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LES VALEURS EXTREMES
UFR DE MATHEMATIQUES Master Mathématiques Appliquées Statistiques Parcours Ingénierie Statistique et Numérique Rapport de Travail Encadré de Recherche (T E R) LES VALEURS EXTREMES Encadrant G CASTELLAN Auteurs DIALLO Ibrahima SANE Sidy Bottom of the page Date Soutenance: 06 juin 2017
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L’objectif de ce cours est d’étudier les bases de la théorie des valeurs extrêmes et ses applications Pré-requis : Cours de Probabilités et d’Analyse niveau Licence 3 Cours de Statistique Inférentielle niveau M1 ! Programme détaillé : - Rappels de probabilités - Lois limites et domaines d’attraction - Statistique des valeurs
Quels sont les avantages de la théorie des valeurs extrêmes ?
La théorie des valeurs extrêmes peut toutefois leur permettre de mieux modéliser ces risques. quelques années, les assureurs ont subi des événements majeurs dont la probabilité d’occurrence est nulle ou presque si l’on s’en tient aux modèles probabilistes classiques.
Quels sont les outils d’estimation de la théorie des valeurs extrêmes ?
Sur le plan pratique, ces résultats fournissent les outils d’estimation du seuil à partir duquel les résultats de la théorie des valeurs extrêmes sont applicables. La méthode la plus usitée est celle du Picks-Over-Treshold (POT).
Comment rassembler les trois lois de valeurs extrémes géné-ralisées ?
oùon a poséy=1si6= 0ety=log(v)si= 0 RemarqueOn peut rassembler les trois familles de lois en une seule fammile paramé-trique(H(); 2R)dites famille des trois lois de valeurs extrémes géné-ralisées . Elle est paramétrée par une seule variable2R, mais toujoursà un facteur de changement d’echelle et de translation prés .
Comment calculer la loi de valeur extréme ?
Comme d’aprés (6) ,l(1) =l(1)2 et queleststrictement positive , on en déduit quel(1) = 1et quel(w) =w pourw >0On retrouvel’indice de la loi de valeur extrémes généralisées . Léquation pour toutw1 ; w2 >0 Pour= 0on obtient l’équation fonctionnellehh(w1w2) =h(w1) +h(w2).
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Bottom of the pageDate Soutenance: 06 juin 2017
8 mai 2017
1Table des matières
1 Introduction 3
2 Exemples de comportement du maximum 3
2.1 La loi du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Loi Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Loi exponetielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Loi de cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Théoréme :Comportement en loi 8
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Domaines d"attraction 12
4.1 Caratérisation générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 Domaines d"attraction des lois de Fréchet et Weibull . . . . . . 13
4.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3.2 Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3.3 Théoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3.4 Théoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3.5 Théoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.4 Proposition ( Critére de Von Mises) . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Statistique d"ordre 18
5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6 Estimation du parametres de la loi de valeurs extremes 19
6.1 Estimateur de pickand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.1.1 theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.2 Estimateur de Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.2.1 Lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.2.2 Theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7 Applications 22
A ANNEXE 23
21 Introduction
La théorie des valeurs extrêmes est une branche des statistiques qui s"in- téresse aux valeurs extrêmes des distributions de probabilité. La théorie des valeurs extrêmes est appliquées en hydrologie pour prévoir les crues , en démographie pour prévoir la distribution de probabilité de l"âge maximum que l"être humain pourra atteindre , en assurance pour prévoir les grands sinistres , en finance ou encore en météorologie .2 Exemples de comportement du maximum
2.1 La loi du maximum
Si on a(X1;::::::; Xn)une suite de variables aléatoires i.i.d de fonction de repartitionF. Alors la fonction de repartition de la suiteMn=maxXi est donnée par : F n(x) =Fn(x) Si on a(X1;::::::; Xn)une suite de variables aléatoires i.i.d de densitéf, alors on a : f n(x) =nf(x)Fn1(x)Démonstration.On a par definition :
F n(x) =P(Mnx) =P(maxXix) =P(X1x;::;Xnx) =n\ i=1P(Xix)Comme lesXisont i.i.d , on a
F n(x) =n Y i=1P(Xix) = (P(X1x))n=Fn(x) Pour obtenir la densité deMn, il suffit de derive sa fonction de repartition .2.2 Loi Uniforme On suppose que la loi deX1est la loi uniforme sur [0 ,] , >0. La fonction de repartition de la loi estF(x) =x=pourx2[0;]. La suite (Mn; n1)converge presque surement vers 3 la suite(n(Mn1); n1)converge en loi versWde fonction de
repartition definie par :P(Wx) =ex; x0
. La loi de W est une loi de Weibull . Dans un cas particulier , la loi deW est la loi exponentielle de parametre 1. Démonstration.On noteFnla fonction de repartition de(n(Mn ). Comme M n< , On aFn(x) = 1si x0. Considerons le casx <0: F n(x) =P(Mn+(xn ) =P(X1+(xn )n= (1 +xn )n . Il vientlimx!+1Fn(x) =expourx0. On deduit quen(Mn1)converge
en loi versWde fonction de repertitionx!min(ex;1).En faisant une simulation sur un échantillon de taille 1000 on observe
une convergence presque sure du maximum vers 1 , comme l"illustre la figure suivante .Figure1 - Le graphe de la fonction densité théorique deMnest : 4Figure2 -
Le graphe de la fonction densité du maximum nous montre une forte concentration de la masse vers 1 ce qui nous permet de confirmé une conver- gence presque sur vers 1 du maximum.2.3 Loi exponetielle
On supposeX1de loi exponentielle de parametre >0. La fonction de repartition de cette loi estF(x) = 1expourx0.commeF(x) = +1 , la suite(Mn;n1)diverge vers l"infini .2.4 lemme
La suite(Mnlog(n); n1)converge en loi versGde fonction de repartition definie parP(Gx) =eex; x2R
. La loi deGest la loi de Gumbel . Démonstration.On noteFnla fonction de repartition deMnlog(n). On a pourx+log(n)>0, F n(x) =P(Mnlog(n)x) =P(Mn(x+log(n)) =P(X1((x+log(n))n)) = (1e(x)n )n: 5On a alors
limx!+1Fn(x) =eex;x2R . On en deduit que la suite(Mnlog(n); n1)converge en loi versG, de fonction de repartitionx!eex.Figure3 - La figure 3 est la simulation d"un echantillon de taille 1000 suivant la loi exponentielle on constate une divergence du maximum Le graphe de la fonction densité théorique deMnest : 6Figure4 -
2.5 Loi de cauchy
On supposeX1suit la loi de cauchy (de parametre a = 1) . La densité de loif(x) =1(1+x2). Comme le support de la densité est non borné , il est clair que la suite(Mn;n1)diverge.2.6 lemme
La suite(Mnn
; n1)converge en loi versWde fonction de repartition definie parP(Wx) =e1x
; x >0 La loi deWappartient à la famille des lois de Frechet. Démonstration.On noteFnla fonction de repartition deMnn on a F n(x) =P(Mnnx ) =P(x1nx )n= (1Z 1 nx1(1 +y2)dy)n
Pourx >0, on a
Z 1 nx1(1 +y2)dy) =Z
1 nx1(y2)dy)+Z
1 nx [1(1 +y2)1y2]dy) =1nx
+O((nx)3) (1) 7On a alors pour
x0;Fn(x) = (11nx +O(nx)3)n . On en deduit que lim x!+1Fn(x) =e1x ;x >0Ainsi la suite(Mnn
;n1)converge en loi versWde fonction de repartitionP(Wx) =e1x
; x >03 Théoréme :Comportement en loi3.1 Définition
la loiL0est dite max-stable si pour toutn0 (W1;:::::::;Wn)etant des variables aléatoires independantes de loiL0, il existean>0etbn2R, tel quea1n(maxi2(1;::;n)Wibi)suit la loiL0.Remarque
Si les(Xi;i0)est une suite de variables aléatoire indépendantes et de meme loi , telle que(a1n(maxi2(1;::;n)Xibi);n1converge en loi pour une suite appropriéean>0etbn2 Rvers une limite non triviale , c"est-à-dire vers une variable aléatoire non constante , alors la limite est une loi max- stable.3.2 theoreme
soit(Xi; i1)une suite de variables aleatoires independantes et de meme loi . Supposons qu"il existe une suite((an; bn); n0)tel que a n>0et la suite(a1n(maxi2(1;::;n)Xibi); n0)converge en loi vers une limite non triviale . Alors à une translation et un changement d"echelle pres lafonction de rpartitionde la limite est de la forme suivante : loi de Weibull (x) =8 :exp((x));x0et >01;x >0(2)
8 loi de Gumbel (x) =exp(exp(x));x2R(3) loi de Frechet (x) =8 :0;x0 exp(x);x >0et >0(4) Démonstration.Supposons qu"il existe une suite((an;bn); x0)tel que a n>0et la suite de termea1n(Mnbn)converge vers une limite deXnon constantePour une fonctiongcontinue bornée , on a
lim n!+1E[g(a1n(Mnbn))] =E[g(W)] Supposons par simplicité que la loi deX1posséde une densitéf >0. Alors la loi deMnposéde une densiténF(x)n1f(x)On a donc
I n=E[g(a1n(Mnbn))] =Z R g(xbna n)nF(x)n1f(x)dx Commef >0, la fonctionFest inversible et d"inverse continue . On pose pourt >1U(t) =F1(11t
En paticulier , on a
U(t) =x()11t
=F(x)()P(X>x) =1tquotesdbs_dbs4.pdfusesText_7[PDF] loi gev
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