[PDF] Sujet du bac S Mathématiques Obligatoire 2017 - Centres étrangers

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Exercice 4

Corrigé

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2017

MATHÉMATIQUES

SÉRIE S

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité D Ce sujet comporte 7 pages numérotées de la page 1/7 à la page 7/7. L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circu laire n° 99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

BACCALAUR

AT GÉNÉRAL - Série SSESSION 2017

ÉPREUVE

MATHÉMATIQUES

SUJET C Page 1/7Durée : 4 heuresSujets Mathématiques Bac 2017 freemaths.fr freemaths.frfreemaths.fr

Centres Étrangers 201 7 - freemaths . fr

Bac - Maths - 201 7 - Série S

Antilles - Guyane 201 7 -

freemaths . fr

Bac - Maths - 201 7 - Série S

EXERCICE 4 (5 points )

(Candidats n"ayant pas suivi l"enseignement de spécialité) Le plan est muni d"un repère orthonormé(O,-→u,-→v).

Pour tout entiern?4, on considèreP

n un polygone régulier àncôtés, de centreOet dont l"aire

est égale à 1. On admet qu"un tel polygone est constitué dentriangles superposables à un triangle

OA n B n donné, isocèle enO.

On noter

n =OA n la distance entre le centreOet le sommetA n d"un tel polygone.

Partie A : étude du cas particuliern=6

On a représenté ci-contre un polygoneP

6

1)Justifierle fait que le triangleOA

6 B 6 est équilatéral, et que son aire est égale à1 6.

2)Exprimer en fonction der

6 la hauteur du triangle OA 6 B 6 issue du sommetB 6

3)En déduire quer

6 2

3⎷3.

××OA

6 B 6 C 6 D 6 E 6 F 6

Partie B : cas général avecn?4

Dans cette partie, on considère le polygoneP

n avec n?4, construit de telle sorte que le pointA n soit situé sur l"axe réel, et ait pour affixer n

On note alorsr

n e iθn l"affixe deB n oùθ n est un réel de l"intervalle?

0;π

2? A n B n n r n r n

1)Exprimer en fonction der

n etθ n la hauteur issue de B n dans le triangle OA n B n puis établir que l"aire de ce triangle est égale à r 2n

2sin(θ

n

2)On rappelle que l"aire du polygoneP

n est égale à 1. Donner, en fonction den, une mesure de l"angle?--→OA n ,--→OB n , puis démontrer que : r n 2 nsin?2π n?

Partie C : étude de la suite(r

n On considère la fonctionfdéfinie pour tout réelxde l"intervalle]0 ;π[par f(x)=x sinx.

Ainsi, le nombrer

n , défini dans la partie B pourn?4, s"exprime à l"aide de la fonctionfpar : r n 1

πf?2πn?

On admet que la fonctionfest strictement croissante sur l"intervalle]0 ;π[.

Page 6 / 7

1)Montrer que la suite(rn)est décroissante. On pourra pour cela commencer par démontrer que pour

toutn?4, on a :0<2π n+ 1<2πn< π.

2)En déduire que la suite(rn)converge. On ne demande pas de déterminer sa limiteL, et on admet

dans la suite de l"exercice queL=1

3)On considère l"algorithme suivant.

VARIABLES :nest un nombre entier

TRAITEMENT :nprend la valeur 4

Tant que?????2

nsin?2πn? >0,58faire nprend la valeurn+ 1

Fin Tant que

SORTIE : Affichern

Quelle valeur numérique denva afficher en sortie cet algorithme?

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1 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7

EXERCICE 4

Partie A:

tude du cas n = 6

Centres Étrangers 201 7 ]

1. Justifions que le triangle OA

6 B 6 est équilatéral avec une aire égale à 1 6

Nous savons que:

un triangle équilatéral est un triangle dont les 3 côtés son t égaux ; un triangle isocèle est un triangle ayant au moins deux côtés d e même longueur.

Soit le triangle OA

6 B 6 isocèle en O, nous avons: OA 6 = OB 6 r 6

De plus, l'angle au sommet de ce triangle OA

6 B 6 est: A 6 OB 6 3 En effet, le polygone est constitué de 6 triangles superposables au t riangle OA 6 B 6 , et par conséquent: A 6 OB 6 2 6 3

Dans ces conditions, nous pouvons écrire:

3 + OA 6 B 6 + OB 6 A 6 3 + 2 x ( OA 6 B 6 ) = => OA 6 B 6 3

Ainsi: A

6 OB 6 OA 6 B 6 OB 6 A 6 3

Au total, comme OA

6 = OB 6 = A 6 B 6 les 3 côtés sont égaux et ainsi le triangle OA 6 B 6 est équilatéral. 2 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7 Et comme l'aire du polygone est égale à " 1 " et qu'il y a 6 triangles superposables au triangle OA 6 B 6 l'aire du triangle OA 6 B 6 1 6 2.

Exprimons la hauteur du triangle OA

6 B 6 , issue du sommet B 6 , en fonction de r 6

D'après le cours, nous savons que:

l'aire du triangle OA 6 B 6 est: 1 2 x x 2 x 2 4 avec x = r 6 l'aire du triangle OA 6 B 6 est: x x hauteur 2 avec x = r 6

En égalisant, nous avons:

1 2 x x 2 x 2 4 x x hauteur 2 3 x 2 4 = hauteur 3 r 6 2 4 = hauteur => hauteur = h = 3 2 x r 6

Au total, la hauteur du triangle OA

6 B 6 , issue du sommet B 6 , est: h = 3 2 x r 6 3.

Déduisons-en r

6

Nous savons que:

1 6 et = r 6 x hauteur 2

D'où:

1 6 r 6 x hauteur 2 1 6 r 6 2 x 3 2 x r 6 1 6 = r 6 2 x 3quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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