Fonctionnement des menus TESTS et Intervalle de confiance des
fluctuation asymptotique de Fn. C'est la démarche des tests statistiques. cet intervalle. Mise en œuvre calculatrice. Casio. TI (TI 83 Premium CE).
TABLE DES MATIERES
Le document ressource pour la partie du programme de la classe terminale notion d'intervalle de fluctuation asymptotique d'une variable aléatoire ...
FICHE CALCULATRICE : Intervalle de Fluctuation – Intervalle de
I ] INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE Il existe d'autres manières de déterminer un intervalle de confiance d'une proportion. Comme par exemple :.
Mise en page 1
des lignes de commandes ou des programmes en langage R. Ce langage est utilisé sur l'intervalle de fluctuation asymptotique du programme de Seconde(1).
Chapitre 9 Intervalles de fluctuation et de confiance
L'intervalle suivant appelé intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %
TABLE DES MATIERES
notion d'intervalle de fluctuation asymptotique d'une variable aléatoire programme mais le théorème de Moivre-Laplace en étant le socle théorique ...
Statistique inférentielle avec GeoGebra 4.2 et avec la Ti-82 Stats fr
30 janv. 2013 Un Z-intervalle ou un Z-test sont basés sur une variable aléatoire ... de fluctuation asymptotique obtenu par l'approximation normale de la ...
ÉVOLUTIONS
Sur Casio : Sur Casio : - Tracer la courbe de la fonction. ... I l'intervalle de fluctuation asymptotique à au moins 95%.
RESUME DE CE QUIL FAUT SAVOIR EN BTS
Intervalle de fluctuation asymptotique. Le plan étant muni d'un repère orthogonal nous pouvons associer au ... loi cumulative TI : FRep Casio Bcd ...
loi binomiale
3.5.1 tp 1 : tableur et intervalle de fluctuation binomial . 3.5.2 tp2 : programme calculatrice et intervalle de fluctuations binomial à 95% .
INTERVALLE(S) DE FLUCTUATION - Mathemathieu
Pour calculer un intervalle de fluctuation à 95 entrer N (au moins 25) et p ; l'intervalle est calculé (arrondi à l'entier) et dessiné On peut remplacer en bas de page 95 par 90 ou 99 Le source téléchargeable en bas d'article est libre sous licence MIT Le script est en JavaScript La version vue en Seconde En fait le calcul d
Chapitre 14 Terminale S Intervalle de fluctuation des
Un intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire Fn au seuil 1?? est un intervalle déterminé à partir de p et de n et qui contient F n avec une probabilité d’autant plus proche de 1?? que n est grand
Chapitre 9- INTERVALLE DE FLUCTUATION ET ESTIMATION I
Chapitre 9- INTERVALLE DE FLUCTUATION ET ESTIMATION I – ECHANTILLONNAGE ET PRISE DE DECISION 1- INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE Soit X n la variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n; p) Soit F n la variable aléatoire qui associe la fréquence du caractère étudié dans l’échantillon aléatoire de taille n On a F n = n X
Lois normales Intervalles de fluctuation Estimation
Intervalles de fluctuation Estimation Correction : 1 Méthode a etb sont des nombres réels tels quea?b f est une fonction continue et positive sur[a;b] soitm un majorant de f sur[a;b] (O;?i?j)est un repère orthonormal du plan I=? a b f (x)dx est l'aire en U A de la partie du plan comprise entre la représentation graphique
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Niveau-C : 95 signifie que le niveau de confiance sera de 95 (ce niveau de confiance peut être modifié) Une fois que tout est complété il suffit de sélection Calculs et de faire entrer afin d’obtenir l’intervalle de confiance proposé dans la remarque
Quel est l’intervalle de fluctuation asymptotique ?
D’après la propriété de la loi normale centrée réduite, on sait que u0,05?1,96, d’où : DÉFINITION. L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95de la variable aléatoire fréquence est : On a également vu que u0,01?2,58, donc on pourrait aussi dire qu’un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,99 est :
Qu'est-ce que l'intervalle de fluctuation asymptotique ?
On appelle intervalle de fluctuation asymptotique de la v.a.r. Fnau seuil de 1-? un intervalle déterminé à partir de net pet qui contient Fnavec une probabilité d’autant plus proche de 1-? que nest grand. Remarque : il n’existe pas un unique intervalle de fluctuation asymptotique à un seuil donné !
Comment calculer un intervalle de fluctuation ?
La détermination d’un intervalle de fluctuation permet de prendre une décision lorsque la proportion du caractère étudié dans la population est supposée être égale à p. La prise de décision consiste, à partir d’un échantillon de taille n, à valider ou non, cette hypothèse faite sur p. En pratique : On calcule la fréquence observée
Qu'est-ce que l'intervalle de fluctuation ?
L'intervalle de fluctuation est l'intervalle dans lequel on trouve (pour 95 % des cas) la proportion dans l'échantillon ; cet intervalle est calculé à partir de la proportion dans la population qui est connue. fréquence f taille de l’échantillon n Estimer une proportion (probabilité) p à partir des observations.
Loi Binomiale
Table des matières
1 dénombrement et coefficients binomiaux2
1.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .2
1.2 a retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .3
1.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .4
1.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .5
2 loi binomiale6
2.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .7
2.1.1 Activité 1 : Reconnaître et justifier qu"une situationrelève de la loi binomiale8
2.1.2 Activité 2 : Déterminer une probabilité avec une tableou un graphique de
loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82.1.3 Activité 3 : Calculer une probabilité avec une calculatrice ou un logiciel . .9
2.1.4 Activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .10
2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .11
2.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .15
2.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .19
2.5 travaux pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .20
2.5.1 tp 0 : Loi Binomiale-Comparaison de résultats "expérimentaux" et de résul-
tats théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202.5.2 tp1 : calculatrice et tableur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .22
2.5.3 tp2 : programme calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .25
3 échantillonnage27
3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .27
3.1.1 activité 1 : Comment déterminer si une pièce de monnaie est bien équilibrée?27
3.1.2 corrigé activité 1 : Comment déterminer si une pièce de monnaie est bien
équilibrée? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .30
3.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .31
3.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .34
3.5 travaux pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .41
3.5.1 tp 1 : tableur et intervalle de fluctuation binomial . . .. . . . . . . . . . . . .41
3.5.2 tp2 : programme calculatrice et intervalle de fluctuations binomial à 95% . .44
11 dénombrement et coefficients binomiaux1.1 activité
1. Nombre de permutations denéléments(n?N?):?
???n!(factorieln) Combien y a t-il de façons :???de rangernobjets dansncases ?(un par case) de ranger cote à cotenobjets?(en ligne) de "permuter"nobjets? (a) donner le nombre et toutes les façons de permuter 3 objetsen s"aidant de l"arbre de dénombrement suivant(donner un calcul) 1 ?2?3 : (1,2,3) ?3?2 :... ?2 ?1?3 :... ?3?1 :... ?3 ?1?2 :... ?2?1 :... il y a(b) de même, nombre de permutations de4élé- ments = ... (c) nombre de permutations de5éléments = ... (d) nombre de permutations denéléments (n?N?)= ... ???Apn de choisir et rangerpobjets parmin? (a) utiliser l"arbre de dénombrement ci dessous pour trouver le nombre de façons de choisir et ranger2objets parmi4objets 1 ?2 : (1;2) ?3 : (1;3) ?4 : (1;4) ?2 ?1 : (2;1) ?3 : (2;3) ?4 : (2;4) ?3 ?1 : (3;1) ?2 : (3;2) ?4 : (3;4) ?4 ?1 : (4;1) ?2 : (4;2) ?3 : (4;3) il y a ...(b) nombre de façons de choisir et ranger3ob- jets parmi10objets :A310=... (c) nombre de façons de choisir et ranger4ob- jets parmi20objets :A420=... (e) vérifier queApn=n!(n-p)!
Combien y a t-il de façons de choisir sans rangerpobjets parmin?(groupes depobjets (a) notonsC210le nombre de combinaisons de2éléments parmi4
" Pour trouver le nombre de combinaisons C24, il suffit de connaître le nombre d"arran-
gement de2éléments parmi4et de diviser par le nombre de façons de ranger les deuxéléments soit2!»
on en déduit queC210=A242!=122= 6??
1 ?2 : (1;2) ?3 : (1;3) ?4 : (1;4) ?2 ?1 : (2;1) ?3 : (2;3) ?4 : (2;4) ?3 ?1 : (3;1) ?2 : (3;2) ?4 : (3;4) ?4 ?1 : (4;1) ?2 : (4;2) ?3 : (4;3) (b) Donner une relation entreC420, A420et4!puis donner la valeur deC420 (c) on noteCpnou encoreCpn=?np? le nombre de combinaisons depéléments parmin, exprimerCpn=?np? en fonction deApnetp! en déduire l"expression deCpn=?np? en fonction den!,(n-p)!etp! (d) calculerC310à la main et vérifier à la calculatrice1.2 a retenir
propriété 1Soientn?Netp?Ndeux entiers naturels avecp < n
Le nombre de combinaisons depéléments parminéléments est notéCpn=?np? avec?Cpn=?np?
=n!p!(n-p)!où????n! =n×(n-1)×...×1(factorieln)et????0! = 1 exemples : en particulier on a :? ???C0n=Cn-1n= 1et????Cnn= 1 le nombre de groupes(non ordonnés)de3personnes parmi30est : C330=?303?
=30!3!(30-3)!= 4060
remarques : i. on remarque le triangle de Pascal nk012345... 01 1112121
31331
414641
515101051
nk012345... 0C001C01C11
2C02C12C22
3C03C13C23C33
4C04C14C24C34C44
5C05C15C25C35C45C55
ii. on remarque qu"il semble que :????Ck+1n+1=Ckn+Ck+1n iii. on remarque qu"il semble que :? k=n? k=0C kn= 2n iv. on admettra que : quels que soient les réelsaetbet l"entier natureln, on a :? (a+b)n=k=n? k=0C knakbn-k(formule du binôme)1.3 exercices
exercice 1 :1. combien y a t-il de groupes possibles de deux personnes parmi16?
2. combien y a t-il de groupes de3chevaux parmi15?
3. combien de groupes de6billes parmi49?
4. combien de mots de5lettres avec :
(a) zéroSet "le reste" deE (b) unSet le reste deE (c)2Set le reste deE (d)3Set le reste deE (e)4Set le reste deE (f)5Set "le reste" deE5. on lance10fois une pièce de monnaie avec pile = "succès"
combien y a t-il de façons d"obtenir exactement3succès parmi les10lancers?6. on lance7fois un dé avec6= "succès"
combien y a t-il de façons d"obtenir exactement4succès parmi les7lancers?1.4 corrigés exercices
corrigé exercice 1 :1. combien y a t-il de groupes possibles de deux personnes parmi16??
?162? = 1202. combien y a t-il de groupes de3chevaux parmi15??
?153? = 4553. combien de groupes de6billes parmi49??
?496? = 139838164. combien de mots de5lettres avec :
(a) zéroSet "le reste" deE:? ?50? = 1 (b) unSet le reste deE? ?51? = 5 (c)2Set le reste deE? ?52? = 10 (d)3Set le reste deE? ?53? = 10 (e)4Set le reste deE? ?54? = 5 (f)5Set "le reste" deE? ?55? = 15. on lance10fois une pièce de monnaie avec pile = "succès"
combien y a t-il de façons d"obtenir exactement3succès parmi les10lancers?? ?103? = 1206. on lance7fois un dé avec6= "succès"
combien y a t-il de façons d"obtenir exactement4succès parmi les7lancers?? ?74? = 352 loi binomiale
2.1 Activités
2.1.1 Activité 1 : Reconnaître et justifier qu"une situationrelève de la loi binomiale
???A Savoir : une situation relève de la loi binomiale dès lors que : (1) On considère uneexpérience aléatoire (lancer d"une pièce, d"un dé, ...) (2) On décide qu"un événement que l"on choisit sera appelé"Succès" (pile, 6, ...)(3) On connaît laprobabilitépde l"événement "Succès"(p= 0,5;p=16...)(4) Onrépètecette expérience un certain nombre de fois avec indépendance(n= 10par exemple)
(5) On s"intéresse aunombreXde fois que l"on a obtenu un "Succès"parmi lesnexpériences.X= 0: aucun succès; ...;X= 10: 10 succès
(6) On cherche à obtenir la valeur de laprobabilité d"un événement concernantX (p(X= 0) =? par exemple)Précisez, dans chaque cas, en justifiant, si la situation relève de la loi binomiale ou non(justi-
fier si non )1. On lance 3 fois une pièce usuelle avec indépendance, on cherche la probabilité de faire 1 fois
pile oui / non :...2. On lance 8 fois une pièce équilibrée avec indépendance, on cherche la probabilité de faire 0
fois face oui / non :...3. On lance 5 fois une pièce usuelle équilibrée avec indépendance, on cherche la probabilité de
faire 10 fois pile oui / non :...4. On lance 10 fois une pièce usuelle équilibrée avec indépendance, on cherche la probabilité
de faire 5 fois face oui / non :...2.1.2 Activité 2 : Déterminer une probabilité avec une tableou un graphique de loi binomiale
Le graphique concerne une variable aléatoireXqui suit une loi binomialeB(n=? ;p=?)1.n=...etp=...
2. proposez une situation...
3. valeurs possibles pourX?
X?...4. valeur deXla plus probable?
X=...5. probabilité de la valeur la plus probable?
p(X=...)?...6.p(X= 6)?...
7.p(X <4)?...
8.p(X≥4)?...
9.p(6< X <10)?...
Le tableau concerne une variable aléatoireXde loi binomialeB(n=? ;p=?) (a)n=...etp=... (b) proposez une situation... (c) valeurs possibles pourX? X?... (d) valeur deXla plus probable? X=... (e) probabilité de la valeur la plus probable? p(X=...)?... (f)p(X= 6)?... (h)p(X >8)?... (i)p(X <10)?... (l)p(X?[3 ; 11])?...E(X) =np= 9
2.1.3 Activité 3 : Calculer une probabilité avec une calculatrice ou un logiciel
1. Méthode 1 : avec la formule Mathématique :
???p(X=k) =Cknpk(1-p)n-k C knest donné par la calculatrice (a)Xsuit une loiB(n= 20 ;p= 0,4) i.p(X= 8)?... ii.p(X= 13)?...2. Méthode 2 : avec les fonctions "probabilités" des calculatrices :
Calculatrice TI :
pourp(X=k): DISTR -> binompdf(n,p,k)Calculatrice Casio :
pourp(X=k): STAT -> DISTR -> BINM -> Bpd -> x :k Numtrial :n P :p3.Xsuit une loiB(n= 20 ;p= 0,4)
4.Xsuit une loiB(n= 15 ;p= 0,6)
2.1.4 Activité 4
A.Exemple
Pour un dé bien équilibré à8faces, on s"intéresse aux événements : Succès : " on obtient un 8 » et à son contraire Echec : " on n"obtient pas un 8 » On lance le dé 3 fois de suite et de manières indépendantes On appelleXla variable aléatoire égale au nombre de fois que l"on a obtenu8parmi les3 lancersOn cherche la loi de probabilité deX( qui sera une loi dite "binomiale" de paramètres à préciser )
1. Pour un quelconque des3lancers, donnerp=p(8)etq=p(
8)2. Compléter l"arbre pondéré ci dessous et indiquer les valeurs deXen bout de branche
ainsi que les probabilités associées 8 ...8 ...8X=...8X=......
8...8X=......
8X=......
8 ...8...8X=...8X=......
8...8X=......
8X=......
3. Donner les valeurs possibles pourX
4. Préciser combien de façons il y a d"obtenir deux8parmi3lancers notéC23ou?32?
et détailler le calcul dep(X= 2)5. Donner la loi de probabilité deX(sous la forme d"un tableau )
6. On dit queXsuit une loi ... de paramètrep=...etn=...
B.Généralisation
dans le cas où : ?on répètenfois une même expérience aléatoireles répétitions sont indépendantes
deux issues contraires pour chaque expérience :?succès : de probabilitépéchec : de probabilité :q= 1-p
alors, la variable aléatoireXqui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres (n,p)avec :?les valeurs possibles deXsont{0,1,2,...,n} de probabilités respectives :? ???p(X=k) =Cknpk(1-p)n-kC.Application
On joue4fois à "pile ou face" avec une pièce équilibrée et de manièresindépendantes
SoitXle nombre de fois où l"on fait "pile". Donner la loi de probabilité deX2.2 à retenir
définition 1 (épreuve de Bernoulli)Une expérience aléatoire
pour laquelle on ne considère????que deux issues contraires succèsSet échecS est appelée????"épreuve de Bernoulli" exemple : On choisit une carte au hasard dans un jeu usuel de32cartes :Ssuccès : "c"est une Reine"Séchec : "ce n"est pas une Reine"
définit une épreuve de Bernoulli définition 2 (loi de Bernoulli) La loi de Bernoulli de paramètrepest la loi de probabilité associée à une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est égale àp(p?[0;1]) et la probabilité d"échec estq= 1-p exemple : Pour l"épreuve de Bernoulli (32cartes) :Ssuccès : "c"est une Reine"4 32Séchec : "ce n"est pas une Reine"28
32on a la "loi de Bernoulli" suivante :quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
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