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Exercice 3 3 points
La suite (un) est définie par :u0=0 et pour tout entier naturel n, un+1=1 2-un.1.a. A l'aide du calcul des premiers termes de la suite (un), conjecturer la forme explicite de
un en fonction de n. Démontrer cette conjecture.1.b. En déduire la limite l de la suite (un).
2. Compléter, dans l'ANNEXE, l'algorithme permettant de déterminer la valeur du plus petit entier n
tel que : ∣un+1-un∣⩽10-3.ANNEXE
(à rendre avec la copie) Variables : n, a et b sont des nombresInitialisation : n prend la valeur 0
a prend la valeur 0 b prend la valeur 0,5 Traitement : Tant que | b - a | . . . . . n prend la valeur . . . . . a prend la valeur . . . . . b prend la valeur . . . . .Fin Tant que
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CORRECTION
(un) est la suite définie par : u0=0 et pour tout entier naturel n un+1=1 2-un.1.a. u1=1
2-0=1 2 u2=1 2-1 2 =23 u3=1
2-2 3 =34 u4=1
2-3 4 =45 Conjecture
Pour tout entier naturel n un=n
n+1.Démonstration de la conjecturer
On veut démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n,
on a un=n n+1. . InitialisationPour n=0
00+1=0 et u0=0
La propriété est vérifiée pour n=0.
. HéréditéPour démontrer que la propriété est héréditaire , pour tout entier naturel n, on suppose que
un=n n+1 et on doit démontrer que un+1=n+1 n+2. Or un+1=1 2-un =1 2-n n+1 =n+12(n+1)-n=n+1
n+2 . Conclusion Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, on a un=n n+1.1.b. Pour tout entier naturel n :
un=n n+1=n+1-1 n+1=1-1 n+1 limn→+∞ 1 n+1= 0 donc limn→+∞un= 1. 2. Variables : n, a et b des nombres Initialisation : n prend la valeur 0 a prend la valeur 0 b prend la valeur 0,5 Traitement : Tant que | b-a | > 10-3 n prend la valeur n+1 a prend la valeur b b pend la valeur 1 2-bFin Tant que
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