majoration de l'erreur ne depend pas de l'ordre des facteurs.Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique Phenomenes de compensation (1)
Phenomenes qui se produisent lorsque l'on tente de soustraire des nombres tres proches Exemple 1 :E=px+ 1pxavecx>0
SousMatlab, on obtient :pourx= 109,E= 1;5811:105pourx= 1016,E= 0 ! Si l'on remarque queE=1px+1+px
, alors, en utilisant cette
nouvelle formule, on trouvera :pourx= 109,E= 1;5811:105pourx= 1016,E= 5;000:109!Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique
Phenomenes de compensation (2)
Phenomenes qui se produisent lorsque l'on tente de soustraire des nombres tres proches Exemple 2 : equation du second degrex21634x+ 2 = 0. Supposons que les calculs soient eectues avec 10 chires signicatifs. Les formules habituelles donnent0=16342
22 = 667487;p
0= 816;9987760
x1=16342
+p0= 817 + 816;9987760 = 1633;998776;
x2=16342
p0= 817816;9987760 = 0;0012240:
perte de 5 chires signicatifs surx2! Pour y remedier, on peut utiliser la relationx1x2= 2et c alculer x 2=2x1=21633;998776= 0;001223991125:Thomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique
Phenomenes d'instabilite numerique (1)
Phenomenes d'amplication d'erreur d'arrondi : se produisent pour des calculs recurrents ou iteratifsExemple 1 : calcul deIn=R1
0xn10+xdx;n2N
Calcul direct :
I0=ln1110
;In=1n 10In1 calcul deInpar recurrenceNumeriquement, resultats tres mauvais !
Explication :erreur d'a rrondi Inverie In10In1etcroit exponentiellement : l'erreur surI0est multipliee par 10nsurIn. Cette formule de recurrence ne peut pas nous permettre de calculer la valeur deI36par exempleThomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse NumeriquePhenomenes d'instabilite numerique (2)
Phenomenes d'amplication d'erreur d'arrondi : se produisent pour des calculs recurrents ou iteratifsExemple 1 : calcul deIn=R1
0xn10+xdx;n2N
Pour remedier a ce probleme, on peut renverser la recurrence : I n1=110 1n In: on obtient alors In1110 In.1010 +x11 =)111(n+ 1)In110(n+ 1)
ApproximationIn111(n+1) valeur de depart pour notre recurrence renversee. Exemple,I46111(46+1) , on obtient pourI36 une erreur relative meilleure que 10 10.Importance du coecient d'amplication d'erreurThomas Cluzeau (Univ. de Limoges - ENSIL)Analyse Numerique
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