1.2 Intérieuradhérence
a) Un ensemble fini est fermé. b) A ? B = A ? B. c) A ? B ? A ? B. En général l'inclusion
Caractérisation et modélisation de ladhérence dans les
18 avr. 2017 Une approche énergétique a permis de déterminer un critère ... L'ensemble de ces essais montre bien que la mesure de l'adhérence d'un ...
Exercices de licence
Exercice 12 Déterminer l'adhérence et l'intérieur des ensembles suivants : Exercice 17 Etablir les propriétés suivantes de l'adhérence d'un ensemble ...
Intérieur et adhérence
10 juil. 2014 Déterminer l'adhérence et l'intérieur de l'ensemble Dn(C) des matrices diagonalisables de Mn(C). Exercice 13 [ 03026 ] [correction].
La proposition II.2.1 du cours sur lintérieur et ladhérence
L'ensemble des points intérieurs `a A est un ouvert de E par rapport `a la topologie T ; c'est la plus grande partie ouverte de A contenue dans A. 3. Tout point
Feuille dexercices 2
Déterminer dans R usuel
Evaluation de ladhérence au contact roue-rail par analyse dimages
23 mai 2019 géométriquement au centre de l'ellipse sont considérés constants sur l'ensemble du contact. Afin de déterminer les efforts tangentiels ...
Compléments dAnalyse : Topologie de R
Exercice 6. Parmi les sous-ensembles de R suivants lesquels sont ouverts ? fermés ? compacts ? Déterminer leur adhérence et leur intérieur. X1 = [?1
Adhérence et intérieur de lensemble des matrices diagonalisables
(b) Si f est diagonalisable déterminer la dimension de Cf en fonction des dimensions des sous-espaces propres de. 10. Page 5. f (on pourra remarquer qu'un
1. Espaces topologiques métriques et normés : premi`eres notions.
Tout ensemble fermé et majoré contient sa borne supérieure. Exercice 3 Déterminer l'adhérence et l'intérieur des ensembles suivants : Q; RQ; {(x ...
Exo7 - Exercices de mathématiques
1 Toute valeur d’adhérence a de la suite est un point de A : donner un exemple où a est un point isolé de A; un exemple où a est un point d’accumulation dans A; un exemple où a est un point d’accumulation dans AnA 2 Montrer que tout point d’accumulation de A est valeur d’adhérence de la suite Correction H [002351] Exercice 13
Intérieur et adhérence - Puissance Maths
A?A¯B?B¯ doncd(A¯ B¯) 6 d(AB) Pourtoutx?A¯ ety?B¯ilexiste(a n) ?AN et(b n) ?BN tellesquea n?xet b n?y Onaalorsd(xy) = lim n?+? d(a nb n) ord(a nb n) > d(AB) doncàlalimite d(xy) > d(AB) puisd(A¯ B¯) > d(AB) et?nalementl’égalité Exercice 10 : [énoncé] a) Sn i=1 A iestunferméquicontient n i=1 A
Exemples
L'adhérence de tout ensemble fermé est égale à lui-même. Dans Rmuni de la distance usuelle : 1. L'adhérence de ]a,b[ est [a,b]. 2. L'adhérence de ]a,b] est [a,b]. 3. L'adhérence de [a,b[ est [a,b]. 4. L'adhérence de ]a,+?[ est [a,+?[. 5. L'adhérence de Q est R. Dans Rmuni de la distance usuelle : 1. La frontière de ]a,b[ est {a;b}. 2. La frontière ...
Comment calculer l'adhérence d'un ensemble ?
Théorème : Soient E E un espace métrique, A A une partie de E E et a a un élément de E E . Alors a a est adhérent à A A si, et seulement si, il existe une suite (un) ( u n) de points de A A qui converge vers a a . L' adhérence d'un ensemble A A est l'ensemble des points adhérents à A A.
Qu'est-ce que l'adhérence d'un ensemble ?
Alors a a est adhérent à A A si, et seulement si, il existe une suite (un) ( u n) de points de A A qui converge vers a a . L' adhérence d'un ensemble A A est l'ensemble des points adhérents à A A. On peut aussi la définir (c'est équivalent) comme le plus petit fermé contenant A A. Classiquement, l'adhérence de A A est notée ¯A A ¯.
Comment calculer l'adhérence d'un ensemble fermé ?
L'adhérence de tout ensemble fermé est égale à lui-même. L'adhérence de ]a,b [ est [a,b]. L'adhérence de ]a,b] est [a,b]. L'adhérence de [a,b [ est [a,b]. L'adhérence de ]a,+? [ est [a,+? [. L'adhérence de Q est R . La frontière de ]a,b [ est {a;b}. La frontière de ]a,b] est {a;b}. La frontière de [a,b [ est {a;b}. La frontière de ]a,+? [ est {a}.
Comment calculer un ensemble fermé ?
Dans un espace métrique E, tout ensemble fermé est l'intersection d'une suite décroissante d'ensembles ouverts ; tout ensemble ouvert est la réunion d'une suite croissante d'ensembles fermés. On démontre le premier résultat en considérant les ensembles ouverts V 1/n (A), et le second par passage aux complémentaires. Fr (A)=Fr (E-A).
Licence L3 { Topologie Printemps 2009
1. Espaces topologiques, metriques et normes : premieres notions.
Exercice 1DansRmuni de la distance usuelle, montrer que1. Tout ensemble reduit a un point est ferme;
2. Tout ensemble ferme et majore contient sa borne superieure.
Exercice 2Montrer que tout ouvert deRest union denombrable d'intervalles ouverts deux a deux disjoints. Est-il vrai que tout ouvert deR2est union denombrable de disques ouverts deux a deux disjoints? Exercice 3Determiner l'adherence et l'interieur des ensembles suivants :Q;RnQ;f(x;y)2R2=0< x <1;y= 0g;f(x;y;z)2R3= x= 0g;f1n ;n>1g; le cercle unite deR2. Exercice 4UdansNest dit ouvert s'il est stable par divisibilite, c.a.d. tout diviseur den2Uest encore dansU. Montrer qu'on a deni ainsi une topologie surNqui n'est pas la topologie discrete. Exercice 5On va montrer que l'ensembleDdes reels de la formep+qp2 oupetqdecriventZ, est dense dansR.1. Remarquer queDest stable par addition et multiplication.
2. Posonsu=p21; montrer que pour tousa < b, on peut trouvern>1 tel que 0< un< ba,
puismverianta < mun< b.En deduire le resultat.
Exercice 6SoitXun ensemble non vide et une famille de parties deXstable par intersection nie et contenantX. Montrer que la plus petite topologieTcontenant (la topologie engendree par ) est constituee des unions d'ensembles de , ou, de facon equivalente,A2 T () 8x2A9S2 ;x2SA:
Montrer que l'on peut aaiblir l'hypothese de stabilite par intersection nie en : ()8S1;S22;8x2S1\S2;9S32 ;x2S3S1\S2: Exercice 7SiAest une partie de l'espace topologiqueX, on pose(A) =Aet(A) = A.1. Montrer queetsont des applications croissantes pour l'inclusion deP(X) dansP(X).
2. Montrer que siAest ouvert,A(A) et siAest ferme,(A)A. En deduire que2=et
2=.3. ConstruireARtel que les cinq ensembles :A,A,A,(A),(A) soient tous distincts.
4. Est-ce que(A) et(A) sont toujours egaux a l'un des cinq ensembles de la question precedente?
Exercice 8Dans un espace topologique, on denit la frontiere d'une partieAcomme etant@A=AnA.1. Montrer que@A=@(Ac) et queA=@A()Aest ferme d'interieur vide.
2. Montrer que@(A) et@(A) sont toutes deux incluses dans@A, et donner un exemple ou ces
inclusions sont strictes.3. Montrer que@(A[B)@A[@B, et que l'inclusion peut ^etre stricte; montrer qu'il y a egalite
lorsqueA\B=;(etablirA[BA[B).Montrer que
A[B=A[Breste vrai lorsque@A\@B=;(raisonner par l'absurde).Licence L3 { Topologie Printemps 2009
Exercice 9On rappelle la construction de l'ensemble triadiqueKde Cantor : on part du segment [0;1] dont on supprime l'intervalle median ]13 ;23 [; a la deuxieme etape, on supprime les intervalles 19 ;29 [ et ]79 ;89 [, et ainsi de suite... On noteKnla reunion des intervalles restants a lan-ieme etape, etK=TKn.
1. Quelle sont l'adherence et l'interieur deK?
2. L'ensembleKest-il denombrable?
Exercice 101. Montrer que dans tout espace metrique (E;d) une boule fermee est un ferme, mais que l'adherence d'une boule ouverteB(a;r) ne coincide pas necessairement avec la boule fermee B0(a;r) (on pourra considerer dans (R2;jj:jj1),E= [0;1] f0g [ f0g [0;1] avec la distance
induite).2. Montrer que la famille des boules ouvertes de (E;d) verie la condition () de l'exercice 6.
Exercice 11(E;jj:jj) un espace vectoriel norme.
1. Montrer que dans ce cas la boule fermeeB0(a;r) est l'adherence de la boule ouverteB(a;r).
2. Montrer queB(a;r)B(b;R)()r6Retjjabjj6Rr.
Exercice 121. Soitjj:jjune norme surRnetKsa boule unite fermee. Montrer que (i)Kest symetrique, (ii)Kest convexe, ferme, borne, (iii) 0 est un point interieur aK.2. Reciproquement, montrer que siKpossede les trois proprietes ci-dessus, il existe une norme
dontKsoit la boule unite fermee, en considerantp(x) = inffa >0 ;xa 2Kg. Exercice 13On considere dansR2, les deux applications n(x;y) = sup t2[0;1]jx+tyj; m(x;y) =Z 1 0 jx+tyjdt:1. Montrer quenetmdenissent deux normes surR2.
2. Dessiner les boules unites fermees associees, et trouver des constantes eectivesA,B, telles que
A n(x;y)6m(x;y)6B n(x;y) pour tout (x;y)2R2.
Exercice 141. SoitXun espace topologique, etDun sous-ensemble dense deX. Montrer qu'il est aussi equivalent de dire (i) Le complementaire deDest d'interieur vide. (ii) SiFest un ferme contenantD, alorsF=X. (iii)Drencontre tout ouvert non vide deX.2. Montrer qu'un ensembleAXrencontre toute partie dense dansXsi et seulement si il est
d'interieur non vide.3. SoitEetGdeux ouverts denses dansX; montrer queE\Gest encore dense dansX. En deduire
que toute intersection denombrable d'ouverts denses est une intersection decroissante d'ouverts denses. Exercice 15SoitE=ff2C1([0;1];R) ;f(0) = 0g. On pose jjfjj= sup06x61jf(x) +f0(x)j;etN(f) = sup
06x61jf(x)j+ sup
06x61jf0(x)j:
Montrer que ce sont deux normes equivalentes surE.quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] topologie usuelle
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