Les droites du triangle PDF ACTIVITÉ 1 Des droites concourantes.

Le concours des hauteurs dun triangle

Dans cette homothétie les hauteurs. A

Fragments de géométrie du triangle

Les hauteurs d'un triangle sont concourantes. Définition 2.3. Démonstration : Il suffit de montrer que le symétrique de l'orthocentre par rapport.

Les droites du triangle

ACTIVITÉ 1 Des droites concourantes. L'objectif est de démontrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes.

COMPOSITION DE MATH´EMATIQUES

En déduire que les trois hauteurs du triangle ABC sont concourantes en un a) Montrer que X contient au moins trois points de (O u) d'abscisses non ...

FICHE DE COURS:

connaitre la propriété : les trois médianes d'un triangle sont concourantes ;. ? être capable de montrer qu'un point est centre de gravité d'un triangle ;.

COMMENT DEMONTRER……………………

perpendiculaire à ce segment en son milieu. Donc (D) ? (AB). On sait que ( A. ? ) est la hauteur passant par A dans le triangle ABC.

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN DADMISSION AUX ETUDES D

(b) Démontrer que les hauteurs issues de B dans les triangles ABB et CBB ont la même longueur. (a) Démontrer que d1 d2 et BC sont concourantes.

Angles et rotations en 1S

???/???/???? BIK et CIJ sont concourants en un point P pivot des trois points. ... montrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes

F1 Comment démontrer que deux droites sont parallèles

P : Les bissectrices des trois angles d'un triangle sont concourantes. Le point de concours est le centre du cercle inscrit au triangle. P : Les trois hauteurs

Chapitre n°10 : « Les triangles »

Propriété. Dans un triangle les médianes sont concourantes. Page 9. 5ème4. 2009-2010. 3/ Hauteurs d'un triangle.

Hauteurs (du triangle) Wiki Géométrie Fandom

Dans le triangle ABC la hauteur issue de Aest orthogonale à [BC] donc elle est aussi orthogonale à d A Par conséquent c'est la médiatrice de [EF] Les hauteurs du triangle ABCsont donc les médiatrices du triangle DEF Théorème 2 4 Les médianes d'un triangle sont onccourantes et leur ointp d'intersec-

Le concours des hauteurs d'un triangle - Université Paris-Saclay

0 1 Th eor eme Les hauteurs A;B;Csont concourantes en un point happel e orthocentre du triangle abc 0 2 Pr eliminaire : deux hauteurs se coupent Dans presque toutes les preuves nous utiliserons le lemme suivant : 0 2 Lemme Les hauteurs B;Cse coupent en un point h D emonstration Il s’agit de montrer que B;Cne sont pas parall eles On rai-

Les triangles les hauteurs et les médiatrices

Construire un triangle ABC avec ses hauteurs Que remarquez-vous ? Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un même point H du triangle

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Les trois hauteurs d’ un triangle sont concourantes Figure et données : Données: ?? ABC triangle ?? (DF) // (BC) ?? (EF) // (AB) ?? (DE) // (AC) ?? (BH); est une hauteur du triangle ABC Démonstration : 1 Montrer que B est le milieu de [DE] 2 Montrer que (BH) est la médiatrice de [DE] 3 De la même manière; montrer que les deux

Quelle est la hauteur d'un triangle ?

Les hauteur d'un triangle sont les droites passant par ses sommets et qui sont perpendiculaires à leur côté opposé. Elles sont concourantes en un point O qui est appelé l’ orthocentre. Remarquons que l' orthocentre peut se situer à l'extérieur du triangle, selon la configuration de ce dernier.

Quelle est la hauteur d’un triangle rectangle ?

Dans le cas d’un triangle rectangle, la base b correspond à l’hypothénuse et la hauteur h est toujours issue de l’angle droit comme sur le schéma qui suit. Quelle est la hauteur d’un triangle rectangle ? produit de l’hypoténuse par la hauteur issue du sommet de l’angle droit.

Quel est le point d'intersection des trois hauteurs d'un triangle ?

Dans un triangle il y a trois sommets, donc il y a trois hauteurs. Le point d'intersection des trois hauteurs d'un triangle s'appelle l'orthocentre. Le point D est l'orthocentre du triangle. L'orthocentre peut être à l'intérieur du triangle, comme dans le schéma de gauche. C'est quoi les trois hauteurs d'un triangle ?

Comment tracer les hauteurs d’un triangle?

Pour chacun des triangles, on marque un sommet et son côté opposé en gras et on demande à l’élève de tracer la hauteur issue du sommet en gras. L’élève peut ainsi appuyer son équerre sur le côté tracé en gras… Exercice 4 : Tracer les hauteurs issues de A dans les triangles suivants :

ESPACE &

GÉOMÉTRIE

25Les droitesdu triangle

Connaissances et compétences abordées

§Triangle : hauteurs et médiatrices.§Construire et coder une figure.

ACTIVITÉ1Des droites concourantes

L"objectif est de démontrer que les trois médiatrices d"un triangle sont concourantes.

Objectifs :tracer les médiatrices d"un triangle; montrer que les médiatrices d"un triangle sont

concourantes; faire une démonstration. Phasesà partir de la ficheDES DROITES CONCOURANTES.

1)Partie 1 : Construction de médiatrices.Dans les trois premières questions, il s"agit de réinvestirla notion de médiatrice vue en

sixième:construction,définitionetpropriété.Danslesquestions4)et5), lesélèvesconstruisent

les médiatrices d"un triangle, d"un pentagone et d"un quadrilatère. Les médiatrices du tri- angle sont concourantes alors que ce n"est pas le cas pour lesdeux autres figures. Le but est de montrer que cette "concourance » n"est pas une propriété commune ou évidente.

2)Partie 2 : Démonstration.On démontre que les trois médiatrices d"un triangle sont concourantes en utilisant la pro-

priété fondamentale suivante : " tout point de la médiatriced"un segment est à égale dis-

tance des extrémités de ce segment. ». Plus précisément, on montre que siOest le point

d"intersection de deux médiatrices, alors il est aussi sur la troisième.

DÉBAT2Mot valise

Unmot-valiseest un mot formé par l"accolement du début d"un mot et la fin d"un autre mot.

À l"heure actuelle, on invente régulièrementdes mots-valise :Brexitpour Britain et exit,Twictée

pour Twitter et dictée,pourrielpour poubelle et courriel...

Les maths n"échappent par à la règle et le motmédiatriceest un mot-valise qui vient de médiane

(dans un triangle, droite joignant un sommet au milieu du côté opposé) et bissectrice (droite

coupant un angle en deux angles égaux). Il a été formé en 1923,donc très récemment.

Trace écrite

1.Médiatrices d"un triangle

DÉFINITION :Médiatrices d"un triangle

Lesmédiatricesd"un triangle sont les médiatrices des côtés du triangle, c"est à dire les trois

droites perpendiculaires aux côtés qui passent par leur milieu.

Pour tracer la médiatrice du segmentrABsau compas, on choisit un écartement au compas et on trace deuxarcs de

cercle à partir deAet deBde part et d"autre du segment [ABs. Puis on trace la droite passant par les deux points

formés par l"intersection des arcs de cercle. ˆA

ˆBˆ

M O" PROPRIÉTÉ1Si un point appartient à la mé- diatrice d"un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment.Ici,Mappartient à la médiatrice derABs.

DoncMA"MB.

ABC OPROPRIÉTÉ2Dans un triangle, les trois mé- diatrices sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.Ici, les médiatrices àrABs,rBCs etrCAsse coupent enOqui est le centre du cercle passant par les trois sommetsA,BetC.

2.Hauteurs d"un triangle

DÉFINITION :Hauteurs d"un triangle

Leshauteursd"un triangle sont les hauteurs relatives aux côtés du triangle, c"est à dire les

trois droites perpendiculaires aux côtés qui passent par lesommet opposé.

Pour tracer la hauteur dans un triangle issue d"un sommet, ontrace la droite passant par ce sommet et perpendicu-

laire au côté opposé. ABC H

PROPRIÉTÉ3Dans un triangle, les trois hau-

teurs sont concourantes en un point appelé or- thocentre du triangle.Ici,Hest le point de concours de la hauteur issue deCet de celle issue deB. Donc,rAHsest la hauteur issue deA.

25ème- Chapitre 25: Les droites du triangleN. DAVAL

Entraînement

Tracés de médiatrices et de hauteurs

1Construire un triangleTOCà la règle. À main le-

vée, tracer puis coder :

1)en bleu, la médiatrice derTOs.

2)en rouge, la hauteur issue deO.

2Suivre le programme suivant en codant les élé-

ments construits :

1)Construire un triangleCJR.

2)Tracer en rouge la médiatrice derJRsau compas.

3)Tracer en noir lamédiatricederCJsàlarègle graduée

et l"équerre.

4)Construire la médiatricepdqderCRsavec seulement

une équerre non graduée.

3Dans chaque cas, construire le triangleLYSpuis

son cercle circonscrit de centreO.

1)LS"8cm,zYLS"65°etzYSL"45°.

2)LS"4cm,LY"5cm etzYLS"103°.

3)LYSest isocèle enLtel queLY"8cm etYS"5,5cm.

4)LYSest un triangle équilatéral de côté 4cm.

4Construire le triangleRNBisocèle enBavec

BN"4cm tel que son cercle circonscrit ait un rayon de 5cm.

5Construction de hauteurs.

1)Construire le triangleJVEpuis tracer :

"en bleu, la hauteur issue du sommetE; "en noir, la hauteur issue du sommetJ; "en rouge, la hauteur relative àrJEs.

2)Quelle remarque peut-on faire?

6Tracer les hauteurs dans les cas suivants :

1)un triangleDERayant trois angles aigus;

2)un triangleNRVtel que{NRVsoit obtus;

3)un triangleGHTrectangle enT.

Quelles remarques peut-on faire?

Conjectures et démonstrations

1)Tracer un triangleYESquelconque.

2)Placer :

"le milieuOdu côtérESs; "le milieuUdu côtérYSs; "le milieuIdu côtérYEs.

3)Tracer le triangleOUIpuis ses hauteurs.

4)Placer le pointTorthocentre du triangleOUI.

5)Trace le cercle de centreTet de rayonrTYs.

6)Quelle conjecture peut-on écrire?

1)Tracer un triangleBACrectangle enA.

2)Place un pointMsur le segmentrBCs.

3)La droite perpendiculaire àpABqpassant parM

couperABsenIet la droite perpendiculaire àrACs passant parMcouperACsenJ.

4)Placer le pointPsur la demi-droiterMIqtel queI

soit le milieuderMPset le pointQsur la demi-droite rMJqtel queJsoit le milieu derMQs.

5)Que représente le pointApour le triangleMQP?

Justifier.

9Célia avait tracé un triangleAVUau crayon et les

médiatrices de deux des côtés au stylo. Son voisin Alan a effacé le triangle mais a laissé le pointAet les deux médiatrices. Reconstruire le triangle de Célia. A Source : Sesamath, le manuel 5e. Génération 5 - 2013

N. DAVAL

5ème- Chapitre 25: Les droites du triangle3

Récréation, énigmes

La droite d"Euler

Ouvrir Geogebra et choisir l"ongletGéométrie.

1) Construction de la figure

Instructions Outil GeoGebra Action

1 Construction dutriangleABC

Tracer un triangle ABC polygone cliquer en trois points quel- conques du plan

2 Construction des troishauteurset de l"orthocentreH

Tracer les hauteurs du triangle droites perpendiculaires sélectionner pour chaque hauteur le sommet et son côté opposé Placer l"orthocentre intersection entre deux objets sélectionner deux hauteurs parmi les trois Renommer l"orthocentre en H clic droit propriétés nom du point : H Effacer les hauteurs clic droit décocher "afficher l"objet »

3 Construction des troismédiatriceset du centre du cercle circonscritO

Tracer les médiatrices du triangle médiatrices choisir pour chaque médiatrice deux sommets

Placer le centre du cercle circonscrit ... ...

Renommer le centre enO... ...

Tracer le cercle circonscrit cercle (centre-point) choisir le centreOet le sommetA

Effacer les médiatrices ... ...

4 Construction des troismédianeset du centre de gravitéG.

La médiane d"un côté du triangle est la droite passant par le milieu du côté et le sommet opposé.

Le point de concours des médianes s"appelle le centre de gravité. Tracer les médianes du triangle milieu ou centre sélectionner deux points du tri- angle droite passant par deux points sélectionner sommet et milieu du côté opposé

Placer le centre de gravité ... ...

Renommer le centre en G ... ...

Effacer les médianes et les milieux ... ...

2) Constatations

1)H,OetGpeuvent-ils être confondus? Dans quels cas?

2)Dans le cas où aucun point n"est confondu, que peut-on conjecturer sur l"alignement des pointsG,OetH?

3)Peut-on conjecturer l"existence d"une relation de longueur entreHGetGO?

5ème- Chapitre 25: Les droites du triangleN. DAVAL

DES DROITES CONCOURANTESPrénom ...........................

Construction de médiatrices

1)Expliquer à l"oral la construction de la médiatrice d"un segment d"après les schémas suivants :

?A ?B ?A ?B ?A ?B

2)Donner une définition de la médiatrice d"un segment :................................................................................................................

3)Donner une propriété de la médiatrice d"un segment :................................................................................................................

4)Tracer la médiatrices de tous les côtés de ces trois polygones.

5)Pour quel polygone les médiatrices sont-elles concourantes? ..................................................

Démonstration

1)En bas de page, tracer un triangleABCpuis tracer la médiatrice derABset la médiatrice derBCs.

PlacerO, le pont d"intersection de ces deux médiatrices.

2)Ose situe sur la médiatrice derABs. Comparer les longueursOAetOB: ......................................

3)Ose situe sur la médiatrice derBCs. Comparer les longueursOBetOC: .......................................

4)En déduire une relation entreOAetOC: ......................................................................

5)Que peut-on dire du pointOpar rapport àrCAs? .............................................................

6)Tracer le cercle de centreOpassant parA. Que remarque-t-on? ................................................

7)Conclure : .....................................................................................................

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