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B2 - Intervalle de confiance d'une moyenne avec ´ecart-type inconnu dans le cas d'une population

Gaussienne

Dans le cas pr´ec´edent, on a construit l'IdC `a partir de la var X n´m n . Mais, maintenant´etant

inconnu, il convient de le remplacer par son estimateur sans biais qui sera la racine carr´ee de la variance

d'´echantillon : S 2n"n i"1pXi´ X nq2 n´1:

C'est-`a-dire :

S n"g ffe n i"1pXi´ X nq2 n´1:

On consid`ere alors la varZn"

X n´m S n{? n . La varXsuivant une loiGpm;q,Znsuit une loi de Student1 `an´1 degr´es de libert´es (ddl en abr´eg´e).

Rappelons la densit´e de cette loi :@tPR,

f

Znptq "1

n

Γpn`1

2 q

Γpn

2 q1 1`t2 n n1 2 `8 0 xm´1e´xdx.

L'expression, assez r´ebarbative, de la densit´e de cette loi ne doit pas vous inqui´eter car elle figure dans

tous les logiciels qui permettent d'effectuer des calculs statistiques (sur les tableurs notamment).

Donnons un exemple d'utilisation de cette loi pour d´eterminer un intervalle de confiance. Supposons

queX"Gpm;qet qu'un ´echantillon (iid) de cette loi donne : D´eterminer un intervalle de confiance pourm, au seuil 0.99.

On commence par d´eterminer, grˆace `a un logiciel adapt´e (tableur par exemple) fournissant les valeurs

inverses de la loi de Student `a 20´1"19 ddl, la valeurt0:99telle : X

20´m

S 20{? 20 Puis, on d´etermine l'intervalle de confiance al´eatoire demau seuil 0.99 : P mP r X

20´t0:99

20 S20; X

20`t0:99

20

S20sȷ

"0:99:

1. Student est le pseudonyme d'un statisticien anglais, de son vrai nom William GOSSET (1876-1937).

1 Enfin, `a partir de l'´echantillon, on calcule l'´ecart-type d'´echantillons20etx

20, pour trouver une r´ealisation

de cet intervalle al´etoire qui sera l'intervalle de confiance particulier demau seuil 0.99, associ´e `a

l'´echantillon de taille 20 donn´e par l'´enonc´e.

On trouver5:08;5:39s.

B3 - Intervalle de confiance d'une moyenne pour une population quelconque avec ´ecart-type connu

La diff´erence essentielle avec les deux cas pr´ec´edents est que la construction de l'intervalle va s'appuyer

sur uneloi limiteet non plus sur une loi exacte. Pour que l'intervalle de confiance soit assez pr´ecis, il

faudra donc que la taille de l'´echantillon soit !grande". En pratique,ně50 garantit une bonne pr´ecision.

SiXsuit une loi (quelconque) d'esp´erance math´ematiquem, alors le th´eor`eme central-limite affirme

que : Z n" X n´m n converge en loi versGp0;1q;lorsquentend vers` 8: Rappelons que la convergence en loi deZnvers la loi normale centr´ee r´eduite signifie que : 2ż x ´8 e´t2 2 dt:

A partir de ce r´esultat on construit un intervalle de confiance al´eatoire au seuilcomme pr´ec´edemment :

On d´eterminet`a partir de la loi normale centr´ee r´eduite et l'intervalle est de la forme :

r X n´t n X n`t n s:

Pourngrand, la probabilit´e quemappartienne `a cet intervalle (al´eatoire) est approximativement ´egale

`a.`A partir d'un ´echantillon de taillen, on d´etermine un intervalle de confiance particulier en calculant

x n `a partir de l'´echantillon, l'idC estr x n´t n x n`t n s.

B4 - Intervalle de confiance d'une moyenne pour une population quelconque avec ´ecart-type inconnu

SiXest une var de moyennemet d'´ecart-type, alors une g´en´eralisation du th´eor`eme central-

limite, justifie que la varZn" X n´m S n{? n , tend encore en loi versGp0;1q(avec les notations introduites

pr´ec´edemment).`A partir de ce r´esultat, la construction de l'intervalle de confiance al´eatoire au seuildemse construit

exactement comme dans le cas B3. Pour un ´echantillon de taillendonn´e, on obtient un IdC particulier

en rempla¸cant X npar x netSnpar l'´ecart-type d'´echantillonsn.

Un cas particulier important

Il s'agit du cas o`u la var parente est un var de Bernouilli. C'est ce qui se produit lorsqu'on s'int´eresse

`a la pr´esence (ou l'absence) d'un caract`ere dans une population. Par exemple, avant une ´election, on

observe sur la population d'un certain ensemble g´eographique, le caract`ere !ˆetre favorable au candidat Untel

Une var de Bernouilli,X, est caract´eris´ee par un param`etre, not´e icipP r0;1setEpXq "p,VpXq "

pp1´pq. Comme vous le comprenez, le but du travail statistique est l'estimation dep(estimation pontuelle

2

ramen´e au cas B4 : var non n´ecesairement gaussienne, mais - grˆace au th´eor`eme central-limite, loi de la

moyenne de l'´echantillon suivant une loi limite gaussienne. De plus, nim"EpXq "p, ni"pp1´pq ne sont connus.

Examinons un exemple.

On suppose que sur un ´echantillon de taille 100, le nombre de personnes favorables `a Untel est ´egal `a

62 (et le nombre de personnes non favorables alors ´egal `a 100-62=38).

Estimation ponctuelle dep: on estime par l'estimateur habituel sans biais (et convergent) d'une moyenne X

100. D'o`u l'estimation ponctuelle62

100
"0:62. Estimation par IdC dep: la valeur den´etant suffisament grande, on s'appuie sur la loi limite de X n´p S n{? n qui est la loiGp0;1q. D'o`u, pour un seuil, comme on l'a d´ej`a vu l'IdC al´eatoire r X

100´t

10 S100; X

100´t

10

S100s:

et l'IdC particulier associ´e `a l'´echantillon observ´e : r x

100´t

10 s100; x

100´t

10 s100s:

Dans ce cas particulier, les expressions de

x net desns'obtiennent en codant les valeurs des var de

Bernouilli par 1 (succ`es=

!ˆetre favorable `a Untel") et 0 (´echec =!ne pas ˆetre favorable `a untel"). Ainsi, x nest la fr´equence observ´ee des succ`es, cad ici, x

100"0:62. Le calcul desndonne :s2n"ř

n i"1pxi´ x nq2 n´1, o`uxivaut 1 un nombre de fois ´egal `an x net 0 un nombre de fois ´egal `an´n x n"np1´ x nq. On obtient : s

2n"p1´

x nq2n x n` p0´ x nq2np1´ x nq n´1"p1´ x nq2n x n` p0´ x nq2np1´ x nq n ˆn n´1 " p1´ x nq x nˆn n´1:

D'o`u,sn"a

p1´ x nq x nc n n´1. L'expression de l'IdC particulier au seuilest alors x n´t n´1a p1´ x nq x n; x n`t n´1a p1´ x nq x nȷ

Dans le cas particulier de l'exemple, si"0:95 :

0:62´1:96

99

0:2356;0:62`1:96

99

0:2356ȷ

" r0:573;0:667s: Les chances de Untel d'ˆetre ´elu sont donc s´erieuses.

La situation se complique si la fr´equence observ´ee des opinions favorables est voisine de 0.5.

Imaginons que

x n"0:51. L'amplitude de l'IdC associ´e `a un ´echantillon (toujours au seuil 0.95) est alors

´egale `a 2ˆ1:96ˆ?

0:51ˆ0:49

n´1, soit encore1:96 n´1. 3 Si l'on veut que cette amplitude reste inf´erieure `a 0.01 - ce qui fournira un IdC particulier !`a droite"de

38417 personnes - ce qui est un ´enorme ´echantillon! Avec les r´eserves d'usage : c'est seulement pour 95%

des ´echantillons, en moyenne, que l'IdC contiendra la vraie valeur dep.

Pour terminer ce paragraphe, il est int´eressant d'examiner l'introduction `a l'estimation d'une moyenne

qui est propos´ee dans les programmes de Seconde.

Le d´etail des PO est le suivant.

CONTENUS

CAPACIT

´ES ATTENDUES

COMMENTAIRES

Echantillonage

Concevoir, mettre en oeuvre et

exploiter des simulationsde si- tuations concr`etes `a l'aide d'un tableur ou d'ue calculatrice.

Un ´echantillon de taillenest constitu´e

denr´ep´etitions ind´ependantes de la mˆeme exp´erience.

Notion d'´echantillon.

Intervalle de fluctuation

d'une fr´equence au seuil 0,95.

A l'occasion de la mise en place d'une

simulation on peut :

R´ealisation d'une simula-

tion.

Exploiter et faire une ana-

lyse critique d'un r´esultat d'´echantillonage. utiliser les fonctions logiques d'un ta- bleur ou d'une calculatrice mettre en place des instructions conditionnelles dans un algorithme.

L'objectif est d'amener les ´el`eves `a

un questionnement lors des activit´es suivantes. L'estimation d'une propor- tion inconnue `a partir d'un ´echantillon, la prise de d´ecision `a patir d'un

´echantillon.

Le commentaire suivant est ajout´e.

L'intervalle de fluctuation au seuil 0,95, relatif aux ´echantillons de taillen, est l'intervalle

centr´e autour dep, o`u se situe - avec une probabilit´e ´egale `a 0,95%, la fr´equence observ´ee dans

l'´echantillon de taillen. Cet intervalle peut ˆetre obtenu de fa¸con approch´ee par simulation.

Le professeur peut indiquer aux ´el`eves le r´esultat suivant, utilisable dans la pratique pour des

´echantillons de tailleně25 et des proportionspcomprises entre 0,2 et 0,8 : sifd´esigne la fr´equence du caract`ere dans l'´echantillon,fappartient `a l'intervalle" p´1 n ;p`1 n

avec une probabilit´e d'au moins 0,95. Le professeur peut faire percevoir exp´erimentalement la

validit´e de cette propri´et´e, maiselle n'est pas exigible.".

Vous remarquerez que c'est l'expression

!intervalle de fluctuation"qui est retenue. Elle correspond au

cas o`upest connue et o`u on cherche `a confirmer (ou `a infirmer) la valeur deppar celle d'une fr´equence

observ´ee et d'un intervalle construit autour de cette fr´equence.

Un intervalle de confiance est un intervalle qui a une probabilit´e donn´ee de contenir la valeur exacte de

pqui n'est pas supposee connue.

La nuance entre les deux notions est faite dans certains manuels, mais elle n'est pas mentionn´ee dans le

4 PO.

Interrogez-vous sur la l´egitimit´e de l'approximation (de l'intervalle) qui est propos´ee par le PO dans

l'encadr´e ci-dessus. 5

Exercices d'entrainement

Ce sont des exercices types des classes de STS - section TPIL (TechniquesPhysiques pour l'Industrie et leLaboratoire) du groupement A (`a l'exception du premier exercice). Exercice 1 : On consid`ere un stock tr`es important de boulons. On noteYla var qui, `a chaque boulon tir´e au hasard dans le stock, associe le diam`etre, en mm, de son pied. La varYsuit la loi normale de moyenne inconnuemet d'´ecart-type"0;1. On d´esigne

Yla va qui, `a

chaque ´echantillon al´eatoire de 100 boulons pr´elev´e dans le stock, associe la moyenne des diam`etres des

pieds de ces 100 boulons (le stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ces pr´el`evements `a des

tirages sans remise). 1)

Justifier que

Ysuit une loiGpm;0;01q.

2) 3) 4)

Exercice 2 : On se propose d'´etudier, dans une population de grand effectif, la taille d'adolescents de

13 `a 14 ans. On suppose que la vaXdonnant la taille d'un adolescent est une va gaussienne de moyenne

met d'´ecart type.

Un´echantillon de 36 adolescents, choisis au hasard dans la population ´etudi´ee, donne les r´esultats suivants.

Taille

[130;135[ [135;140[ [140 :145[ [145;150[ [150;155[ [155;160[ [160;165[

Effectif

1 4 7 10 8 4 2 1) a)

Calculer la moyenne, not´ee

xet l'´ecart-typeede cet ´echantillon. b) En d´eduire une estimation ponctuelle demet de. c) Donner un intervalle de confiance demau seuil de 95%. 2)

Afin d'am´eliorer la connaisssance dem, on d´ecide d'augmenter la taille de l'´echantillon.`A partir

de quel entiern0obtiendra-t-on un intervalle de confiance d'amplitude inf´erieure `a 1 cm avec un seuil de 98%? 6

Solutions :

Exercice 1 :

1)

Y´etant une moyenne d'un ´echantillon de var ind´ependantes d'une loi normale, suit aussi une loi

(exacte) normale, de mˆeme moyenne que la loi parente et d'´ecart-type ´egal `a{? nsiest l'´ecart- type de la loi parente etnla taille de l'´echantillon. 2) Z"

Y´m

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